电路的一般分析方法.ppt

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1、第2章 电路的一般分析方法,2.1等效电路分析电阻的串联、并联与等效二端网络电阻星形连接与三角形连接的等效变换电压源与电流源的串联、并联戴维南等效电路与诺顿等效电路2.2电路的基本分析方法支路电流法网孔分析法节点电压分析法,2.1 等效电路分析,2.1.1 电阻的串联、并联与等效二端网络1.电阻的串联若电路中有两个或更多个电阻一个接一个地首尾相接，并且在这些电阻中通过同一电流，则这样的连接法称为电阻的串联，如图2.1（a）所示。,图2.1 电阻的串联,2.1 等效电路分析,U表示a、b两端电压，I是通过串联电路的电流，R1，R2，Rn表示各个电阻，U1，U2，Un分别是各电阻两端的电压，由基尔

2、霍夫电压定律得出U=U1+U2+Un=I(R1+R2+Rn)=RI因此式中，R是串联电阻的等效电阻，如图2.1(b)所示。在电阻串联时，各电阻两端的电压UI为,2.1 等效电路分析,电阻串联时，其功率为上式表明，n个串联电阻吸收的功率等于等效电阻所吸收的功率。由图2.1(a)到图2.1(b)的电路变换称为等效变换电路。,2.1 等效电路分析,2.电阻的并联若电路中有两个或更多个电阻连接在两个公共节点之间，并且各电阻上的电压是相同的，则这样的连接方法称为电阻的并联，如图2.2(a)所示。,图2.2 电阻的并联,2.1 等效电路分析,用U表示a、b两端所加电压，I1，I2，In表示各电阻中流过的电

3、流，由基尔霍夫电流定律可知令，如图2.2(b)所示，将其代入上式可得出,2.1 等效电路分析,G称为并联电阻的电导或等效电导。在国际单位制(SI)中，电导单位是西门子(S)。电阻并联时，各电阻中的电流为可见，各个并联电阻中的电流与各自电导成正比，即总电流按各个并联电阻的电导进行分配。式(2-6)为电流分配公式。电阻并联，功率为上式表明，由几个并联电阻吸收的总功率等于等效电阻所吸收的功率。,2.1 等效电路分析,3.等效二端网络具有两个接线端的部分电路，进出接线端是同一电流，则称该部分电路为二端网络。二端网络分为无源二端网络和有源二端网络两种。,图2.3 二端网络的等效化简,2.1 等效电路分析

4、,图2.3(a)所示电路中，R3和R4串联后等效电阻R再与R2并联，其结果R再与R1串联。逐渐化简可得到图2.3(b)、图2.3(c)和图2.3(d)所示电路。其等效电阻为R=R1+R2(R3+R4)R2+R3+R4图2.3(d)与图2.3(a)端口的伏安关系相同，所以这两个二端网络是等效的。运用二端网络等效概念，在内部结构未知时，可以用实验方法求出二端网络端电压及电流值，即可求出其等效的电阻。,2.1 等效电路分析,【例2.1】如图2.4（a）所示，求a、b端等效电阻Rab。解：由图2.4(a)的a、b两端看去，首先缩短电路图中无电阻支路，为使其关系明确，可调换元件在电路中的位置，如图2.4

5、(b)所示。最后按串、并联关系逐步化简成图2.4(c)，写出其等效电阻。Rab=3,图2.4 例2.1图,2.1 等效电路分析,【例2.2】如图2.5(a)所示电路，求Rab。解：求a、b端等效电阻，首先缩短图2.5(a)中无电阻支路，为使连接关系明确，可调换元件在电路中的位置，如图2.5(b)所示。然后按串、并联关系逐步化简成图2.5(c)，写出其等效电阻。,图2.5 例2.2图,2.1 等效电路分析,电阻星形连接与三角形连接的等效变换1.电阻的星形连接与三角形连接将三个电阻的一端都接在一个公共节点上，另一端分别接到三个端钮上，构成电阻的星形(Y)连接，如图2.6(a)所示。将三个电阻分别连

