欢迎各位同学来到数学分析课堂.ppt

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1、欢迎各位同学来到数学分析课堂！,绪 论,一、什么是数学,世界上任何客观存在都有其“数”与“形”的属性特征，并且一切事物都发生变化，遵循量变到质变的规律。,数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。（牛顿、莱布尼兹认为数学成为研究运动与变化的学问，19世纪，恩格斯提出这样的定义）,“空间形式”必须理解为一切类似于空间形式的形式：射影空间、非欧几里得空间、拓扑空间、无穷维空间的空间、微分流形,“数量关系”也要理解为一切类似于数量关系的关系：逻辑关系、语法关系数学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式结构。,在今天的数学中，“数”和“形”的概念已发展到很高的境地。比如，非数之“数”的众多代数结构

2、，像群、环、域等；无形之形的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、流形等。,第一阶段 数学萌芽时期（远古-公元前5世纪）：算术几何形成时期，但它们还未分开，彼此交织在一起，没有形成完整、严格的体系，缺乏逻辑性，基本上看不到命题证明、演绎、推理。,第二阶段 常量（初等）数学时期（公元前5世纪-17世纪中叶）：数学逐步形成了一门独立的、演绎的学科。算术、初等几何、初等代数、三角学都已成为独立的分支。两大巨著：几何原本九章算术 东西辉映，渊源流长。,二、数学发展简史：,第三阶段 变量（高等）数学时期（17世纪中叶-19世纪中叶）：变量与函数的概念进入数学。解析几何、微积分、概率论、射影几何形成。,第四

3、阶段 近代数学时期（19世纪中叶-二次大战）：非欧几里得几何、抽象代数、复变函数论、集合论、微分几何、微分方程论、积分方程论、点集拓扑、组合拓扑。,第五阶段 现代数学时期（20世纪40年代以来）：（原子能的应用，电子计算机的发明，空间技术的兴起）广义函数论、整体微分几何、非标准分析、微分拓扑、代数拓扑、代数几何、同调代数、模糊数学、计算数学、分形几何,从常量数学到变量数学,常量数学应用的局限性 建立了日心学理论之后，17世纪的人们面临如何改进计算行星位置，如何解释地球上静止的物体保持不动，下降的物体还落在地球上等问题，这类问题的核心是物体的运动。带有运动特征的问题，初等数学（算术，初等代数，初

4、等几何，三角）无能为力。,数学基础是解析几何，标志为微积分。1）解析几何的产生解析几何学是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，也叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费尔马等人创建（1637年）。,变量数学产生的过程,解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑。从根本上改变了数学的面貌，使数学从此跨入了一个崭新的时代，即从常量数学进入变量数学的时代，从而大大地促进了数学的发展。,2）函数概念的出现 16世纪开始，科学家认为运动是最基本的物理现象，因此自然科学研究的中心问题是运动，各种变化的过程和变化着的量之间的依赖关系成为新的研究对象，科学家相信运动可以用数学来描述，于是

5、出现了函数的概念。函数概念的出现最早在17世纪，但它的 定义直到19世纪才形成，函数概念本身的发展直到现在还在继续。,3）微积分的创立 与微积分创立密切相关的科学技术问题，从数学角度归纳起来有四类：1已知变速运动的路程（为时间的函数）时，求瞬时速度和加速度；2求已知曲线的切线；3求给定函数的最大值与最小值；4求给定曲线长度；求平面曲线围成的面积；求已知曲面围成的体积；求物体的重心；已知变速运动物体的速度、加速度，求物体运动的路程与时间的关系。,在17世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。这些前驱者对于求解各类微积分问题确实作出了宝贵的贡献，但他们的方法仍然缺乏足够的一般性。求切

6、线，求变化率、求极大极小值以及求面积、体积等基本问题，在当时是被作为不同类型处理的。,牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场的。时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。,变量数学产生的意义 1）变量数学的产生，为自然科学更精确地描述物质世界提供了有效的 工具。2）变量数学的产生，促进数学自身的 发展与严密。产生新的数学分支，如解析数论，微分几何等。解决了第一次，第二次数学危机，建立了极限理论，完成了实数的定义等，使数学更加严密。,3）

7、变量数学的产生，使辩证法进入数学。辩证法把世界现象看作是普遍联系和永恒变化着的，把世界的发展看作是自身所固有的各种矛盾发展的结果。变量数学的许多概念如函数极限导数积分等，从哲学上讲，就是辩证法在数学中的应用，而微积分的完善就是自身矛盾发展的结果。因此，变量数学的产生，为辩证法进入数学提供了契机，并且为辩证法具有普遍性的论断，在数学上提供了有力的证明。,植根于科学与技术之沃土，枝繁叶茂，荫及各个领域,数学大树,三、初等数学与高等数学的区别,17世纪以前的数学称为初等数学，研究的是常量间的代数运算和孤立的、不变的几何形体内部及相互间的关系。,1637年笛卡儿引入了坐标系，沟通了数与形之间的关系，这

8、时数学研究的是变量和不规则的几何形体。微积分的创立，使数学的发展出现了一日千里之势，形成了内容丰富的数学分析、高等代数、高等几何三大分支。相对于初等数学，它们称为高等数学。,初等数学主要采用形式逻辑法，静止地、孤立地、一个一个地 进行研究；高等数学则是以运动的、变化的观点去研究问题。,数学分析是一门非常重要的基础理论课，它对后续课程有直接影响，关系到整个专业基础课学习的成败、关系到同学们的素质培养，对同学将来从事专业科学研究起着非凡的作用，其核心内容是微积分。,著名数学家柯朗说：“微积分学，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有

