概率论与数理统计第七章.ppt
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1、ch7-1,1,第七章,参数估计,ch7-1,2,参数估计问题,假设检验问题,点 估 计,区间估 计,ch7-1,3,什么是参数估计?,参数是刻画总体某方面概率特性的数量.,参数估计就是:当某个参数未知时,从总体抽出一个样本,用某种方法对这个未知参数进行的估计.,例如,X N(,2),若,2未知,通过构造样本的函数,给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.,ch7-1,4,参数估计的类型,点估计 估计未知参数的值,区间估计 估计未知参数的取值范围,并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.,ch7-1,5,1 点估计方法,点估计的思想方法:设总体X 的分布函数F(x)的形式已知,但其
2、中含有一个或多个未知参数:1,2,k,设 X1,X2,Xn为总体的一个样本,构造与未知参数1,2,k有关的k 个统计量:,随机变量,ch7-1,6,当测得样本值(x1,x2,xn)时,代入上述统计量,即可得到 k 个数:,数 值,如何构造统计量?,如何评价估计量的好坏?,对应统计量,ch7-1,7,点估计的常用方法,ch7-1,8,方法,用样本 k 阶矩作为总体的 k 阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数,矩估计法,ch7-1,9,设有k个待估计的参数为,设总体的前 k 阶矩存在,记为,样本 X1,X2,Xn 的 r 阶矩为,令,含未知参数 1,2,k 的方程组,r=1,2,
3、k,ch7-1,10,解方程组,得 k 个统计量:,未知参数 1,k 的矩估计量,代入一组样本值得 k 个数:,未知参数 1,k 的矩估计值,ch7-1,11,事实上,当X为连续的,设其概率密度为f(x;1,2,k),则有,若X为离散的,设其分布律PX=xj=p(xj;1,2,k),j=1,2,.则有,而样本矩为:,建立方程组:r=Ar,r=1,2,k,求解,得到 r 即为r的矩估计值。,ch7-1,12,例1 设总体X的概率密度为:,其中1是未知参数,(X1,X2,Xn)是取自X的样本,求参数的矩估计.,解:待估的未知参数只有一个,只须计算总体的一阶原点矩,即X的数学期望:,从中解得:,用,
4、代替上式中的1,即得的矩估计:,ch7-1,13,例2 设总体 X U(a,b),a,b 未知,X1,X2,Xn为总体的样本,求参数 a,b 的 矩法估计量.,解 总体矩:,令,ch7-1,14,解得,ch7-1,15,例3 设总体 X N(,2),X1,X2,Xn为 总体的样本,求,2 的矩法估计量.,解,总体矩:,令,样本矩:,得,解得,ch7-1,16,例4 设总体X服从参数为的指数分布,即 X E(),X1,X2,Xn为总体的样本,求 的矩法估计量.,解,令,故,ch7-1,17,例6 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡,测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,108
5、0,1120,1200 1250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,解,ch7-1,18,一般,不论总体服从什么分布,若总体期望 与方差 2 存在,则它们的矩估计量分别为,ch7-1,19,事实上,按矩法原理,令,ch7-1,20,极大似然估计法,思想方法:一次试验就出现的事件有较大的概率,例如:有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球,现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.,答:第一箱.,问:所取的球来自哪一箱?,ch7-1,21,设离散总体X的分布律P
6、 X=x;的形式已知,是待估的未知参数,.又设(X1,X2,Xn)是取自总体X的一个样本,(x1,x2,xn)是样本的一组观测值.记pi()=PXi=xi;,i=1,2,n,那么这组样本观测值出现的概率为:,取不同值时,这个概率一般是不相同的,即这组样本观测值(x1,x2,xn)出现的可能性大小是随着的不同而变化的,L()是参数的函数.我们知道,如果在一次观察中某个事件A出现了,那么可认为事件A出现的可能性(概率)比较大.现在事件X1=x1,X2=x2,Xn=xn在一次观察中出现了,那么由(*)式表示的这个事件的概率应该比较大.,(*),ch7-1,22,定义7.1.1 设总体X为连续随机变量
7、,其概率密度为f(x;);或X为离散随机变量,其分布律为PX=x;,,(x1,x2,xn)是来自总体X的一组样本观测值.当X为连续的,记,当X为离散的,记,称L()为似然函数.,若存在的估计,使,则称 是的最大似然估计,简记为MLE,ch7-1,23,极大似然估计方法,1)写出似然函数 L,ch7-1,24,可得未知参数的极大似然估计值,然后,再求得极大似然估计量.,若L是 1,2,k的可微函数,解似然方程组,L()与ln L()在同一处取到最大值,因此求的最大似然估计也常常使用对数求导的方法解决。即令,ch7-1,25,例 设总体X服从参数为p的0-1分布,求p的最大似然估计.解:设(x1,
8、x2,xn)是样本(X1,X2,Xn)的一组观测值.由 0-1分布的分布律:,可得似然函数为,对数似然函数为,对上式关于p求导并令其为0:,ch7-1,26,解得,此 即为 p 的最大似然估计值,p 的最大似然估计量为,ch7-1,27,例2 设总体X的概率密度为:,其中1是未知参数,(X1,X2,Xn)是取自X的样本,求参数的最大似然估计.,解:似然函数,令,解得,ch7-1,28,例 设总体 X N(,2),x1,x2,xn 是 X 的样本值,求,2 的极大似然估计.,解,ch7-1,29,2 的极大似然估计量分别为,似然方程组为,ch7-1,30,极大似然估计的不变性,设 是 的极大似然
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- 概率论 数理统计 第七
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