概率论与数理统计课件第6章.ppt

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1、参数估计,数理统计问题：如何选取样本来对总体的种种统计特征作出判断。,参数估计问题：知道随机变量（总体）的分布类型，但确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数，这类问题称为参数估计（paramentric estimation）。,参数估计的类型点估计、区间估计,参数的估计量,设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，Xn为样本，构造一个统计量 来估计参数，则称 为参数的估计量。,将样本观测值 代入，得到的值 称为参数的估计值。,参数的点估计,点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法。,样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体数字特征的估计量。,以样本均值 作为总体均值 的点

2、估计量，即,点估计值,点估计值,以样本方差 作为总体方差 的点估计量，即,例1 一批钢件的20个样品的屈服点（t/cm2）为4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.54试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。,解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为,定义 设 为随机变量，若 存在，则称 为 的 阶原点矩，记作；若 存在，则称 为 的 阶中心矩，记作,样本的 阶原点矩，记作,样本的 阶中心矩，记作,阶矩的概念,参数的矩法估计,矩法估计：用样本的

3、矩作为总体矩的估计量，即,若总体X的分布函数中含有m个参数1，2，m，总体的k阶矩Vk或Uk存在，则,或,参数的矩法估计,或,矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即,例2 设某总体X的数学期望为EX=，方差DX=2，X1，X2，Xn为样本，试求和2的矩估计量。,解 总体的k阶原点矩为,样本的k阶原点矩为,由矩法估计，应有,所以,结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即,估计值为,例3 设X1，X2，Xn为总体X的样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。,解（1）由于,（2）由于,所以参数和2的矩估计量为,所以,得参数p的矩估计量为,例3 设X1，X2

4、，Xn为总体X的样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。,解（3）由于,所以参数的矩估计量为,可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量存在“优、劣”之分。,或,一阶矩,二阶矩,例4 设总体X服从1，2上的均匀分布，12，求1，2的矩估计量，X1，X2，Xn为X的一个样本。,解 由于,所以由矩法估计，得,解得,区间长度的矩估计量为,解 由于,所以由矩法估计，得,解得,所以，参数 的矩估计量为,例5 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 的矩估计量。,参数的极大似然估计法,思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则样本（X1,X2,Xn）的联合密度函数为,令,参数的估计量，使得样本

5、（X1,X2,Xn）落在观测值 的邻域内的概率L()达到最大，即,则称 为参数的极大似然估计值。,参数的极大似然估计法,求解方法：,（2）取自然对数,其解 即为参数的极大似然估计值。,（3）令,（1）构造似然函数,若总体的密度函数中有多个参数1，2，n，则将第（3）步改为,解方程组即可。,例6 假设（X1，X2，Xn）是取自正态总体N(,2)的样本，求和2的极大似然估计量。,解 构造似然函数,取对数,续解,求偏导数，并令其为0,解得,所以，2的极大似然估计量为,与矩估计量 相同,估计量的评选标准,无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性*,无偏估计量：设 是 的估计量，如果则称 是 的无偏估计

6、量（unbiased estimation）,例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。,例题 设总体的数学期望EX和方差DX都存在，证明：样本均值、样本方差 分别是EX、DX的无偏估计。,证明,证明,有 效 性,设 是 的无偏估计量，当样本容量n固定时，使 达到最小的 称为 的有效估计,比较：若，则 比 有效。,例如 及（其中）都是EX的无偏估计，但 比 有效。,例如 及（其中）都是EX的无偏估计，但 比 有效。,因为,算术平均几何平均,小 结,参数估计的点估计方法,数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差 的估计量。,矩法估计：

7、以样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量。,或,作业 P130 1，2，4预习 第三节 区间估计,区间估计,区间估计的思想,点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。,引例 设某厂生产的灯泡使用寿命XN（，1002），现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为,可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？,如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计量可知,由,查表得,置信水平、置信区间,设总体

8、的分布中含有一个参数，对给定的，如果由样本（X1，X2，Xn）确定两个统计量 1（X1，X2，Xn），2（X1，X2，Xn），使得P1 2=1-，则称随机区间（1，2）为参数的置信度（或置信水平）为1-的置信区间。,1置信下限 2置信上限,几点说明,1、参数的置信水平为1-的置信区间（1，2）表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。,2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。,3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1-大）。如

9、果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。,正态总体方差已知，对均值的区间估计,如果总体XN（，2），其中2已知，未知，则取U-统计量，对做区间估计。,对给定的置信水平1-，由确定临界值（X的双侧分位数）得的置信区间为,将观测值 代入，则可得具体的区间。,例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位：cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径EX的点估计；（2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信 区间：=0.05；=0.01。,解（

10、1）由矩法估计得EX的点估计值为,续解（2）由题设知XN（，0.06）,构造U-统计量，得EX的置信区间为,当=0.05时，,而,所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）,当=0.01时，,所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）,置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。,例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种估计误差小于2元，问至少要调查多少人？,解 由题意知：消费额XN（，122），设要调查n人。,由,即,得,查表得,而,解得,至少要调查139人,正态总体

11、方差未知，对均值的区间估计,如果总体XN（，2），其中，均未知,由,构造T-统计量,当置信水平为1-时，由,查t-分布表确定,从而得的置信水平为1-的置信区间为,例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。,解 由题设可知：口杯的重量XN（，2）,由抽取的9个样本，可得,由,得,查表得,全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）,P127例5与P126例3的比较：,解 由题设可知：平均消费额XN（

12、，2）,平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536）,由,得,查表得,估计误差为,精确度降低,原因：样本容量减少,在实际应用中，方差未知的均值的区间估计较有应用价值。,练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？,解 由题设可知：平均需求量XN（，2）,平均消费额的置信区间为（9.229，10.771）,由,查表得,续解,要以99%的概率满足10000户居民对该种

13、商品的需求，则最少要准备的量为,（公斤）,最多准备,（公斤）,正态总体均值已知，对方差的区间估计,如果总体XN（，2），其中已知，2未知,由,构造2-统计量,查2-分布表，确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信区间为,例题已知某种果树产量服从（218，2），随机抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以95%的置信水平估计产量的方差。,解,计算,查表,果树方差的置信区间为,正态总体均值未知，对方差的区间估计,如果总体XN（，2），其中2未知,由,构造2-统计量,当置信水平为1-时，由,查2-分布表，确定双侧分位数,从而得2的置信水平为1-的置信

14、区间为,例4 设某灯泡的寿命XN（，2），2未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为90%的2的区间估计。,解 样本方差及均值分别为,2的置信区间为（0.4195，5.5977）,由,得,查表得,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（1）方差已知，对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造U-统计量，反查标准正态分布表，确定U的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（2）方差未知，对均值的区间估计,假设置信水平为1-,构造T-统计量，查t-分布临界值表，确定T

15、的双侧分位数,得EX的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（3）均值已知，对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,小 结,总体服从正态分布的均值或方差的区间估计,（4）均值未知，对方差的区间估计,假设置信水平为1-,构造2-统计量，查2-分布临界值表，确定2的双侧分位数,得2的区间估计为,（1）方差已知，对均值的区间估计，构造U统计量,（2）方差未知，对均值的区间估计，构造T统计量,总体服从正态分布的对均值的区间估计,区间估计,（4）均值未知，对方差的区间估计，构造2统计量,（3）均值已知，对方差的区间估计，构造2统计量,总体服从正态分布的对方差的区间估计,区间估计,作业 P131 5，7，8，9，14，15*预习 第10章 15节,