相似矩阵及二次型知识要点.ppt

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1、相似矩阵及二次型 知 识 要 点,一、内容提要 1.向量的内积(1)定义1 设有 n 维向量 x=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,令 x,y=x1y1+x2y2+xnyn 称为向量 x 与 y 的内积.,内积满足下列运算规律:(i)x,y=y,x;(ii)x,y=x,y;(iii)x+y,z=x,z+y,z.,(2)定义 2,称为 n 维向量 x 的长度(或范数).,向量长度具有下列性质:(i)非负性:当 x 0 时,|x|0;当 x=0 时,|x|=0.(ii)齐次性:|x|=|x|;(iii)三角不等式:|x+y|x|+|y|.向量内积满足施瓦茨不等式:x,y2 x,x

2、y,y.,称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.当 x,y=0 时,称向量 x 与 y 正交.,(3)当|x|0,|y|0 时,(4)正交向量组的性质 若 n 维向量 a1,a2,ar 是一组两两正交的非零向量组,则(i)a1,a2,ar 必线性无关;,(ii),(5)定义 3 设 n 维向量 e1,e2,er 是向量空间 V(V Rn)的一个基,如果 e1,e2,er 两两正交,且都是单位向量,则称 e1,e2,er 是 V 的一个规范正交基.,(6)施密特(Schmidt)正交化过程 从线性无关向量组 a1,a2,ar 导出与之等价的正交向量组 b1,b2,br 的过程称为施密特正交化过程

3、 若 a1,a2,ar 是向量空间 的一组基，通过正交化,单位化,都可以找到与之等价的一组规范正交基 e1,e2,er,称为把 a1,a2,ar 这个基规范正交化.,(7)定义 4 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E(即 A-1=AT),则称 A 为正交矩阵.A=(aij)nn 为正交矩阵的充要条件是,或,(8)定义 5 若 P 为正交矩阵,则线性变换 y=Px 称为正交变换.正交变换具有保持向量长度不变的优良性质.2.方阵的特征值与特征向量(1)定义 6 设 A 是 n 阶方阵,如果数 和 n 维非零列向量 x 使关系式 Ax=x成立,那么,数 称为方阵 A 的特征值,非零列向量x 称为

4、A 的对应于特征值 的特征向量.,|A-E|=0 称为方阵 A 的特征方程,f()=|A-E|称为方阵 A 的特征多项式.n 阶方阵 A 有 n 个特征值.若 A=(aij)的特征值为 1,2,n,则有(i)1+2+n=a11+a22+ann;(ii)1 2 n=|A|.(2)有关特征值的一些结论 设 是 A=(aij)nn 的特征值,则(i)也是 AT 的特征值.,(ii)k 是 Ak 的特征值(k 为任意自然数);是 A 的特征值.其中=a0+a1+amm,A=a0 E+a1A+amAm.(iii)当 A 可逆时,1/是 A-1 的特征值;|A|/是 A 的特征值.(3)有关特征向量的一些

5、结论(i)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.,(ii)对应于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.3.相似矩阵(1)定义 7 设 A，B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵 P,使 P-1AP=B,则称 B 是 A 的相似矩阵,或说矩阵 A 与 B 相似.,相似关系的性质:(i)自反性:矩阵 A 与自身相似;(ii)对称性:若矩阵 A 与 B 相似,则矩阵 B 与 A 也相似；(iii)传递性:若矩阵 A 与 B 相似,矩阵 B 与 C 相似,则矩阵 A 与 C 相似.(2)有关相似矩阵的性质(i)若矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 的特征多项式相同,从而 A 与

6、 B 的特征值亦相同.,(ii)若矩阵 A 与,相似，则 1,2,n 是 A 的 n 个特征值.,(iii)若 A=PBP-1,则 Ak=PBkP-1;(A)=P(B)P-1.特别地,若有可逆矩阵 P,使 P-1AP=为对角矩阵,则有 Ak=PkP-1;(A)=P()P-1.(3)Ann 的对角化(i)A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.(ii)若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角矩阵相似,即 A 可对角化.,4.实对称矩阵的相似矩阵(1)实对称矩阵的特征值为实数.(2)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.(3)若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值

7、,则对应于 的特征向量必有 r 个,且它们线性无关.(4)实对称矩阵必可对角化.即若 A 为 n 阶实对称矩阵,则必有正交矩阵 P,使得 P-1AP=,其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩,阵.,5.二次型及其标准形(1)定义 8 含有 n 个变量 x1,x2,xn 的二次齐次函数 f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2+2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn 称为二次型.二次型可记为 f=xTAx,其中 AT=A.A 称为二次型 f 的矩阵,f 称为对称矩阵 A 的二次型.对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩.,二次型与它的矩阵是

8、一一对应的.当 aij 是复数时,f 称为复二次型;当 aij 是实数时,f 称为实二次型.我们只讨论实二次型.(2)只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式).(3)化二次型为标准形(i)任给可逆矩阵C,令 B=CTAC,如果 A 为对称矩阵,则 B 亦为对称矩阵,且 R(B)=R(A).,(ii)任给实二次型,总有正交变换 x=Py,使 f 化为标准形 f=1y12+2y22+nyn2,其中 1,2,n 是 f 的矩阵 A=(aij)nn 的特征值.(iii)拉格朗日配方法亦可把二次型化为标准形,此时所用的可逆变换一般而言不是正交变换.,6.正定二次型(1)定义 9 设有实二次型 f

9、(x)=xTAx,如果对任何 x 0,都有 f(x)0(显然 f(0)=0),则称 f 为正定二次型,并称对称矩阵 A 是正定的,记作A 0;如果对任何 x 0 都有 f(x)0,则称 f 为负定二次型,并称对称矩阵 A 是负定的,记作 A 0.,(2)惯性定理 设有实二次型 f=xTAx,它的秩为 r,有两个实的可逆变换 x=Cy 及 x=Pz,使得 f=k1y12+k2y22+kryr2,及 f=1y12+2y22+ryr2,则 k1,k2,kr 中正数的个数 p 与 1,2,r中正数的个数相等.p 称为正惯性指数;r-p=N 称为负惯性指数;s=p-N=2p-r 称为 f 的符号,差.,

10、(3)正定二次型的判定 n 阶实对称矩阵 A 为正定的充要条件有:(i)p=n;(ii)A 的特征值全为正;(iii)A 的各阶主子式都为正,即,基本要求 1.理解向量的内积、范数、正交矩阵的概念,掌握施密特(Schmidt)正交化方法.2.掌握矩阵的特征值、特征向量的概念,熟练掌握求矩阵特征值与特征向量的方法.3.掌握矩阵与对角矩阵相似的充要条件,了解任意实对称矩阵都能对角化.,二、基本要求与重点、难点,4.掌握实二次型的矩阵表示法，能熟练地用正交变换(或用非退化线性变换)化实二次型为标准形.5.掌握正定二次型、正定矩阵的概念，能判定正定二次型.,重点 特征值与特征向量的概念与求法;矩阵与对

11、角矩阵相似的条件及把矩阵化为相似对角矩阵的方法；化二次型为标准形；正定二次型的判定.难点 化矩阵为相似对角矩阵的方法；惯性定理.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想

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