6、接在三个节点上，从而组成一个闭合回路，如图2.6(b)所示，构成三角形()连接。,图2.6 电阻的星形连接与三角形连接,2.1 等效电路分析,2.电阻的星形(Y)与三角形()连接的等效变换星形连接和三角形连接都是通过三个端钮与外部相连的。它们之间的等效变换就是要求它们外部性能相同，即当它们对应端钮间的电压相等时，流入对应端钮间的电流也必须分别相等。,图2.7 电阻星形连接与三角形连接的等效互换,2.1 等效电路分析,图2.7(a)、图2.7(b)分别表示接到端钮1、端钮2、端钮3的星形连接和三角形连接的三个电阻。设在它们对应端钮之间有相同的电压U12、U23、U31，其电流参考方向也在图上标出

7、。如果它们彼此相等，即I1=I1I2=I2I3=I3 对于三角形连接的网络，各电阻中的电流分别为根据KCL，端钮处电流分别为,2.1 等效电路分析,对于星形连接的网络，要找出端钮处电流与端钮之间的电压关系稍复杂些，但根据下式可解出电流,2.1 等效电路分析,不论电压U12、U23、U31为何值，两个网络若要等效，流入对应端钮的电流就必须相等，所以式(28)与式(29)中电压U12、U23、U31前面的系数应该对应相等，解得,2.1 等效电路分析,上式从已知的星形网络电阻来确定等效三角形网络各电阻关系式。由式(2-10)可解出上式从三角形网络电阻确定等效星形网络各电阻关系式。式(2-10)用电导

8、表示，则写成,2.1 等效电路分析,【例2.3】电路如图2.8(a)所示，已知Uab=240V,Uac=120V,Ra=Rb=Rc=8，求Ia。解：先将图2.8(a)转换成图2.8(b)的三角形连接。Ra=Rb=Rc=RY代入式(2-10)，得出Rab=Rbc=Rac=RR=3RY=38=24电阻Rab和Rac上电压为已知，根据欧姆定律可得出,图2.8 例2.3图,2.1 等效电路分析,2.1.3 电压源与电流源的串联、并联1.电压源的串联、并联现有三个电压源串联如图2.9(a)所示。根据基尔霍夫电压定律可得Uab=US1-US2+US3(2-13)US=Uab(2-14)图2.9(b)是图2

9、.9(a)的等效电路。其a、b端电压Uab为US1-US2+US3，即等效电压US。不论外电路如何变化，US不变。,图2.9 电压源串联电路,2.1 等效电路分析,当a、b两端有n个电压源串联时，其等效电压源为n个电压源的代数和，即2.电流源的串联、并联以三个电流源并联为例，如图2.10(a)所示。根据基尔霍夫电流定律得出I=IS=-IS1+IS2+IS3(2-16),图2.10 电流源并联电路,2.1 等效电路分析,图2.10(b)符合式(216)等效电路。不论a、b两端的电路如何变化，等效电流源IS不变。当a、b两端有n个电流源并联时，则,2.1 等效电路分析,3.电压源与电流源串联、并联

10、(1)电压源与电流源串联根据伏安关系相等原则，图2.11(a)所示电路等效成图2.11(b)所示电路。若电阻与电流源串联，如图2.12(a)所示，从a、b两端看去，其等效电路如图2.12(b)所示，电阻RS不加考虑。,图2.11 电压源与电流源串联及其等效电路,图2.12 电流源与电阻串联及其等效电路,2.1 等效电路分析,(2)电压源与电流源并联电压源与电流源并联电路如图2.13(a)所示。根据电压源特性，可以等效成图2.13(b)所示电路，图中的电流源不考虑。若电压源与电阻并联如图2.14(a)所示，并联电阻RS不予考虑，图2.14(b)是图2.14(a)的等效电路。,图2.13 电压源与

11、电流源并联及其等效电路,图2.14 电压源与电阻并联及其等效电路,2.1 等效电路分析,【例2.4】试求图2.15(a)所示电路的等效电路。解：在图2.15(a)所示电路中，将1A电流源与2V电压源串联支路化简成图2.15(b)所示电路，然后将其1A电流源与2V电压源并联电路化简为2V电压源，电路如图2.15(c)所示。最后等效成图2.15(d)所示电路。,图2.15 例2.4图,2.1 等效电路分析,2.1.4 戴维南等效电路与诺顿等效电路一个含源二端网络可以等效成电压源与电阻串联电路，或者电流源与电阻并联电路。前者称为戴维南等效电路，后者称为诺顿等效电路。图2.16(a)所示电路将含源串联

