测量误差的规律性及其表述.ppt
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1、Harbin Institute of Technology,第二章 测量误差的规律性及其表述,随机误差统计规律的表述正态分布随机误差的统计规律及其表述测量中非正态分布的随机误差系统误差的特征及其表述系统误差的检验方法各类误差间的关系,Harbin Institute of Technology,随机误差的分布密度和分布函数,随机误差:当对同一量值进行多次等精度的重复测量时,得到一系列不同的测量值(常称为测量列),每个测量值都含有误差,这些误差的出现又没有确定的规律,即前一个误差出现后,不能预定下一个误差的大小和方向,但就误差的总体而言,却具有统计规律性。,Harbin Institute o
2、f Technology,随机误差的分布密度和分布函数,随机误差的来源:测量装置方面的因素 零部件配合的不稳定性、零部件的变形、零件表面油膜不均匀、摩擦等。环境方面的因素 温度的微小波动、湿度与气压的微量变化、光照强度变化、灰尘以及电磁场变化等人员方面的因素 瞄准、读数的不稳定等。,Harbin Institute of Technology,随机误差的分布密度和分布函数,按分布函数定义,随机变量x的分布函数为式中,是作为随机变量的随机误差取值小于的概率。若随机误差取值在数轴上,表示随机误差落在点左面的概率。当点右移时这一概率增大;当点移向无穷远处时,这一概率为1,即 反之,当点左移时这一概率
3、减小;当点移向无穷远处时这一概率为0,即,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数(),在一般的数据处理中,随机误差的数字特征主要使用数学期望E()和方差D()数学期望定义:的分布密度函数数学期望是误差的分布中心,它反映了的平均特征(或者数学期望说是所有可能取值的平均值),Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数(),数学期望的性质:常数c的数学期望为E(c)=c随机误差乘以常数c,则有随机误差 之和的数学期望为相互独立的随机误差 之积的数学期望为,Harbin Institute of Technology,随机
4、误差的表征参数(),方差和标准差定义:通常,随机误差的数学期望E()=0,因而有:,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数(),随机误差的方差是反映随机误差取值的分散程度的,是误差随机波动性的表征参数。方差的性质:常数c的方差为D(C)=0;随机误差乘以常数c的方差为随机误差 之和的方差为,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数(),当随机误差 相互独立时,和 的方差为实际上更常使用标准差(或均方差)。按照定义,标准差应为方差的正平方根,即应注意,标准差没有负值。方差和标准差可作为测量精度的评定参数,Harbi
5、n Institute of Technology,随机误差的表征参数(),协方差(相关矩)和相关系数随机误差x与y的协方差定义为相关系数为:协方差或相关系数反映误差之间的线性相关关系,这一相关关系影响到误差间的抵偿性,这一情形将在第五章详细说明,Harbin Institute of Technology,随机误差的表征参数(),实用中的其他一些参数扩展不确定度:U=ks,式中,k为置信系数。K值相应于一定的置信概率P。置信概率P为误差落入区间(-ks,+ks)的概率,若超出该区间的概率为,则有P=1-。此外,平均误差与或然误差在实践上也有用。,Harbin Institute of Tec
6、hnology,随机误差的表征参数(),平均误差为测量误差绝对值的平均值,其期望为:实践上取或然误差规定为满足下式的值,Harbin Institute of Technology,2.2正态分布随机误差的统计规律及其表述,正态分布的统计直方图和经验分布曲线正态分布随机误差的分布函数和分布密度正态分布随机误差概率的计算正态分布随机误差的表征参数误差分布的正态性检验,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,对某一量X进行多次重复测量,由于随机误差因素的作用,各次测量结果都不相同,这些结果按一定的规律分布.在直角坐标中,由横坐标给出 测量结
7、果,将测量结果的取值 范围等分为适当数量(m)的 区间,每一区间间隔为x.设 测量次数为n,计数测量结果 落入每一区间的数目.,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,以x为底,以 为高坐标图中第i区间作矩形,所得矩形的面积即为测量结果在该区间上的频率(即相应频率的近似)。依次类推在各区间上作出这样的矩形,所有矩形的总合就称为统计直方图,由图中显而易见,直方图的面积总和应为1。连接各矩形上边中点而得一曲线,这是通过统计实验得到的分布密度曲线,这一曲线称为经验分布曲线.经验分布曲线给出了测量结果的概率分布,其相应的纵坐标为概率密度。其某区
8、段的面积即代表了相应的概率.,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,从上图的分析,可知:测量次数越多,分布间距越小,所得经验分布曲线就越可靠.将x转换为=x-X,得到关于的分布曲线.,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,分析考查这一分布曲线可知,这一误差分布有以下特点对称性:分布曲线关于纵坐标对称,表明该随机误差正值与负值出现的机会均等.单峰性:分布曲线中间高、两端渐低而接近于横轴,表明误差以较大的可能性分布于0附近,即绝对值小的误差出现的可能性大,而绝对值大的误差出现的可
