相似三角形的判定及性质(人教A版选修4-1).ppt

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1、1.3相似三角形的判定及性质第一课时相似三角形的判定,1.掌握证明两个三角形相似的方法，正确选择好的方法2.能应用三角形相似解决有关问题.,1.3 相似三角形的判定及性质,第一讲 相似三角形的判定及有关性质,相似三角形的定义,对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似的系数).,复习回顾,判定两个三角形相似的简单方法,(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似.,如何证明？,1.3 相似三角形的判定及性质,P11,1.3 相似三角形的判定,1.3 相似三角形的判定,1.3

2、相似三角形的判定,预备定理,平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.,1.3 相似三角形的判定,已知,如图,在ABC和ABC中,A=A,B=B,求证:ABCABC,证明:,在ABC的边AB(或AB的延长线)上,截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.由预备定理得:ADEABCADE=B,B=BADE=BA=A,AD=ABADEABCABCABC,EAD=CABADE=ABCAED=ACB,作EF/DB交CB延长线于F,1.3 相似三角形的判定及性质,预备定理应用,ADEABC,2如图所示，ADEFBC，GHAB，则图中与BOC相似的三角形

3、有()A1个 B2个C3个 D4个,C,判定定理1,对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.,简述:两角对应相等,两三角形相似,例 如图,在ABC,AB=AC,D是AC边上一点,BD=BC.求证:BC2=ACCD,分析:遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似,证明:,ABC是等腰三角形A=180-2CBCD是等腰三角形DBC=180-2CDBC=A又C为公共角ABCBDC,即 BC2=ACCD,如图,圆内接ABC角平分线CD延长后交圆于一点E.,分析:遇到线段的比例问题可以考虑三角形的相似根据线段所在三角形考虑证EBDECB,练一练,证明

4、：由已知条件，可得ACE=BCE。,ACE与ABE是同弧上的圆周角，,ACE=ABE,BCE=ABE。,又 BED=CEB。,EBDECB,判定定理2,对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.,简述:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似,ADEABC,?,DE/BC,证明:作 DE/BC,交AC于E,AE=AE,因此E与点E重合即DE与DE重合,所以 DE/BC,采用了“同一法”的间接证明,引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.,当一个命题的条件和结论所指的

5、概念唯一存在时，若直接证明有困难，就不妨改为去证它的逆否命题，然后根据唯一性的原理断言命题为真，这种解题方法叫做同一法,用同一法解题一般有三个步骤先作出一个符合结论的图形，然后推证出所作的图形符合已知条件；根据唯一性，证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的；从而说明已知图形符合结论,例 如图,在ABC内任取一点D,连接AD和BD.点E在ABC外,EBC=ABD,ECB=DAB.求证:DBEABC.,判定定理3,对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.,简述:三边对应成比例,两三角形相似,已知:如图,在ABC和ABC中,求证:ABC

6、ABC,证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DE/BC,交AC于点E.,ADEABC,AD=AB,ADEABC,ABCABC,例 如图,已知D、E、F分别是ABC三边、BC、CA、AB的中点.求证：DEFABC,证明:线段EF、FD、DE都是ABC的中位线,DEFABC,例2.如图，ABC中，DEBA，EFBC，求证：EDCAFE.,解:DEAB，EFBC（已知），,CDEBEFA（两直线平行，同位角相等）,AEFC.（两直线平行，同位角相等）,AFEEDC.（两个角分别对应相等的两个三角形相似）,直角三角形相似的判定,定理,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个

7、三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.,(1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.,例如图，已知AD、BE分别是ABC中BC边和AC边上的高，H是AD、BE的交点,求证：(1)ADBC=BEAC(2)AHHD=BHHE,分析:(1)只要证明RtADCRtBEC(2)只要证明RtAHERtBHD,3.找出图中所有的相似三角形,ACD CBD ABC,你能写出对应边的比例式吗?,相似,相似,平方,相似,平方,小结,相似三角形的概念,预备定理,判定定理3,判定定理2,判定定理1,直角三角形判定定理,相似三角形的识别方法有那些？,方法1：通过定义,方法5：通过两角对应相等。,课 堂 小 结,（这可是今天新学的，要牢记噢！),方法2：平行于三角形一边的直线。,方法3：三边对应成比例。,方法4：两边对应成比例且夹角。,