9、效的工具，这门学科乃是一种憾人心灵的智力奋斗的结晶；,这种奋斗已经经历了两千五百多年之久，它深深扎根于人类活动的许多领域，并且，只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已。”,恩格斯指出：“在一切理 论成就中，未必再有什么象 17世纪下半叶微积分学的发 明那样被看作人类精神的最 高胜利了。”他还说：“只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。”,微积分对科学技术的重要性就象望远镜之于天文学，显微镜之于生物学。,微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是科学史上的一个创举。,微积分是学好其他理工课程的基础，也是学好专业课的工具，不掌握好微积分

10、，在科学技术的征途中将困难重重。,四、怎样学好数学分析,1、数学的特点,（1）高度的抽象性（概念更复杂、表达形式更抽象）,“一般化和抽象是数学之最重要的功能。正是由于一般化和抽象，数学才能如此异乎寻常地有效。”,这是什么?1 2 3.8 5 7 0.9 888 8.88 8.8888,你以为这是数吗？,抽象不是数学独有的特性，但数学的抽象最为典型。,这是我们以后经常要用到的数学语言。,（2）严谨的逻辑性（理论性更强、推理更严谨）,“严格性对于数学家，就如道德之对于人。”,说数学的精确性，不是指“把圆周率计算到小数点儿后千位、万位、几十亿位”那类事情（在强大的计算机上，人们已经计算到了.）而是说

11、数学结论的逻辑严格性。它不是靠实验千万次、而是逻辑推导！这也是科学证明与数学证明的区别！,（3）广泛的应用性（科学技术的各个领域）,爱因斯坦说：“数学的领土相应地定义为那些能被数学术语表达的知识的总和。”,看看如下脍炙人口的几个事实海王星的发现,天文学家发现天王星的运动轨道与数学计算结果有15o的误差，引起天文学家的推测：在天王星轨道之外可能还有未知的行星在影响着天王星的运动。,经过一段时间的观测，天文学家们一致公认了这颗新发现的星是太阳系的第八颗大星。命名为“海王星”。,最能说明数学在天文中的重要作用的是海王星的发现。海王星是在根本还没有被人发现之前，仅仅凭借纸上的计算，就确定了它的运行轨道

12、和将要出现的位置，最终被发现的行星，所以它是科学预言的伟大胜利，在科学史上占有一席特殊的地位。,电磁波的发现,自牛顿时代起，物理问题就成为数学发展的一个重要源泉。用数学方程表示物理现象是许多科学大师追求的最高目标。,麦克斯韦1864年导出电磁场方程是19世纪数学物理最重要的胜利，根据对这组方程的研究，麦克斯韦预言了电磁波的存在。不仅给科学和技术带来巨大的冲击，同时也使偏微分方程威名大振。,同一个偏微分方程，在流体力学中用来描写流体动态；在弹性力学中用来描写振动过程；在声学中用来描写声音传播等。还没有哪一门科学在应用的广泛性上能与数学相比。,2、教学特点,（1）课堂大,（2）时间长,（3）进度快

13、,（4）课上讲，课下练,（5）不重复,3、对学生的要求会学（不只是学会）,（1）预习,（2）听讲（会听课）,（3）记笔记,（4）复习（会看书）,（5）做作业,（6）答疑（会提问）,（7）讨论,（8）学会利用图书馆,俗话说：“学问、学问，有学有问”，郑扳桥说：“学问二字要拆开看，学是学，问是问，今人有学而无问，虽读书万卷，只是一条钝汉尔”。,4、参考书 数学分析同步辅导（彭舟 姬燕妮编）（共2册）*数学分析习题精解（吴良森等编）（共2册）数学分析习题集题解（吉米多维奇）（共6册）,5、交作业和答疑,每个同学准备两个作业本，每周一交上周的作业，教师批改其中1/3。每班选出一名课代表，负责收发作业及

14、师生之间的联系。每周三5-6节答疑，地点：四教西区204。,第一章 实数集与函数,第一节 实数,一、实数,1、实数的无限小数表示,如:4.6789记为,34记为,4.6788999,33.999,*对于负的有限小数（包括负整数）y,则先将-y表示为无限小数，再在所得无限小数前加负号。,如-9.657432表示为,-9.657431999,如-6表示为,-5.9999,*规定0表示成0.000,2、实数的比较,定义1（一）两个非负实数,（1）则称 x=y，,（2），或存在非负整数l，使,则称x y或y x。,若,（二）对于负实数x，y，若-x=-y，则称x=y；若-x y或y x。,（三）规定任

15、何非负实数任何负实数。,定义2（1）非负实数 称有理数,为实数x的n位不足近似，,称为实数x的n位过剩近似，n=0,1,2,（2）对于负实数,其n位不足近似与过剩近似分别规定为,注：,命题 设,则xy的等价条件是：存在非负整数n，使得其中 表示x的n位不足近似，表示y的n位过剩近似。,证明：见附录。,例1 设 x,y为实数，xy.证明：存在有理 数r 满足 xry.（此例说明任意两个不等的实数之间，都有一个有理数）,证：,由于xy,所以存在非负整数n,则r为有理数，且有,即 x r y.,例2 P4,习题3。,证：,矛盾！,同理可证ab也不可能。,故 a=b.,则 2q2=p2，,这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数，则p2是奇数），,设p=2k，得q2=2k2，,于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。,证,3、实数的主要性质,（1）实数集对加、减、乘、除（除数不为0）封闭。,（2）实数集是有序的。,（3）实数大小关系具有传递性。,（4）实数具有阿基米德性。,（5）实数集具稠密性。,（6）实数与数轴上的点成一一对应。,二、绝对值与不等式,:几何上表示点a与点b 之间的距离。,主要性质:,作 业,P4.1 4,