22 离散型随机变量及其分布.ppt

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1、第二节 离散型随机变量 及其分布律,一、离散型随机变量的分布律,二、常见离散型随机变量的概率分布,三、小结,说明,一、离散型随机变量的分布律,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,解,则有,例1,也可写成 PX=k=(1 p)kp,k=0,1,2,3,PX=4=(1 p)4.,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为,则称 X 服从(01)分布或两点分布.,1.两点分布,PX=k=pk(1p)1k k=0,1 0 p 1.,表格形式为:,实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从(01)分布.,实例2 200件产品中,有190件

2、合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.,说明,2.等可能分布,如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,将试验 E 重复进行 n 次,若各次试验的结果互不影响,即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果,则称这 n 次试验是相互独立的,或称为 n 次重复独立试验.,(1)重复独立试验,3.二项分布,(2)n 重伯努利试验,实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将

3、硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.,实例2 抛一颗骰子n次,观察是否“出现 1 点”,就是 n重伯努利试验.,(3)二项概率公式,且两两互不相容.,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布的图形,分析,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,例2,设 X 为20只产品中一级品的数量,则 X b(20,0.2).,于是,计算结果如下:,图形:,规律:当 k 增加时,概率 PX=k 先增并达到最大值,随后单调减少.,解,因此,例3,(1)对于发生概率低的事件,如果试验独立进行多次,事件必然发生;,(2)若本例中40

4、0次射击中中靶不到两次,可以认为命中率不到0.02.,不能轻视小概率事件.,说明:对于本例的结果在实际中反映出这样两个问题:,例4 80台同类型设备,各台工作相互独立,发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一人处理.考虑两种配备维修工人的方法:其一由4人维护,每人负责20台;其二由三人共同维护80台.比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率.,解 第一种方式.记 X 为“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”,Ai 表示事件“第 i 人维护的20台中发生故障不能及时维修”(i=1,2,3,4),且80台中发生故障不能及时维修的概率为,则 X b(20,0.01),=0.

5、0169,即,第二种方式:记 Y 为“80台中同一时刻发生故障的台数”,则 Y b(80,0.01).,则80台中发生故障不能及时维修的概率为,=0.0087,因此第二种方式更科学.工作效率提高了.,另解,按第一种方法,故有,即有,按第二种方法,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?,例,故所求概率为,可利用泊松定理计算,4.泊松分布,泊松分布的图形,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分

6、析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X 服从泊松分布.,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,上面我们提到,单击图形播放/暂停ESC键退出,泊松定理 设 是一个常数，n是任意正整数，设,，则对于任一固定的非负整数 k，有:,证明,由，有：,对任意固定的k，当n时，,得证。,说明：,在（常数）中，当n很大时，pn必定很小。,

7、因此，当n很大时，有近似式：,即：n很大时，二项分布的概率值可以由泊松分布的概率值近似计算。,例5 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立。求在1000只产品中至少有2只次品的概率。以X记产品中的次品数，Xb(1000,0.001),解,也可用泊松分布近似计算，得：,结论：当n20，p0.05时，用,近似效果好。,5.几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量,求X 的分布律.,解,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、小结,1、,