电磁场与电磁波-第4章.ppt

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1、,第4章 静态场及其边值问题求解主要内容静态场特性、泊松方程和拉普拉斯方程、静态场的重要原理和定理镜像法、分离变量法、有限差分法,4.1 静态场特性,1、静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随时间发生变化的场。静态场包括静电场、恒定电场及恒定磁场，它们是时变电磁场的特例。静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变化的电荷产生的电场；恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生的电场；恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的磁场，亦称为静磁场。,2、静态场的麦克斯韦方程组 静态场与时变场的最本质区别：静态场中的电场和磁场是彼此独立存在的。,1、静电场的泊松方程和拉普拉斯方程,4.2、泊松方程和

2、拉普拉斯方程,静电场基本方程,静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。,泊松方程,拉普拉斯方程,无源区域,2、恒定电场的拉普拉斯方程,恒定电场基本方程,导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，是保守场,拉普拉斯方程,3、恒定磁场的矢量泊松方程,洛仑兹规范,矢量泊松方程,恒定磁场基本方程,恒定磁场是无散有旋场。,矢量拉普拉斯方程,注意：标量磁位只有在无源区才能应用，而矢量磁位则无此限制。,分解,在没有电流分布的区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性质，引入标量磁位 来表示磁场强度。即,标量拉普拉斯方程,4.3、静态场的重要原理和定理,对偶原理(1)概念：如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学

3、形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。,(2)静电场与恒定电场对偶方程对偶量,(3)静电场与恒定磁场 对偶方程 对偶量,(4)有源情况下的对偶关系 对偶关系存在 不像上述两种情况那样一目了然,(5)应用电偶极子和磁偶极子辐射的对偶关系，某些波导中横电波(TE波)和横磁波(TM波)间的对偶关系,例1:已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位差为，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。,解：根据轴对称的特点和无

4、限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系,积分,由边界条件,则：,解:(1)由于内、外导体的电导率很高，可以认为电力线仍和导体表面垂直，和静电场的边界条件一致，利用对偶原理，可以立即得到,(2)单位长度同轴线漏电流密度为,例2:如图所示，在电缆中填充电导媒质，其他条件同“例1”，求:(1)内外导体间的电位及电场强度。(2)单位长度上该同轴线的漏电流。,则漏电流为,2.叠加定理,若 和 分别满足拉普拉斯方程，则 和 的线性组合 必然满足拉普拉斯方程。证明：已知 和 满足拉普拉斯方程 所以：,利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解为较简单问题的组合，便于求解。,3.惟一性定

5、理,边值问题的分类 狄利克雷问题：给定整个场域边界上的位函数值纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合 惟一性定理：在给定边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。用反证法可以证明。,惟一性定理为某些复杂电磁问题求解方法的建立提供了理论根据。镜像法就是惟一性定理的直接应用。,4.4、静态场边值问题的解法,静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。,常用的方法有,解析法中将介绍分离变量法；数值法中将介绍有限差分法；而间接法中将介绍镜像法。,1、静态电磁场的方程与边界条件,2、镜像法,在静电场中

6、，当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布，一般情况下，直接求解这类问题是困难的，这是因为感应电荷或极化电荷也是未知量，它也取决于总电场。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,（1）问题的提出,几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分

7、布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。,镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，因而这种方法称为镜像法。,像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素”；,镜像法应用的关键点,确

8、定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定。,局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布 的电荷才有可能确定其镜像电荷。,(2)、接地导体平面的镜像,点电荷对无限大接地导体平面的镜像,待求场域：上半空间 边界：无限大导体平面 边界条件：,在空间的电位为点电荷q 和镜像电荷(=-q)所产生的电位叠加，即,电位满足边界条件,导体平面边界上：,上半空间(z0）的电位函数,导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,可见，导体平面上的总感应电荷恰好与所设置的镜

