概率论第二章小结与习题.ppt

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1、第一章,1.1 随机事件的基本概念,一、随机试验与事件,I.随机试验,1.随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测量称为一个试验。如果这个试验在相同的条件下可以重复进行，且每次试验的结果事前不可预知，则称此试验为随机试验，也简称为试验，记为E。注：以后所提到的试验均指随机试验。,第一章,对于随机试验,仅管在每次试验之前不能预知其试验结果，但试验的所有可能结果所构成的集合却是已知的。,称试验所有可能结果所构成的集合为样本空间,记为S。,2.样本空间,样本空间的元素,即随机试验的单个结果称为样本点。,第一章,II.随机事件 把样本空间S的任意一个子集称为一个随机事件，简称事件。常用大写字母

2、A,B,C 等表示。特别地，如果事件只含一个试验结果(即样本空间中的一个元素)，则称该事件为基本事件；否则为复合事件。,第一章,注意：(1).由于样本空间S包含了所有的样本点,且是 S自身的一个子集。故,在每次试验中S总 是发生。因此,称S必然事件。(2).空集不包含任何样本点，但它也是样本空 间S的一个子集，由于它在每次试验中肯定 不发生，所以称为不可能事件。,注意:只要做试验,就会产生一个结果,即样本空 间S中就会有一个点(样本点)出现。当 结果A时，称事件A发生。,第一章,（四）事件间的关系及其运算,1、事件的关系,包含,等价,互斥（互不相容）,对立(互逆),第一章,2、事件的运算,事件

3、的并（和）,事件的积（交）,事件的差,第一章,3、事件的运算法则,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配合律,(4)互补律,(5)对偶律（德莫根律）,第一章,1.2 概率,（一）概率的通俗定义,定义1 随机事件A发生的可能性（或机会）的大小，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。,注意：随机事件的特点：随机性：在每次试验中发生或不发生是随机的；统计规律性：在每次试验中发生或不发生的可能性（或机 会）的大小是确定的（或在大量重复试验中试验结果呈现 出某种统计规律性）。,第一章,频率：设在相同条件下的n 次重复试验中，随机事件A发生了m 次，则称 为事件A在n次试验中发生的频率。,频率稳定性（随

4、机事件的统计规律）：,在大量重复试验中，随机事件A发生的频率fn(A)稳定地在某固定常数(或稳定中心)p 附近摆动，并且,这种现象称为频率稳定性（随机事件的统计规律）。,（二）概率的统计定义,第一章,定义2 随机事件A的频率fn(A)的稳定中心p称为随机事件A发生的概率，记为P(A)p。,概率统计定义的意义与缺点,1）当试验次数n充分大时，常用频率去近似代替概率；,2）根据频率性质去推断相应的概率性质；,3）缺点：粗糙，模糊，不利于进行数学理论分析。,（三）概率的古典定义,1、古典概型：,具有以下特征的随机现象（或实验）称为古典概型,第一章,（1）基本事件（或样本点）的个数有限，即 1,2,n

5、（2）每个基本事件的出现是等可能的，即,古典概型中概率的计算公式,记：n样本空间所包含的基本事件数 k事件A所包含的基本事件数,第一章,4、概率的性质,两两互斥，则,有限可加性,逆概公式,第一章,一般加法公式,或：P(B)=P(AB)+P(B AB),一般减法公式,第一章,例 小王参加“智力大冲浪”游戏,他能答出甲、乙二类问题的 概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0.1.求小王,解 事件A、B分别表示“能答出甲、乙类问题”,(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率；(2)至少有一类问题能答出的概率；(3)两类问题都答不出的概率。,(2),(3),(1),第一章,1.6 事件的独立性

6、,第一章,一、事件的相互独立性,(一)两个事件的独立性,注意独立与互斥的区别.,第一章,1.三事件两两独立的概念,(二)多个事件的独立性,定义,第一章,2.三事件相互独立的概念,定义:,第一章,设 A1，A2，An为n 个事件，若对于任意k(1kn),及 1i 1 i 2 i kn,3.n 个事件的独立性,定义,若事件 A1，A2，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 i j n,有,定义1.11,第一章,两个结论,第一章,n 个独立事件和的概率公式:,设事件 相互独立,则,也相互独立,即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.,结论的应用,第一章,则“至少

7、有一个发生”的概率为,P(A1An)=1-(1-p1)(1-pn),类似可以得出：,=1-p1 pn,第一章,例1:随机事件A,B,C发生的概率相同都是0.25,A与B独,立,A与C互不相容,求A,B,C都不发生的概率.,例2:若事件A与B是对立事件,则二者的逆事件一定是:,(A)相容事件(B)相互独立事件,(C)相互不独立事件(D)互为对立事件,例3:随机事件A与B互不相容,且,则P(A)=?,第一章,例4:从1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数中随机地取3个数,则至少有一个奇数的概率是:,第一章,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)

8、0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。,设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。,例5：,第一章,例6：填空：,1、设 是两个事件，,2、设 是两个事件，,第一章,例7、某小组有20名射手，其中一、二、三级射手分别为5、6、9名又一、二、三级射手在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45，今随机选一人参加比赛，试求该人在比赛中射中目标的概率。（2分）,第一章,例 8:甲、乙、丙三人同时对飞机进行

9、射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一人击中而落的概率为0.2,被两人击中而落的概率为0.6,若被三人击中,飞机必定被击落。求：飞机被击落的概率。,设B=飞机被击落，Ai=飞机被i人击中,i=1,2,3。,由全概率公式，得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),则 B=A1BA2BA3B，,解:,第一章,可求得,为求P(Ai),设 Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3。,将数据代入计算，得P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14。,第一章,于是，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.458，,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458。,