《高等代数专题研究》形成性考核册作业答案.docx
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1、高等代数专题探讨作业参考答案高等代数专题探讨作业1、单项选择题:1-5:BCBDB二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、(ai。2)=。(4)(。(。2),且。是A到B的双射。4、具有下面性质的自然数的任何集合M满意:AlM;:假如,则M.则M含有一切自然数,即M=N。5、对于一个与自然数有关的命题T,若i:若n=l时命题T正确;ii:假设命题T对nbiba,4:ab,ba2、解:fg(x)=/(3x+2)=3(3x+2)+l=9x+7,KX)=g(3x+l)=3(3x+l)+2=9x+53、解:1)在G中,14,41,并且26,65,5f2,b可表为两个不相交的轮换的乘积:=(14)(2
2、65)ofl2) -142 3 4 5 6、6 5 4 1 2;56Y123456J125人326145)3fl =2345 6Y1 22 6 1 4 5人4 65 6 Wl 23 4 5 63 1 6 2561/463125f225厂23456厂145四、证明题1、证明:AuC=BuC=(AoC)nC=(BuC)nC=(AnC)U(CnC)=(BnC)U(CnC)=(AnC)u0=(BnC)u0=AnC=BnC=(AnC)U(AnC)=(BnC)U(BnC)=Ak(CnC)=Bu(CnC)=Au0=Bu0=A=B2、证明:则于a+O-xb是由a与b惟一确定的(即a+Z?axb不会得出以上不同
3、的结果),且为实数,所以“”是一个代数运算。(ab)c=(a+b-ab)c=(a-b-ab)-c-a-b-ab)c=a+b+c=ab-ac-bc-abca(bc)=a(b+c-bc)=a-(b-c-bc)-a(b-c-bc)=a-b-c-ab-ac-bc-abc,所以4Sc)=(0与c,即“满意结合律。3、证明:当n=2时,土土喜卑,因此命题对n=2正确。当n=4时,X1X2X3X4(l1)2.()2(X+W+.+ly,因此命题对n=4正确。224同理可推出命题对=23=87=24,=25,,都正确(S为随意自然数),所以命题对无穷多个自然数成立。设命题对n=k正确,令Sk=N+占+,S-=.
4、十一十十.一,则kk-x1+x2+x,-1+.,由归纳假设命题对n=k正确,所以kS=(西+%+J4+Z)中2XzSk所发5尸xj,k即+I+型小也G命题对n=k-l也正确,由反归纳法原理知,命题对一切自然数成LO4、当n=2时,上述不等式成立,假设5+最+rl-prll11111111k2+k-ik?+k11则H7+HI-117=TI7=2232k2(左+I)?ka+l)2G(Z+Ifk(k+)2k+于是对一切2的自然数n来说,fH-+?11o2232n2n五、简述题1、答:/() = 2 + l,02, 0,赐予证明如下:任取,2CZ,且工2,则/(勺)*/(2),/()是单射。任取5)N
5、,若/()为奇数,则有0,使/()=2+1与之对应;若/5)为偶数,则有0=-O=(x-l)(x-2)(x+5)Ox+5x+5所以原不等式的解集为(-5,1)=(2,+8)。2、解:f2U,y,z)=(3x+6y+5z)2=l(3x)+5(z)212+(-)2+(5)2(9x2+12+5z2)=9(9x212+5z2)=99=81,即/(益z)81。其中当且仅当3x=k,屈y=-=k=6k,&=小k129x2+12/+5z2=9(一)2(限)2+(限P=9成立,解得女=1,所以当x=;,y=;,Z=I时,/取极大值,max=(3x+Gy+5z),IIjj=1+3+5=9o3、解:这是个求具有约
6、束条件+/?+C=I的极值问题,由于它有三个变量,反c,因而不能用消元法来解,但J_J_J_呼N偌二(狂)2(金)2=3=9只有当ON=C时等式成立。3所以只有当=6=c=时,士+取最小值27。3ab-c四、证明题1、证明:右2=(X+2+X)2=(yX-=+yXj=+yX-J=+2222(x2+xzj+x1)(+d-),x2x3XnX因41,工2,,工“都是正数,上式变为+X2+-XzjF-F-+口-,得证。X2x3X1/ABC/2证明:cosA+cos+cosC=2cossin+l-2sin2=Z,222_D再令=Sin-0,得的一元二次方程:-2/+2COS+1-,=0,由于R,所以22
7、=4cos2+8(l-r)0,所以fcos2+1-+1=,KPcosA+cosB+cosC02222223、证明:因为4,4,。是等差数列,则4+/+4=”他广),则均值不等式,得向。+4=_=幺4,nn2又:aA,aWA2,aa/,+122n所以(W“)2,彷+%=1,则称/(x)在该区间上是下凸函数。2、答:比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。高等代数专题探讨作业3一、单项选择题:1-5:BDDAC二、填空题1、1,3,5,72、假如d是a与b的公因式,且有ca,c人,均有。口。3、代数4、15、-4,2(重根)三、计算题1、证:1)若&,且R,则互一旦:2,二2研
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