理论力学第十四章达朗伯原理.ppt

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1、,第十四章 达朗贝尔原理,达朗贝尔原理,达朗贝尔原理又称为“动静法”,达朗贝尔原理是在十八世纪随着机器动力学问题的发展而提出的，它提供了有别于质心运动定理与转动方程的分析和解决动力学问题的一种新的普遍方法，但却获得了与上述定理形式上等价的动力学方程，尤其适用于非自由质点系统求解动约束力和弹性杆件动应力等问题。因此在工程技术中有着广泛应用。,用达朗贝尔原理处理问题的关键:惯性力系的简化,引入惯性力,达朗贝尔原理,爆破时烟囱怎样倒塌,第十四章 达朗贝尔原理,达朗贝尔原理,达朗贝尔原理,动静法应用举例,转子的静平衡与动平衡,惯性力系简化,A,B,M,该质点的动力学基本方程为,设质量为m的非自由质点M

2、，在主动力F和约束力FN作用下沿曲线运动，,F,FN,或,引入质点的惯性力Fg=ma 这一概念，于是上式可改写成,上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。,一、质点达朗伯原理,质点达朗贝尔原理的投影形式,质点达朗伯原理,这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。,上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。,这就是质点系的达朗贝尔原理。,二、质点系达朗伯原理,对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方

3、程，即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中空间任意力系的平衡条件，有,质点系达朗伯原理,考虑到上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。,上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于零。,达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。,质点系达朗伯原理,例1：电

4、机护环直径D，环截面面积A，材料密度（kg/m3），转子角速度=常数。,求：护环截面张力。,解：研究对象：,运动分析：,惯性力,离心力作用在使叶片产生加速度的叶轮上,动力学问题,形式上的静力平衡,刚体惯性力系的简化,1刚体作平动,结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。,位置：,合力大小：,2刚体绕定轴转动,主矢：,向转轴O点简化,主矩：,刚体有对称面，且转轴与对称面垂直。,2刚体绕定轴转动,向质心C点简化,结论：刚体绕与对称面垂直的定轴转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。该力等于mac，方向与ac方向相反，

5、作用在轴(质心)上；该力偶的矩等于Jo a(JC a)，方向与a相反。,例：图示均质杆AB质量为m，长为l，绕O点作定轴转动，角速度为w，角加速度为a，计算杆上惯性力系向O点和质心C简化的结果。,解：运动分析,向O点简化,向质心C简化,3刚体作平面运动,刚体有对称面，且平行与对称面运动,主矢：,向质心C点简化,主矩：,结论：刚体在与对称面平行的平面内运动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。该力等于mac，方向与ac方向相反，作用在质心上；该力偶的矩等于JC a，方向与a相反。,例：图示均质圆轮半径为r，质量为，沿水平面作无滑动的滚动，角速度为w，角加速度为a，计算圆轮上惯性力系向

6、圆心O简化的结果。,解：运动分析,向圆心O简化,O,惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。,惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。,注 意,与简化中心选取无关,与简化中心选取有关,综上所述：,例题 2 汽车连同货物的总质量是m，其质心 C 离前后轮的水平距离分别是 b 和 c，离地面的高度是 h。当汽车以加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。轮子的质量不计。,A,B,C,c,b,h,a,研究对象:汽车连同货物汽车实际受到的外力：重力 G，FNA、FNB 以及水平摩擦力 FB(注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计)。,解：,惯性力系合成:Fg=ma。,根据达朗贝

7、尔原理，写出汽车的动态平衡方程,汽车刹车时，前轮和后轮哪个容易“抱死”？,车轮防抱死装置ABS:Anti-Brake System,思考题,分析汽车刹车时的动力学特性,刹车时的动力学特性：车头下沉；若质心在中间，后轮容易打滑。,A,B,例题3 如图所示，匀质滑轮的半径为r，质量为m，可绕水平轴转动。轮缘上跨过的软绳的两端各挂质量为m1（A）和m2（B）的重物,且m1 m2。绳的重量不计，绳与滑轮之间无相对滑动，轴承摩擦忽略不计。求重物的加速度和轴承反力。,O,A,B,r,O,系统为研究对象受力：重力m1g，m2g，mg，轴承约束反力FN。,O,A,B,r,y,解：,惯性力分别为：,O,MgO=

