概率论与数理统计浙大四版第一章第一章第5讲.ppt

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1、第五讲,全概率公式 和贝叶斯公式,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解：记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,即 B=A1B+A2B+A3B，且 A1B、A2B、A3B两两互斥,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=

2、P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每一项运用乘法公式得,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,设S为随机试验的样本空间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i=1,2,n,全概率公式:,称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组.,则对任一事件B，有,在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：,在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.,全概率公式的来

3、由,不难由上式看出:,“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和.,它的理论和实用意义在于:,某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.,P(B)=P(Ai)P(B|Ai),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,诸Ai是原因B是结果,练习,设一仓库中有10 箱同种规格的产品,其中 由甲

4、、乙、丙三厂生产的分别有5箱、3箱、2箱,三厂产品的废品率依次为 0.1,0.2,0.3 从这 10箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率.,解：设 A 为事件“取得的产品为正品”,分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,由题设知,故,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,贝叶斯 Thomas Bayes，英国

5、数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作机会的学说概论发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,1,1红4白,某人

6、从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.,贝叶斯公式：,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例 2 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种

7、试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求P(C|A).,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得:P(CA)=0.1066,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005,患者阳性反应的概率是

8、0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)=0.1066,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2.检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,例3,解,(1)由全概率公式得,(2)由贝叶斯公式得,解,例4,由贝叶斯公式得所求概率为,例 4

9、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.,设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中,i=1,2,3,由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),则 B=A1B+A2B+A3B,求解如下:,可求得:,为求P(Ai),设 Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3,将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,于是 P(B)=P(A1)P(B|A1)+

10、P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,练习：袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率,则由Bayes公式，得,返回主目录,设B=取出的球全是白球,解：,下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B

11、发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.,在不了解案情细节(事件B)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,甲,乙,丙,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.,P(A1|B),知道B发生后,P(A2|B),P(A3|B),这一讲我们介绍了,全概率公式,贝叶斯公式,它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.,值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断

12、方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.,你了解哥德巴赫猜想吗?,哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士.1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。公元 1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。,(1)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和.(2)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和.陈景润1966年证明了“每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和.在此问题的研究上迈出了重要一步.,