用正交变换化二次型为标准形.ppt

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1、第三节 用正交变换化二次型为标准形,一、正交变换,二、利用正交变换化二次型为标准形,下页,一、正交变换,定义1 设P为n阶正交矩阵，X、Y是 中的n维向量，,称线性变换 XPY 是 上的正交变换.,性质：,（1）正交变换是可逆线性变换；,（2）正交变换不改变向量的内积.,定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.,定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的 ri 重特征值li 对应 ri 个线性无关的特征向量.,下页,定理3 设A为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使,其中,为A的n个特征值，,正交矩阵P的n个列向量,是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.,二、用正

2、交变换化二次型为标准形,利用正交变换化二次型为标准形的方法（熟练掌握）：,(1)写出二次型的矩阵形式；(2)求出A的全部特征值1,2,，n；(3)对每一个特征值i,解方程(i E-A)X=0,求出基础解系，然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化；(4)将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为 XPY；(5)所求二次型的标准形为,下页,例1.用正交变换化下列二次型为标准形,解:二次型的 f 系数矩阵为,矩阵的特征方程为：,解得，1=-2,2=3=7,下页,对于1=-2，解方程组(-2E-A)X=0,(7E-A)X=0,得基础解系,将其正交化

3、得,将其单位化得,将其单位化得,解得，1=-2,2=3=7,得基础解系,例1.用正交变换化下列二次型为标准形,下页,令,则通过正交变换,例1.用正交变换化下列二次型为标准形,下页,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,解：f 的矩阵A及标准形的矩阵 分别为,由已知条件得,即 4(9-a2)=32解得 a=1,a=-1(舍去),由A相似于对角阵，得A的 特征值为 1=2，2=3=4,对于1=2，解方程组(2E-A)X=0,得基础解系,下页,故A相似于对角阵，所以 A,把单位化，得对应于1=2的单位特征向量,对于2=3=4，解方程组(4E-A)X=0（注意求基础解

4、系的过程）,4E-A,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,下页,4E-A,得(4E-A)X0 的一般解为 x2=0 x1+x3,其基础解系为,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,下页,所求的正交矩阵为,例2.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,求a及正交变换矩阵P,下页,得(4E-A)Xo的一般解为 x2=0 x1+x3,其基础解系为,例3.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,，求a,b的值,及正交变换矩阵P,解：f 的矩阵A及标准形的矩阵 分别为,由A相似于对角阵，得的 特征值为 1=0，2=1,3=4,对于1=0，解方程组(0E-A)X=0,得基础解系,下页,由已知条件得,故A相似于对角阵，所以 A Tr(A)=Tr(),解得,即,把单位化，得对应于1=0的单位特征向量,类似可得对应于=的单位特征向量为,对应于=的单位特征向量为,所求的正交矩阵为,例3.已知二次型,通过正交变换X=PY化为标准形,，求a,b的值,及正交变换矩阵P,下页,作业：176页 16(1)17(1)(2)19,结束,