8、JO=,惯性力偶矩：,应用达朗贝尔原理列平衡方程，得,解得,例题4 如图所示，匀质圆盘的半径为r，质量为m，可绕水平轴O转动。突然剪断绳，求圆盘的角加速度和轴承O处的反力。,A,B,r,O,C,圆盘定轴转动，惯性力向转轴O简化。,解：,Fgt=matC=m r,MgO=JO=,Fgn=mr2=0,应用达朗贝尔原理列平衡方程，得,FOx+Fgn=0,FOy+Fgtmg=0,是否可以,？,A,r,O,C,y,x,惯性力系能否向C点简化？,应用达朗贝尔原理列平衡方程，得,讨论,Fgt=matC=m r,MgC=Jc=,Fgn=mr2=0,FOx+Fgn=0,FOy+Fgtmg=0,A,r,O,C,y

9、,x,Fgt=matC=m r,MgO=JO=,Fgn=mr2=0,Fgt=matC=m r,MgC=Jc=,Fgn=mr2=0,惯性力系向转轴O和质心C简化结果对比,例题 5 用长 l 的两根绳子 AO 和 BO 把长 l，质量是 m 的匀质细杆悬在点 O(图 a)。当杆静止时，突然剪断绳子 BO，试求刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。,O,l,l,l,B,A,C,（a）,绳子剪断后，杆AB平面运动；杆AB上受绳子AO的拉力F和杆的重力mg。,解：,对杆作加速度分析,以质心C作基点,aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anAC(1),例题 5-6,在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度

10、=0，角加速度 0。因此,anAC=AC 2=0,atAC=l2,把(1)式投影到点A轨迹的法线 AO上,即,FgCx=maCx,FgCy=maCy,M gC=JCz,根据运动分析，加惯性力和惯性力偶矩,由动静法写出杆的动态平衡方程，有,求解，得,四、定轴转动刚体对轴承的动压力 转子静平衡和动平衡,例：转子质量m=20kg，偏心距e=0.1mm，转速n=12000r/min。,求：当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。,解：研究对象:转子,受力分析:如图示,运动分析:转动,静反力,附加动反力,例：两圆盘质量均为m，对称偏心距均为e，=常量。,求：图示位置A、B轴承反力。,解：研究对象:转子

11、,受力分析:如图示,运动分析:转动,静反力,设有绕固定轴Oz转动的刚体，在任意瞬时的角速度是，角加速度是。取固定坐标Oxyz如图所示。,x,FR、Mo为主动力系的主矢和主矩，Fgo、Mgo惯性力系对点O的主矢和主矩。,根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有,由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的反力。该反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的静反力；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的附加反动力。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压力和附加动压力。,D,D,刚体对y、z轴的惯性积,刚体对x、z轴的惯性积,解得,整个刚体惯性力的主矢F*在各轴上投影分别是,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力

12、,rz,D,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,rz,D,整个刚体惯性力的主矩M*在各轴上投影分别是,FRx、FRy、FRz分别为主动力系主矢在坐标轴上的投影，MRx、MRy、MRz分别为主动力系对点O的主矩在各坐标轴上的投影。,根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的动反力。显然，该动反力由两部分组成：一部分为主动力系所引起的静反力；另一部分是由转动刚体的惯性力系所引起的附加反动力。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压力和附加动压力。,根据达达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,定轴转动刚体轴承处的动反力分析,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,定轴转动刚体轴承处的动反力分析,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,定轴转动刚体轴承处的动反力分析,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,高速转子的实际应用,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,例题 5-9 设匀质转子重 W，质心 C 到转轴的距离是 e，转子以匀角速度 绕水平轴转动，AO=a，OB=b(图 a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，求当质心 C 转到最低位置时轴承所受的压力。,(a),例题 5-9,5-4 定轴转动刚体对轴承的动压力,