12、二端网络进行化简，可使其等效成如图2.16(b)所示电路，也可以转化成如图2.16(c)所示的等效电路。,图2.16 电压源串联及其等效电路,2.1 等效电路分析,图2.16(b)中US=US1+US2R=R1+R2图2.16(c)中R=R1+R2,2.1 等效电路分析,如图2.17(a)所示电路为含源并联二端网络，转换后变成图2.17(c)所示电路，也可以把图2.17(b)电路等效成图2.17(d)所示电压源与电阻串联等效电路。,图2.17 含源支路并联及其等效电路,2.1 等效电路分析,其中由图2.17(c)得出图2.17(d)中因此，含源支路串联或并联电阻组成的二端网络都可以简化成戴维南

13、等效电路或诺顿等效电路。,2.1 等效电路分析,【例2.5】求图2.18(a)所示电路中的电流I。解：利用电压源及电流源模型电路等效变换原理，依次将图2.18(a)电路逐步变换成图2.18(E)电路，从图中求出I为,图2.18 例2.5图,2.2 电路的基本分析方法,2.2.1 支路电流法1.独立方程概念若某电路有n个节点，b条支路，则可列出独立的KVL方程b-n+1个。对于平面网络而言，每个网孔列出的KVL方程一定是相互独立的。一个平面网络中的网孔数为b-n+1个。因此，一个共有n个节点，b条支路的电路，总可以通过列出n-1个独立的KCL方程及b-n+1个独立的KVL方程联立求解，以求出b条

14、支路电流和b条支路电压。,2.2 电路的基本分析方法,【例2.6】电路如图2.19所示，试求各支路的电压和电流。解：图2.19所示电路具有4个节点和6条支路，各支路电流及其参考方向如图所示。各支路电压采用与相应支路电流关联的参考方向。(1)列出KCL方程。首先选择节点4作为参考节点。节点1：I1-I2-I5=0节点2：I2-I3+I4=0节点3：-I1+I3+I6=0,图2.19 例2.6图,2.2 电路的基本分析方法,(2)列KVL方程。令网孔、绕行方向为顺时针，如图2.19所示。网孔：U1+U2+U3=0网孔：-U2+U4+U5=0网孔：-U3+U6-U4=0(3)列各支路方程。支路1：U

15、1=1+2I1支路2：U2=I2支路3：U3=I3支路4：U4=I4支路5：U5=2I5-4支路6：U6=2I6-9以上12个方程联立，解得I1=1I2=-1I3=-2I4=-1I5=2I6=3AU1=3VU2=-1VU3=-2VU4=-1VU5=0VU6=-3V,2.2 电路的基本分析方法,2.支路电流分析法为了减少求解电路的联立方程数，可以选择某些求解量作为首选量。支路电流就是这种求解量，只需要列写b个方程，即(n-1)个独立KCL方程和b-n+1个独立KVL方程。列写KVL方程时，要用到支路伏安关系。【例2.7】电路如图2.19所示，用支路电流分析法求解各支路电流和电压。,图2.19 例

16、2.6图,2.2 电路的基本分析方法,解：首先写出支路电流方程。(1)列出KCL方程。节点1：I1-I2-I5=0节点2：I2-I3+I4=0节点3：-I1+I3+I6=0(2)列出KVL方程。用支路电流表示。网孔：1+2I1+I3+I2=0网孔：-I2+I4+2I5-4=0网孔：-I3+2I6-9-I4=0以上6个方程都是用支路电流表示的，联立解得I1=1A;I2=-1A;I3=-2A;I4=-1A;I5=2A；I6=3A由以上6个支路电流，再根据各支路伏安关系，可求出各支路电压为U1=1+2I1=1+21=3VU2=I2=-1VU3=I3=-2VU4=I4=-1VU5=2I5=22-4=0

17、VU6=2I6-9=23-9=-3V,2.2 电路的基本分析方法,2.2.2 网孔分析法所谓网孔分析法，是以电路中网孔电流为求解量的一种分析方法。,图2.20 网孔分析法电路,2.2 电路的基本分析方法,由图2.20(a)可见，电路中共有6条支路，要求出各支路的电流和电压，则需求解12个未知量。为此，先设电路中有3个网孔电流Ia、Ib、Ic在流动，并将它们作为未知量列写基尔霍夫电压方程,求出网孔电流Ia、Ib、Ic，然后再求支路电流及支路电压。(1)假设网孔电流为Ia、Ib、Ic，如图2.20(b)所示，参考方向设定为顺时针方向(或者逆时针方向)。(2)各支路电流参考方向如图2.20(b)所示