9、能性小.有界性:测量的实际误差总是有一定界限而不会无限大,因而经验分布曲线总有一实际范围,这就是误差的有界性.,Harbin Institute of Technology,正态分布的统计直方图和经验分布曲线,总结:由误差的对称性和有界性可知,这类误差在叠加时有正负抵消的作用.一般来说,不论随机误差服从何种分布,只要其数学期望为0,则该随机误差就有这一抵偿性.由于随机误差的低偿性,当测量次数足够大时,该随机误差的算术平均值趋于零.,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的分布函数和分布密度,根据最大似然原理可推得的分布密度为:e-自然对数的底,e=2.7
10、183;-圆周率,=3.14159;-误差的均方差或称标准差,对同一分布的随机 误差,为一常数.误差的分布密度函数f()的曲线如图所示.这一曲线与前述的经验分布曲线是一致的.这是一条指数曲线,曲线两端向无穷远处延伸,并逼近横坐标.,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的分布函数和分布密度,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的分布函数和分布密度,注意:正态分布的随机变量的和仍为正态分布的随机变量.即 但在和式中若有部分误差不服从正态分布,则这一误差和就不服从正态分布.不过,当和式中的误差项数量增加,而又”均匀”
11、减小,和的分布将趋于正态分布 实践上,当各随机误差较为”均匀”,即它们的方差相差不太大时,n大致在10左右,这些误差的和就能较好的接近正态分布.,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差概率的计算,由分布密度f()的定义可知,正态分布随机误差取值在ab区间内的概率应为相应区间上密度函数的积分这一概率等于相应区段密度曲线下的面积,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差概率的计算,实际中,上面的积分的直接计算是困难的.实用中都是利用数表给出上面的积分,为此须将上面的积分进行变换.作变量 则有:引入函数则,Harbin I
12、nstitute of Technology,正态分布随机误差概率的计算,函数(t)称为概率积分(或称拉普拉斯函数),其值可按t值查概率积分表获得.由查概率积分表可得及值,根据以上公式可求得概率值.而误差取值在a,b之外的概率则为=1-P.实践上常遇到对称区间上的概率计算,对称区间-a,a上的概率为而分布概率的总和应为1,即密度曲线下的全部面积为1,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,对于正态分布的随机误差,其数学期望为0,即 正态分布随机误差的均值为0(测量次数足够多),正是随机误差抵偿性的反映.由于正态分布随机误差的数学期望为0,因而对
13、任一正态分布随机误差的数学期望无须再作说明.正态分布随机误差的方差等于其分布密度函数中的参数的平方.推导过程如下:,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,正态分布随机误差的方差为作变量代换 代入上式,则有:经分部积分得 括号内的第一部分为0,第二部分是欧拉-波阿松积分,等于,故,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,由正态分布的分布密度函数式可知,只要确定了值则分布密度函数即已确定,可见参数的重要性.显然,参数即为标准差.由图可知,标准差大,相应的分布曲线低而宽,表明误差取值分散程度大,对测
14、量结果的影响就大.标准差小,则情形正相反.,Harbin Institute of Technology,正态分布随机误差的表征参数,平均误差期望为或然误差的期望为=0.6745 在分布曲线图,曲线的拐点,为曲线半边面积重心横坐标,则为将曲线半边面积等分为左右两半的坐标线相应的横坐标.,Harbin Institute of Technology,误差分布的正态性检验,分布正态性检验的方有两类:通用的检验方法,适用于检验各种分布,如x检验法.另一类检验方法是专门用于检验正态分布的方法,这类方法利用了正态分布的特点,因而更为有效.如正态概率纸检验法;偏态、峰态检验法;W检验法等.其中,正态概率低
15、检验法简便实用,是实践中经常使用的方法.,Harbin Institute of Technology,正态概率纸检验法,正态概率纸检验法是一种具有特殊分度的专用坐标纸其坐标构造按标准正态分布设计,但适用于任何正态分布的检验(因一般正态变量与标准正态变量具有简单的线性关系).横坐标表示被检验的数据值x,分度是均匀的;纵坐标为相应的概率值,分度是不均匀的但坐标点在概率纸上成一直线,Harbin Institute of Technology,正态概率纸检验法,根据坐标点在概率纸上成一直线分布,据此可检验某组数据是否服从正态分布.检验方法如下:将待检验的n个数据大小重新排列,得顺序数列;计算相应的
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