模糊集理论及其应用第三章.ppt
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1、1,模糊集理论及其应用,第三章 模糊关系与模糊聚类分析,2,第三章 模糊关系与模糊聚类分析,3.1 模糊关系及其运算(P310)3.2 模糊等价关系及其性质(P1118)3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析(P1933)3.5 基于目标函数的模糊ISODATA聚类分析(P3439),3,11,19,34,3,3.1 模糊关系及其运算3.1.1 普通关系与Boolean矩阵 定义 设U,V 为两个论域,若RP(UV),则称R为U到V 的一个普通关系.若(u,v)R,则称u对v有关系R,记作uRv;若(u,v)R,则称u对v没有关系R,记作;若U=V,且RP(UV),则称R为U上的普通关系.例如
2、 设U表示某校全体学生的集合,R=(u,v)|v是u的同学.则R表示U上的“同学”关系,目 录,4,定义 设U=u1,u2,um,V=v1,v2,vn,RP(UV),令rij=R(ui,vj)(i=1,2,m;j=1,2,n),则R=(rij)mn 为一个mn 矩阵,由于故R=(rij)mn是一个布尔矩阵.这说明:有限论域间的普通关系可由Boolean矩阵来表示.,5,3.1.2 模糊关系与模糊矩阵 定义 设U,V 为两个论域,若RF(UV)则称R为U到V的一个模糊关系.对(u,v)UV,称R(u,v)为u对v具有模糊关系R的相关程度.特别地(1)称RF(UU)为U上的模糊关系;(2)若(u,
3、v)UU,有 则称R为U上的恒等关系,这时记R=I;(3)若(u,v)UV,有R(u,v)=0,则称 R为U到V的零关系,这时记R=0;(4)若(u,v)UV,有R(u,v)=1,则称R为全称关系,这时记R=E.,目 录,6,由定义可见,R(u,v)反映了u对于v的相关程度,若R(u,v)越接近于1,则u与v对R的关系越密切;若R(u,v)越接近于0,则u与v对R的关系越稀疏.特别地,当R(u,v)0,1时,与u与v对R具有明确关系.因此,模糊关系是普通关系的推广,它能从更深刻的意义上表现出事物的更广泛的联系.定义 设U=u1,u2,um,V=v1,v2,vn,RF(UV),则可以用一个mn阶
4、矩阵来表示,即R=(rij)mn,其中rij=R(ui,vj)(i=1,2,m;j=1,2,n),由于R(ui,vj)0,1,故称R=(rij)mn为模糊矩阵.由于0,1 0,1,故模糊矩阵是Boole矩阵的推广.,7,例1 设x,y为汽车,则“x比y好”这种关系就是模糊关系,例2 设x,y指人,则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系,例3:设:,若X是指实数轴,则“x比y大得多”,隶属度函数:,8,例 设身高论域X=140,150,160,170,180(单位:cm),体重论域Y=40,50,60,70,80(单位:kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.,9,3.1.3 模糊关系的运算 由
5、于模糊关系RF(UV),故模糊关系的运算其实就是模糊集合的运算,有关模糊集合的一切性质对模糊关系来说都成立.定义 设R,Q 为U到V的两个模糊关系,则(1)称RQ为R与Q的并,其相关函数为(RQ)(u,v)=R(u,v)Q(u,v),(u,v)UV.(2)称 RQ为R与Q的交,其相关函数为(RQ)(u,v)=R(u,v)Q(u,v),(u,v)UV.(3)称R 为R的补,其相关函数为R(u,v)=1R(u,v),(u,v)UV.,目 录,10,(4)称RTF(VU)为R的转置,其相关函数为RT(v,u)=R(u,v),(u,v)UV.(5)对0,1,称R=(u,v)UV|R(u,v).为R的