9、像电荷相等。,线电荷对无限大接地导体平面的镜像,将无限长的线电荷看作无数个点电荷的集合。根据点电荷对无限大接地导体平面的镜像原理，可得到线电荷对应的镜像电荷仍为平行于导体表面的线电荷，其电荷密度为待求场域 中的电位上半空间的电场,q,d1,d2,1,2,R,R1,R2,R3,点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1,d2)处。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1,d2),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于(d1,d2),显然，q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件。,只有在(d1,d2)处再设置一镜像电荷q

10、3=q，所有边界条件才能得到满足。,电位函数,如果两导体平面不是相互垂直，而是相交成 角，只要，这里的 为整数，就能用镜像法求解，其镜像电荷数为有限的 个。,角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。,n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。,(3)、导体球面的镜像,.点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。q应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径为a

11、 的接地导体球外，距球心为d。,问题：,在球面上任取一点c，则,方法：利用导体球面上电位为零确定q和d。,球外任意一点P 的电位：,因为,于是球外任意点的电位,若球外任意点坐标为：,则,所以,点电荷位于接地导体球附近的场图,.点电荷对不接地导体球的镜像,先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为 的感应电荷分布，则,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面,球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的 感应电荷为零,采用叠加原理来确定镜像电荷,点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d。,然后断开接地线，这样导体球上带电量为，根据电荷守恒定律，原来导体球上感应

12、电荷代数和应为零。所以，必须在导体球内再附加另一镜像电荷，为保持导体球面为等位面，所加的镜像电荷应位于球心处。,球外任意点的电位为：,所以，不接地导体球镜像电荷：,点电荷位于不接地导体球附近的场图,例3：有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2，与球心距离分别为d1和d2，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。,球壳外：边界为r=a2的导体球面，边界条件为 根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为 球壳外区域任一点电位为,解：,球壳内：边界为r=a1的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为,

13、球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。,用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。,(4)、导体圆柱面的镜像,问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为 的无限长线电荷位于半径为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。,特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。,分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。,.线电荷对接地导体圆柱面的镜像,边界条件：柱面上电位为零 设想镜像线电荷 位于对称面上，且与圆柱轴线距离为，则导体柱面上任一点的电位表示为 其中：,两平行线电荷的

14、电位分布,在柱面上取两个特殊点M和N，则,空间电位为：,其中：,.两平行圆柱导体的电轴,特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。,分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为、且相距为2b的两根无限长带电细线来等效替代，如图2所示。,问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和。,通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。,由,利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b。,导体圆柱外空间任意一点的电位函数就等于线电荷密度分别是 和 的两平行双线产生的

15、电位叠加,例题4:试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。,(以y轴为电位为参考点),解：,例5：设两平行长直导体圆柱半径分别为a和b，且分别带有等量异号电荷，两圆柱几何轴线相距为d，试求电轴的位置。,设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和，其位置如图所示。,其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。,两电轴在空间产生的电位为等位面方程为,例6：图为一偏心电缆，内导体半径为a，外导体半径为b，两几何轴线间距离为d，求两等效电轴的位置。,只要

16、能求出假想电轴的位置，使两个导体圆柱面分别和电场中两个等位面重合，就满足了导电圆柱面为等位面的边界条件。根据电轴法,两等效电轴的位置分别位于（c，0）和（c，0）处。,(5)、介质平面的镜像,点电荷对无限大电介质分界平面的镜像,特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。,问题：如图 1 所示，介电常数分别为 和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质1中有一个点电荷q，距分界平面为h。,分析方法：计算电介质1中的电位时，用位于介质2中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为

17、的均匀介质，如图2所示。,介质1中的电位为,计算电介质2中的电位时，用位于介质1中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图3所示。介质2中的电位为,可得到,说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷，其镜像电荷为,利用电位满足的边界条件,电介质中的电场分布：,线电流对磁介质分界面的镜像,当计算上半空间的磁场时可认为整个空间充满磁导率为1的磁介质，在下半空间有一镜像电流I，与I关于分界面对称(如图所示)。上半空间任一点的磁场为,设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边界条件不变,当计算下半空间磁场时可认为整个空间