18、。各支路电流与网孔电流关系为I1=IaI2=-IbI3=Ib-IaI4=Ic-IbI5=Ic-IaI6=Ic,2.2 电路的基本分析方法,(3)以网孔电流作为未知量，列写图2.20(b)电路的基尔霍夫电压定律方程，设网孔电流方向为绕行方向，列写方程如下IaR1+US1+IaR3+IaR5-IbR3-IcR5=0IbR2+IbR4+IbR3-IcR4-IaR3-US1=0(2-18)IcR5+IcR4+IcR6-IaR5-IbR4-US2=0整理式(2-18)，得出Ia(R1+R3+R5)-IbR3-IcR5=-US1-IaR3+Ib(R2+R3+R4)-IcR4=US1(2-19)-IaR5-

19、IbR4+Ic(R4+R5+R6)=US2,2.2 电路的基本分析方法,进一步分析式(2-19)，并且找出规律性。式(2-19)可以写成式中，R11、R22、R33称为网孔1、网孔2、网孔3的自电阻，分别为,2.2 电路的基本分析方法,根据图2.20(b)及式(2-19)可得出R12=R21R23=R32R13=R31式(2-20)中，US11、US22、US33分别为各网孔中电压源的电压升的代数和，其中US11=-US1US22=US1US33=US2由式(2-20)不难推导出具有n个网孔电路的网孔方程组，即,2.2 电路的基本分析方法,若I1，I2，In为网孔电流，当选取某一网孔电流参考方

20、向(如In)时，则全部互电阻(如R12，R13等)应该为负值。由式(2-21)，根据系数行列式解出各网孔电流，即求解I1，I2，In。,2.2 电路的基本分析方法,【例2.8】电路如图2.21所示，US=20V,IS1=10A,IS2=5A,R1=R2=R3=R4=R5=1，试求流过R3的电流。,图2.21 例2.8图,2.2 电路的基本分析方法,解：用网孔分析法求解图2.21(a)所示电路，图中有4个网孔，需要列出4个网孔电流方程，为了简化方程可以把电路等效变换成图2.21(b)所示电路。其中US1=10V,US2=5V。(1)假设支路电流I1、I2、I3及网孔电流Ia、Ib参考方向如图2.

21、21(b)所示。(2)根据基尔霍夫电压定律列写网孔电流方程Ia(R1+R4+R5)-IbR4=US1-US-IaR4+Ib(R2+R3+R4)=US-US2代入参数整理可得3Ia-Ib=-10-Ia+3Ib=15解得Ia=-1.875AIb=4.375A(3)求流过R3电阻电流I2。I2=Ib=4.375A,2.2 电路的基本分析方法,【例2.9】列写图2.22所示电路的一般网孔电流方程式。解：设电流源IS2的端电压为UI，在所选定的网孔电流参考方向下，电路的网孔方程为R1I1+UI=-US1-UI+(R3+R4)I2-R4I3=0-R4I2+(R4+R5)I3=-US3-I1+I2=IS2,

22、图2.22 例2.9图,2.2 电路的基本分析方法,【例2.10】对图2.22所示电路，试选用最少方程式求解。解：为了用最少方程式求解，将图2.22所示电路中电流源IS2移到电路的左边，它与R1、US1关系不变，如图2.23所示。虽然电路中仍有三个网孔，即图中所设Ia、Ib、Ic，但是其中Ia与IS2关系如下Ia=IS2,图2.22 例2.9图,图2.23 例2.10图,2.2 电路的基本分析方法,所以Ia为已知，以网孔电流作为未知量的独立方程仅需列写两个，即-IaR1+Ib(R1+R3+R4)-IcR4=-US1-IbR4+Ic(R4+R5)=-US3【例2.11】电路如图2.24所示，试列

