理论力学03空间力系的简化和平衡.ppt

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1、1,第三章 空间力系的简化和平衡,2,静力学,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去了风力为空间平行力系。,3,第五章 空间力系,51 空间汇交力系 52 空间力偶系 53 力对点的矩与力对轴的矩 54 空间一般力系向一点的简化 55 空间一般力系简化结果的讨论 56 空间一般力系的平衡方程及应用 57 平行力系的中心与物体的重心 习题课,4,静力学,3-1 空间汇交力系,5,静力学,2、一次投影法（直接投影法）由图可知：,3、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可

2、先将 F 投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即,6,静力学,4、力沿坐标轴分解：若以 表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：,而：,所以：,7,静力学,1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。即：合力等于各分力的矢量和,二、空间汇交力系的合成与平衡：,8,静力学,3、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,9,静力学,称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程,解析法平衡充要条件为：,几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。,空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：,10,静力学,在平面中：力对点的矩是代数量。在空间

3、中：力对点的矩是矢量。例 汽车反镜的球铰链,3-2 空间力矩理论,一、力对点的矩的矢量表示,如果r 表示A点的矢径，则：,11,静力学,即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。,两矢量夹角为,O,力矩矢在直角坐标中的三个投影,12,静力学,定义：它是代数量，方向规定+,二、力对轴的矩,结论：力对/它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。,证,力对空间点之矩在该轴上的投影,13,静力学,力对轴之矩的计算方法：,1、先将力向该轴的正交平面分解，再计算该分力对轴的平面力矩。2、力矩关系定理,定理：力对轴之矩等于该力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影。这就是力对点之矩与对通过该

4、点轴之矩的关系。,即：需要证明,设转轴为Z轴，其上任一点为原点O，到力作用线上任一点之距离为下式表达r,14,静力学,比较即得：,前述有：,一般推导时各量均应设为正值,15,静力学,力对任意轴之矩的求法：先求出力对该轴上任意一点之矩，再在该轴的方向做投影-与该轴矢量做点积。等于这力对于该轴的矩。,两平面的法矢分别为：,轴线方程：,轴方向矢：,对任意轴的矩,16,静力学,17,静力学,3-3 空间力偶理论,力偶的转向为右手螺旋定则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。空间力偶是一个自由矢量。,18,证 作平面II/，线段cd/ab 各作一对平衡力作用在c、d点 并使其与F1平行和相等 由ad、bc

5、点平行力合成得-R=R 在I内的力偶（F1，F1）等效变 成II内的（F2，F2）,静力学,力偶等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,19,静力学,空间力偶系的合成与平衡,由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。合力偶矩=分力偶矩的矢量和,显然空间力偶系的平衡条件是：,20,静力学,把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。,3-4 空间任意力系的简化和平衡,设作用在刚体上有空间一般力系,向O点简化（O

6、点任选）,一、空间任意力系向指定点简化,21,静力学,根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系：和附加力偶系 注意 分别是各力对O点的矩。由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。,22,静力学,合成 得主矢即（主矢 过简化中心O，且与O点的选择无关）合成 得主矩即：（主矩 与简化中心O有关）,23,静力学,若取简化中心O点为坐标原点，则：主矢大小 主矢方向 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:则主矩大小为：主矩方向：,24,静力学,二、空间任意力系的平衡条件：,所以空间任意力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。,25,静力学,空间汇交力系的平衡方程为：

7、因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,空间平行力系的平衡方程，设各力线都/z 轴。因为 均成为了恒等式。,26,静力学,空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,三 空间一般力系简化结果的分析,1、若,则该力系平衡（下节专门讨论）。,2、若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。,3、若 则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,27,静力学,4、若 此时分两种情况讨论。即：,若时,可进一步

8、简化，将MO变成(R,R)使R与R抵消只剩下R。,28,静力学,若 时，为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线,R不平行也不垂直M0，最一般的成任意角 在此种情况下，首先把MO 分解为M/和M 将M/和M 分别按、处理。,29,静力学,M 使主矢R搬家，搬家的矩离：,所以在O点处形成一个力螺旋。因为M/是自由矢量，可将M/搬到O处,M/不变，,结论：空间力系最终可简化成四种情况之一：一力、力偶、力螺旋或平衡。因此空间力系的最简力系为一力、或一力偶、或一力螺旋.,30,静力学,注意 力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R，M/简化中心为O时：为M 当简化中心为

