概率论与数理统计浙大四版第一章第一章第6讲.ppt

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1、第六讲,事件的独立性,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,一、两事件的独立性,A=第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A)P(B),用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用 P(A|B)=P(A)或 P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.,P(AB)=P(B)P(A|B),若两事件A、B满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B独立，或称A、B相互独立.,两事件独立的定义,例1 从一副

2、不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的,可见,P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的,在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,则 由于 P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13 P(A)=P(A|B),说明事件A、B独立.,在实际应用中,往往根据问题的实

3、际意义去判断两事件是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）,一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=第i件是合格品 i=1,2,若抽取是有放回的,则A1与A2独立.,因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.,又如：,因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.,若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.,请问：如图的两个事件是独立的吗？,即:若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.,反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥.,而P(A)0,P(B)0,故 A、B不独立,我们来计算：

4、,P(AB)=0,问：能否在样本空间S中找两个事件,它们既相互独立又互斥?,这两个事件就是 S和,P(S)=P()P(S)=0,与S独立且互斥,不难发现，与任何事件都独立.,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0 2.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=0 4.P(AB)=P(A)P(B),再请你做个小练习.,=P(A)1-P

5、(B)=P(A)P(),=P(A)-P(AB),P(A)=P(A-A B),A、B独立,故A与 独立.,概率的性质,=P(A)-P(A)P(B),证明:仅证A与 独立,二、多个事件的独立性,将两事件独立的定义推广到三个事件：,推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：,包含等式总数为：,设A1,A2,An是 n个事件，如果对任意k(1k n),任意1 i1i2 ik n,具有等式则称A1,A2,An为相互独立的事件.,请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对n(n2)个事件,?,对独立事件，许多概率计算可得到简化：,例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率

6、分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号为1，2，3，,三、独立性的概念在计算概率中的应用,所求为 P(A1+A2+A3),记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,1,2,所求为 P(A1+A2+A3),已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,P(A1+A2+A3),=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),3,n个独立事件和的概率公式:,设事件 相互独立,则,P(A1+An),也相互独立,也就是说，n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的

7、乘积.,例 3 下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.,P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H),解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有,其中,P(C+D+E)=1-,P(F+G)=1-,P(W)0.782,代入得,例 4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中,i=1

8、,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),则 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,可求得:,为求P(Ai),设 Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3,将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,这一讲，我们介绍了事件独立性的概念.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.,