23、写其网孔电流方程并求解各网孔电流。,图2.24 例2.11图,2.2 电路的基本分析方法,解：电路中2A电流源处于电路中间位置，而且又处于两个网孔之间，在这种情况下不能移动电流源。为此，在电流源两端假设一电压U，将此电压视为电压源，其参考极性如图2.24所示,图中的Ia、Ib、Ic为设定的网孔电流。列写网孔电流方程如下4Ia-Ib-Ic=-1-Ia+3Ib=4-U-Ia+3Ic=U+9增加一个附加方程Ic-Ib=2以上4个方程联立，解得Ia=1AIb=15AIc=35A,2.2 电路的基本分析方法,【例2.12】电路如图2.25所示，列写其网孔方程并求其网孔电流。解：由图2.25可见，图中含有

24、两个受控源，其中一个是受电流I3控制的电压源10I3，另一个是受5电阻两端电压U1控制的电压源5U1。列写网孔方程时，首先把受控源作为独立源看待，按前面分析的规律列出方程。若受控源的控制量不是网孔电流，则需要再补充一个反映控制量与某网孔电流关系的方程式；,图2.25 例2.12图,2.2 电路的基本分析方法,若受控源的控制量是某一网孔电流，则不必再补充方程式了。令网孔电流为Ia、Ib，如图2.25所示，网孔方程如下(5+10)Ia-10Ib=5-10I3-5U1-10Ia+(5+10)Ib=5U1-10增加附加方程I3=Ia-IbU1=5I2=5Ib以上4个方程联立并解得Ia=0Ib=1A,2

25、.2 电路的基本分析方法,2.2.3 节点电压分析法所谓节点电压分析法，是以电路中各节点电压(节点与参考点之间的电压)为求解量的一种分析方法。它按照节点列出基尔霍夫电流方程，联立解出各节点电压，然后再求出各支路的电压和电流。节点电压分析法是前面分析单节点偶电路的推广，单节点偶电路分析法是节点分析法的一种特例。下面以图2.26所示电路为例，说明节点电压分析方法，以及如何使用此方法求解各支路的电流和电压。,2.2 电路的基本分析方法,图2.26所示电路中有9条支路、6个待求电流和3个待求电压。先求解节点电压，再求各支路电流，可以使问题得到简化。各支路电流与节点电压关系如下,图2.26 节点电压分析

26、法,2.2 电路的基本分析方法,列写基尔霍夫电流方程如下整理式(2-22)，得出将上式概括成一般形式,2.2 电路的基本分析方法,式中，G11、G22分别称为节点1、节点2的自电导。习惯上，自电导为正，它们分别是各节点上所有电导的总和，即G11=G1+G2+G3+G4G22=G5+G6+G3+G4G12称为节点1和节点2的互电导，它也是这两个节点间的公共电导。习惯上，互电导是负的，写成G12=-(G3+G4)G21称为节点2和节点1之间的互电导，它也是这两个节点之间的公共电导，前面也有负号，显然G12=G21,2.2 电路的基本分析方法,式(2-24)中，IS11、IS22分别为电流源输送给节

27、点1、节点2的电流代数和。其中IS11=IS1+IS3IS22=IS2-IS3根据上述分析，可以推广至n-1个独立节点的电路，节点方程的形式应为式(2-25)的节点方程为一般形式，可以用来研究线性电路的一些性质。,2.2 电路的基本分析方法,【例2.13】电路如图2.27所示，试用节点电压分析法求解各支路电压和电流。解：(1)首先选取节点4作为参考节点，并且接地。节点1、节点2、节点3为独立节点。(2)各支路电流的参考方向和元件端电压的参考极性如图2.27所示。(3)列写节点电压方程,图2.27 例2.13图,2.2 电路的基本分析方法,将上述3个方程联立解得,2.2 电路的基本分析方法,式中

28、，,2.2 电路的基本分析方法,(4)根据节点电压求解各支路元件端电压和电流,2.2 电路的基本分析方法,【例2.14】电路如图2.28(a)所示，试用节点电压法求解U0。解：(1)图2.28(a)所示电路中含有两个电阻与电压源串联支路，但是按节点电压分析法的基本结构没有说明电路中含有电压源的情况。因此应该将图中电阻与电压源串联支路变成电流源与电阻并联电路，如图2.28(b)所示。,图2.28 例2.14图,2.2 电路的基本分析方法,(2)选择节点4作为参考节点，并且接地。其他节点编号如图2.28(b)所示。(3)列写节点电压方程(4)整理方程组，解出U2,2.2 电路的基本分析方法,用行列