9、O时，为M 但M/总是不变的（它是 原力系中的力偶与简化 中心无关）,31,静力学,32,静力学,将 向坐标轴投影，得,定理：合力对任一轴的矩，等于各分力对同一轴的矩的代数和,合力矩定理不仅对汇交力系成立，而且对一般力系也成立。,33,静力学,例 3.4 在边长为 a 的正方体顶点 O、F、C 和 E 上作用有大小都等于 P 的力，方向如图。求此力系的最终简化结果。,先分解再合成,34,静力学,点积为零,作用线方程,35,静力学,例 3.6 正方形薄板 ABCD，边长为 a，由 6 根直杆支撑，板和各杆均在立方体 ABCDEFGH 的面上；如图所示。在 A 点沿板边 AD 作用水平力 P，板和

10、各杆的重量不计。求各杆内力。,解：为了画图表示更清，我们假设各杆受压，各杆对板的作用力如图。【薄板 ABCD】,36,静力学,仅FN2有矩,N5 已知，仅N6未知,37,静力学,以上解题过程并不是唯一的，比如，在求出N5后，可以将力系向 AB 轴投影求出 N2；可以在一开始，将力系向 BC 轴投影求出N4；等等。通过上例可见，在空间力系平衡问题的求解中，如果将力投影轴和计算力矩的轴选取合适、平衡计算的顺序选取合适，计算工作可以大大简化，希望学生通过练习掌握这种技能,38,静力学,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个

11、特例。,3-5 平行力系中心与重心,一、空间平行力系的中心,1、平行力系的中心,由合力矩定理：合力作用线上任一点矢径为,39,静力学,其中e 为 正方向的单位矢量,注意e方向的任意性，即有：,rc为合力作用线上一点的矢径；与平行力系的指向 无关；由于力系中各力大小 一定、相对刚体有固定作用点，即对于取定的固定点 O，矢径r 为常矢量，它代表刚体内一个确定的点 C，无论平行力系中各力绕各自的作用点怎样转动，其合力作用线总是通过刚体内一个确定的点 C，点 C 就是平行力系中心。,40,静力学,如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：,物体分割的越多，每

12、一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n-)，常用积分法求物体的重心位置。,二、物体的重心：,41,静力学,设i表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得：式中，上式为重心C 坐标的精确公式。,对于均质物体，=恒量，上式成为：,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。,42,静力学,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：,综合上述得重心坐标公式为：,若以Pi=mig,P=Mg 代入上式可得质心公式,43,静力学,同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别

13、为：,44,解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段,下面用积分法求物体的重心实例：,例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。,O,静力学,45,静力学,三、重心的求法：组合法例 3.7 求出图示两种平面图形（阴影部分）的重心坐标,解：,46,静力学,解：,47,静力学,简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。,实验法：悬挂法,称重法,48,第 3章 空间力系 3.8（力偶平衡）；3.10（汇交力平衡）；3.14，3.16（练习空间力系取矩方法3.17（质心）,习题,49,静力学,一、概念及内容：1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对

14、点之矩是代数量。3、空间力系合力投影定理：4、空间力系的合力矩定理：5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系：,第三章 空间力系习题课,50,静力学,二、基本方程 1、空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间x轴力系,空间xoy 平面的力系,四矩式、五矩式和六矩式的附加条件均 为使方程式独立。,51,静力学,2、空间力系的几个问题：x,y,z(三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的 六个轴。取矩方程不能少于三个（MO是矢量）空间力系独立方程六个（空间物体六个自由度）平面三个自由度空间力系中也包括摩擦问题。,52,静力学,2、解题技巧：用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 投

15、影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交 一般从整体局部的研究方法。摩擦力F=N f，方向与运动趋势方向相反。,3、注意问题：力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。求物体重心问题常用组合法。对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。,53,例题,54,静力学,例1 已知:P=2000N,C点在Oxy平面内求：力P对三个坐标轴的矩,解：选研究对象；画受力图；选坐标列方程。,55,静力学,56,静力学,例2 已知：AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;求:绳BE、BF的拉力和杆AB的内力,由C点：,解：分别研究C点和B点作受力图,57,静力学,

16、由B点：,58,静力学,此题训练：力偶不出现在投影式中力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影力争一个方程求一个支反力了解空间支座反力,例3 曲杆ABCD,ABC=BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3 求：支座反力及m1=?,59,静力学,解：,60,静力学,例4 已知：AB杆由 AD,BC两条绳拉置于两光滑平面,A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600,且AD水平，AC铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、B的反力。,解：对象为AB杆，画受力图思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未知数。,61,静力学,62,静力学,63,静力学,1、球形铰链,空间约束的种类：,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例,64,静力学,球形铰链,65,静力学,2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承,66,静力学,3、滑动轴承,67,静力学,4、止推轴承,68,静力学,5、带有销子的夹板,69,静力学,6、空间固定端,70,静力学,本章结束,