理论力学两体问题.ppt

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1、,第三章 两体问题,3.1 两体问题化为单粒子问题,这样，两体问题分解为两个单粒子问题。,3.2 有心力场中单粒子的运动,运动方程,运动定性讨论,讨论粒子在吸引势 U=-a/r3中的运动情况,解：粒子的有效势能：Ueff=L2/2mr2-a/r3曲线渐近行为 r，Ueff 0；r 0，Ueff-。(2)曲线零点：Ueff=0r=ro=2ma/L2(3)曲线极值：dUeff/dr=0 r=rm=3ma/L2(Ueff)max=L6/54 m3 a2,3.3 与距离成反比的有心力场,吸引势：U(r)=-a/r有效势能：Ueff=L2/2mr2-a/rr 0，Ueff+；r，Ueff 0。(2)曲线

2、极值：dUeff/dr=0 r=rm=L2/ma(Ueff)min=m a2/2L2(3)曲线零点：Ueff=0r=ro=L2/2ma,比耐公式轨道方程,比耐公式轨道方程,例：已知引力作用 F(r)=-GMm/r2 ro，求运行轨迹。解：比耐公式 h2 u2(d2u/d2+u)=GM/r2=GMu2 d2u/d2+u=/h2(=GM)轨迹方程:u=1/r=C1 cos+C2 sin+/h2 齐次解 非齐次解取近日点(r 极小值)的为零.r 极小值条件:dr/d=0,d2r/d2 0.d(1/u)/d=-(1/u2)du/d=0=(1/u2)(C1 sin-C2 cos)=0=0 C2=0 r=

3、(C1 cos+/h2)-1=p/(1+e cos),r=p/(1+e cos)其中 p=h2/(正焦弦长度一半),e=C1 h2/(偏心率)。这是一原点在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上。,e 1 双曲线,抛物线,双曲线,椭圆,补充作业:求 e 与能量 E 的关系，即证明：并讨论 E 与圆锥曲线型的关系.,3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性,轨道闭合与轨道稳定轨道稳定的含义:由于初始条件的微小变化或势场本身的扰动，使粒子偏离原轨道ro变为 r。若r 始终保持在ro附近作小振动，则称此种轨道是稳定的；反之，若随着时间增加，r 偏离ro 越来越大，则称此种轨道是不稳定的。,3.4 有心力场中

4、粒子运动轨道的稳定性,设粒子在势场U(Z)中的轨道为 u=uo，轨道偏离：u=uo+（为小量）,3.4 有心力场中粒子运动轨道的稳定性,若A=0，随(从而随 t)线性增加；若A0，随 t 线性增加。,轨道不稳定,若A 0，作简谐振动，轨道稳定。,轨道稳定条件：,讨 论,U=a/r，A=1 0，轨道稳定。U=-a/r3，A=1 6ma/r L2=1-3 rm/r 轨道稳定条件 A 0 变为 r 3 rm(3)U=k r2，A=1+6mk r4/L2 0 轨道永远稳定条件。圆形轨道稳定性条件为：(Ueff=L2/2mr2+U)dUeff/dr=0，dUeff/dr 03 dU/dr+d2U/dr2

5、 0或-3 F-dF/dr 0,3.6 粒子散射问题 设有心力场的力心在 O 点，由于有心力场对力心是中心对称的，所以轨道对OA是轴对称的。设无穷远处质点速率为 v，瞄准距离为。,散射要考虑一束速度相同的全同粒子群。假设粒子束在其截面内密度均匀，而各个粒子有不同的瞄准距离，相应有不同的散射角。,假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角到+d内的粒子数为 dN，则定义散射的有效截面为 d=dN/n，dN个粒子可能来自()到()+d()区间内的粒子。,假定 n 为单位时间内通过垂直于束的单位截面积的粒子数，单位时间内落入散射角到+d内的粒子数为 dN，则定义散射的有效截面为 d=dN/n，dN个粒子可能来自()到()+d()区间内的粒子，即 dN=2nd，所以 d=2d=2d/dd到+d对应的立体角为 d=2sind 因而 d=(/sin)d/dd,试求粒子在半径为 a 的刚性上散射的有效截面,例：卢瑟福公式的推导，即带电粒子在 U(r)=a/r 场中散射的有效截面。,