29、式求解,2.2 电路的基本分析方法,【例2.15】电路如图2.29所示，试求电路中各节点电压。解：(1)图2.29中节点1和节点3之间的支路是由电阻与电流源的电路构成的，这个支路不是电流源模型电路。从等效电路出发,1电阻可以去掉,列写方程式时可以不用。,图2.29 例2.15图,2.2 电路的基本分析方法,(2)图2.29中含有4个独立节点，选择节点4接地，作为参考点。(3)电路中节点2与参考点(即节点4)之间有电压源US=2V，并且负极性端与节点4相连，所以节点2的电压为2V，即已知。在列写节点电压方程时可以少列一个，只列写节点1和节点3方程。(4)列写方程式U1(1+0.5)-21=-1.

30、5+1-21+U3(1+0.5)=8-1,2.2 电路的基本分析方法,整理方程式得出1.5U1=-0.5+21.5U3=7+2解之U1=1VU3=6VU2=2V值得注意的是，电路中节点1和节点3之间的电流源与1电阻为串联支路，从等效电路出发，去掉1电阻，无论自电导或互电导中都不含有该支路的1电阻。,2.2 电路的基本分析方法,【例2.16】电路如图2.30所示,试求各节点电压。解：(1)该电路中有两个电压源，它们分别是5V电压源和2V电压源，选择合适的参考点接地，使得节点电压等于电压源电压。为此，选择节点4作为参考点，使得电路中节点1电压等于5V电压源电压，节点2电压等于2V电压源电压。因此列

31、写节点方程时只列一个方程即可。,图2.30 例2.16图,2.2 电路的基本分析方法,(2)列写方程，并求解节点电压(3)应该强调指出，类似于图2.30所示电路，若电路中含有n个具有公共节点的电压源，当用节点分析法进行分析时，可把电压源的公共节点选为参考节点，这样可以少列写几个节点方程，从而使分析和求解简化。,2.2 电路的基本分析方法,(4)若选择电路中的参考点不与电压源两端相接，此时要按节点电压法列写方程，就需要在电压源中假定一个电流，并把它作为电流源处理，列写方程时写在方程式右侧，成为电流源的代数和中的组成部分。这样必然多出一个未知量，即电压源中假定的电流。为此，可以利用电压源的电压等于

32、其所跨接的两个节点电压之差的规律，补充一个方程式，使方程数与未知量相等。若选择其他节点，如节点3为接地点，2V电压源支路假设电流I1参考方向为从节点4流向节点2，5V电压源支路假设电流I2参考方向为节点4流向节点1。其节点电压方程为,2.2 电路的基本分析方法,由方程可见，因为有5个未知量，所以列写5个方程，较节点4接地方程多了2个。因此选择参考点时，为了计算方便，应选择电压源的一极为好。,2.2 电路的基本分析方法,【例2.17】电路如图2.31所示,试求解节点电压。解：(1)首先选择节点4接地，作为参考点。(2)电路中含有受控源，它是受0.25电阻两端电压UA控制的电流源，即电压控制的电流

33、源2UA。列写节点方程时，首先把受控源作为独立源看待，再按式(2-25)列写方程。若受控量不是某个节点电压，就需要补充一个反映控制量与某节点电压关系的方程式。若受控源的控制量是某一节点电压，就不用再补充方程了。图2.31所示电路节点电压U2等于UA，所以不必再补充方程。,图2.31 例 2.17图,2.2 电路的基本分析方法,(3)列写方程，并且求解U1、U2、U3整理上述方程式,2.2 电路的基本分析方法,将方程式中系数化简得解之,2.2 电路的基本分析方法,综上所述,用节点电压法解题的一般步骤如下。(1)指定参考点，其余各节点与参考节点之间的电压即为节点电压或电位，节点电压都以参考节点电压为负极性。(2)列写节点方程，参考式(2-25)列写。(3)连接到本节点的电流源，当其电流流入节点时，前面取正号，反之取负号。(4)根据节点电压方程解出各节点电压，再根据欧姆定律求出各支路电流。(5)对于含有受控源的电路，列写节点方程时可用与独立源一样的方法列写方程，但一般要附加一方程。(6)节点电压法中选择参考点非常重要，一般选择公共节点或电压源的某一电极，否则可能列写的方程数增多。,