18、充满磁导率为2的磁介质，在上半空间有一镜像电流I，与电流I 位置重合(如图)。下半空间任一点的磁场为在分界面(r=r=r)上，磁场满足边界条件：,讨论：,(1)当 时，说明 与 方向相同，与 方向相反。,(2)当 时，说明 与 方向相反，与 方向相同。,(3)当 有限 时，此时铁磁质中 但。,(4)当 有限 时，此时 中磁场 为原来的两倍。,磁壁,3、分离变量法,理论基础：惟一性定理,基本思想：把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知函数仅是一个坐标变量的函数，代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常微分方程，然后分别求解这些常微分方程并利用边界条件确定其中的待定常

19、数，从而得到位函数的解。应用分离变量法求解时，所求场域的边界面应与某一正交曲面坐标系的坐标面重合。,分离变量法的主要步骤：1、根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。2、经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。3、利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。,（1）直角坐标系中二维拉普拉斯方程分离变量法,在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为,将(x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即,将其代入拉普拉斯方程，得,再除以X(x)Y(y)，有,对于x,y取

20、任意值时，上式恒等。所以，式中的每一项都须为常数。将此常数写成k2(分离常数)，即,则有,.当 时,.当 时（即 为不为0的任意常数），设,由,或,则：,则方程的解为,双曲正弦,双曲余弦,或,则：,方程的解为,.当 时，即 为虚数设,由,应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解,三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。,解:选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程 边界条件

21、：,例7：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。,设 代入式(1)中得:,根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0)=0，所以X(x)应选取正弦函数，即,由边界条件(3)得：,对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为,此时，电位可表示为由边界条件(5)知 其中：,对上式两边同乘以，再对x从0到a进行积分，即,满足边界条件的特解为：,（2）、直角坐标系中三维拉普拉斯方程分离变量法,根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。,4.有限差分法

22、,有限差分法是求解电磁场问题的数值法。数值法的基本思想是将所要求的整个连续分布的场域空间的场转换为所求解的场域空间中各个离散点上场的集合。显然，离散点取得越多，对场分布的描述就越精确，但是计算量也越大。,对于边界条件过于复杂的电磁场问题，无法求得解析解。,有限差分法是将求解区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用求解网格节点上的离散的数值解代替，即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。,网格的划分有不同的方法，我们只讨论正方形网格划分。,故点1的电位,点3的电位,设x轴上邻近O点的一点的电位为，用泰勒公式展开为,于是,同理,将以上二式相加,得,若所求区域电荷分布为零，则,上式

23、表示任意一点的电位等于围绕它的4个点的电位的平均值。,对每一网格点写出类似的式子，得到方程数与未知电位的网格点数相等的线性方程组。,将边界条件离散化，作为边界上节点的已知电位。,式中,已知一正方形截面的无限长金属盒。盒子两侧及底部电位为零，顶部电位为100V，求盒内的电位分布。,根据二维拉氏方程的有限差分形式得点5的电位为,一、简单迭代法,对每一网格点赋初值:,点1、3电位为,点7、9电位为,点4、6电位为,点2电位为,点8电位为,初值给定后，按一固定顺序（点的顺序是从左到右，从下到上），利用拉氏方程的差分形式，用围绕它的4个点的电位的平均值作为其新值，依次计算每点的电位。当所有点计算完后，用新值代替旧值，即完成一次迭代。然后再进行下一次，直到每一点计算的新值和旧值之差小于指定的范围。,二、超松驰法,为使计算时收敛速度更快，常采用超松驰法。点 的电位由下式计算,为了加快收敛，可引进一个松驰因子，上式变为,有一个最优值，如果选择恰当，将大大地提高收敛速度。,两个重大改进：1、计算每一个网格点时，把刚才计算得到的邻近点的电位新值代如2、引入松弛因子，加快收敛速度。,