6、截关系;而称RS=(u,v)UV|R(u,v).为R的 强截关系.(6)对0,1,称R为数与模糊关系R的模糊截积关系,其相关函数为(R)(u,v)=R(u,v),(u,v)UV.,11,3.1.2 模糊关系与模糊矩阵 下面介绍模糊转置关系的运算 定理 设R,QF(UV)则有(1)复原律:(RT)T=R;(2)交换律:(RQ)T=RTQT,(RQ)T=RTQT;(3)单调性:RQ RT QT;(4)0,1,(RT)=(R)T,(RT)S=(R S)T;(5)(RT)=(R)T.,目 录,12,例 设U=u1,u2,u3,R,QF(UU),且,目 录,13,定义 设RF(UV),QF(VW),则对
7、R,Q的合成RQ F(UW),定义为 RQ(u,w)=vV R(u,v)Q(v,w)(1)若RF(UU),则记R0=I,Rn=Rn-1 R(n=1,2,);(2)若R=(rij)mn,Q=(qjk)nl,则RQ=(pik)ml,其中即pik为R中第i行的元素与Q中第k列的元素对应取小后再取大而得到.,目 录,14,例 设U=u1,u2,u3,u4 为生产资料商品集,V=v1,v2为两种消费品的集合,W=w1,w2,w3为三个市场的细分,以R表示U到V的原料供应关系,以Q表示V到W的市场占有关系.若取试求生产资料对市场的间接占有关系RQ.,15,解:由定义3.1.6(2)知,16,下面介绍模糊合
8、成运算的一些基本性质 定理 设P,Q,R为三个模糊关系,且可进行合成运算,则有(1)结合律:R(Q P)=(R Q)P(2)分配律:(RQ)P=(R P)(QP),P(RQ)=(P R)(P Q);(3)单调性:RQ R P QP(4)(RQ)P(R P)(QP),P(R Q)(P R)(P Q).注3.1.1:定理3.1.2(4)中两个式子的等号一般不成立.,目 录,17,例如:取则 故(RQ)P(R P)(QP)注 对于合成运算来说,不满足交换律.例如 取故R Q QR.,目 录,18,定理 设RF(UV),QF(VW),则(1)(R Q)T=Q T R T;(2)若RF(UU),则(R
9、n)T=(R T)n,n N.定理 设RF(UV),QF(VW),0,1,有(1)(R Q)S=RS QS;(2)R Q(R Q)(3)若V为有限论域,则(R Q)=R Q.定理 设RF(UV),QF(VW),则 R Q=0,1(R Q).,19,3.2 模糊等价关系及其性质 3.2.1 模糊关系的自反性 定义 设RF(UU),则(1)R称为自反的,如果I R,即uU,R(u,u)=1;(2)称包含R的最小的自反模糊关系为R的自反闭包,记作r(R).例 设U=u1,u2,u3,RF(UU),且则R为自反模糊矩阵.,目 录,20,定理 设RF(UU),则下列结论成立;(1)若R是自反的,则nN,
10、Rn Rn+1 且Rn也是自反的;(2)R是自反的当且仅当0,1,R 是自反的;(3)r(R)=R I.3.2.2 模糊关系的对称性 定义 设RF(UU),则(1)R称为对称的,如果RT=R;(2)称包含R的最小的对称模糊关系为R的对称闭包,记作S(R).,21,例 设U=(,),RF(UU),且 R(u,v)=e|u+v|,(u,v)UU,则R为U上的对称模糊关系.显然,有限论域上的对称模糊关系可用对称模糊矩阵来表示.例如 设U=u1,u2,u3,RF(UU),且则R为U上的对称模糊矩阵.,目 录,22,定理 设R,QF(UU),则下列结论成立:(1)R是对称的当且仅当 0,1,R 是对称的
11、(2)若R是对称的,则nN,Rn也是对称的(3)若R,Q是对称的,则 R Q为对称的当且仅当R Q=Q R(4)S(R)=RRT,23,3.2.3 模糊关系的传递性 定义 设RF(UU),则(1)R称为传递的,如果R R R(2)称包含R的最小的传递模糊关系为R的传递闭包,记作t(R).例 设U=u1,u2,u3,RF(UU),且则R2=R,故R是传递的模糊矩阵.,目 录,24,定理 设RF(UU),则下列结论成立:(1)R为传递的当且仅当0,1,R 为传递的(2)若R为传递的,则nN,Rn也为传递的;(3),25,因对任意固定的k,有,目 录,26,定理 设U=u1,u2,un,RF(UU)
12、,则有(1)(2)若R是自反的,则mn,有t(R)=Rm 由此可见,当R为自反模糊关系时,必有自然数mn,使t(R)=Rm 下面介绍一种快速求m的方法-平方自合成法:第一步:R R=R2 R,则t(R)=R;否则,进行如下第二步.第二步:R2 R2=R4 R2,则t(R)=R2;否则,进行如下第三步.第三步:R4 R4=R8 R4,则t(R)=R4;否则,进行如下一步,如此继续下去,必有自然数k,使2k-1 n 2k且 R R2 R4 R2k=t(R)即对于n阶自反模糊矩阵,至多只需进行k=log2n+1步平方合成运算就可达到t(R),因此,可取m=2k,k=log2n+1这里log2n表示不
13、超过log2n的最大整数.例如 当n=30时,至多只需平方合成5次便可达到目的.,目 录,27,例 设,目 录,28,解:,29,下面介绍传递闭包的一些基本性质定理 设I,R,QF(UU),则有(1)t(I)=I;(2)R Q t(R)=t(Q)(3)(t(R)T=t(RT)(4)RT=R(t(R)T=t(R),30,3.2.4 模糊关系的相似性定义 设RF(UU),则(1)R称为相似的,如果R是自反和对称的;(2)称包含R的最小的相似模糊关系为相似闭包,记作a(R).例 设U=u1,u2,u3,RF(UU),且则R是自反且对称的,故R为相似模糊矩阵.定理 设RF(UU),则有(1)R为相似的
14、当且仅当0,1,R 为相似的;(2)若R为相似的,则nN,Rn也是相似的.,目 录,31,3.2.5 模糊关系的等价性 定义 设RF(UU),则(1)R称为等价的,如果R是自反、对称和传递的(2)称包含R的最小的模糊等价关系为R的等价闭包,记作e(R).由定理3.2.1定理立即可证如下结论 定理 设RF(UU),则(1)R为等价的当且仅当 0,1,R 为等价的(2)若R为等价的,则nN,Rn也是等价的(3)R为等价的当且仅当R为传递的模糊相似关系(4)若R为模糊相似关系,则t(R)=e(R),目 录,32,3.4 基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析 设被分类对象的集合为U=u1,u2,un,每一个
15、对象ui有m个特性指标(即反映对象特征的主要指标),并记ui=(ui1,ui2,uim),i=1,2,n其中uij表示第i个对象的第j个特性指标,则n个对象的所有特性指标构成一个矩阵,记作称U*为U的特性指标矩阵.,目 录,33,3.4.1 数据规格化 常用的数据规格化方法有如下几种:1.数据标准化(i)对特性指标矩阵U*的第j列,计算(ii)作变换则以uij作为元素的特性指标矩阵就是数据规格化的特性指标矩阵,记作U*=(uij)nm,目 录,34,2.均值规格化(i)对U*的第j列,计算(ii)作变换则U*=(uij)nm为规格化后的特性指标矩阵.,35,3.最大值规格化 对特性指标U*的第
16、j列,计算然后作变换则U*=(uij)nm为规格化后的特性指标矩阵.还有中心规格化、极差规格化、对数规格化等,这些方法参见教材P96.,36,3.4.2 构造模糊相似矩阵 设数据uij(i=1,2,n;j=1,2,m)均已规格化,下面用多元分析的方法来确定对象ui=(ui1,ui2,uim)和uj=(uj1,uj2,ujm)之间的相似程度rij=R(ui,uj)0,1,(i=1,2,n;j=1,2,m)从而构造出一个对象与对象之间的模糊相似矩阵,目 录,37,下面介绍几种确定rij的常用方法.1.相似系数法相似系数法包括:数量积法、夹角余弦法、相关系数法、指数相似系数法、非参数相似程度法等等,
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