概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差.ppt

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1、1,前面介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间相互关系的数字特征中，最重要的，就是本节要讨论的,协方差和相关系数,2,4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X,Y):,已知联合分布,边缘分布,这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量X,Y 之间的某种关系,3,可以证明协方差矩阵为半正定矩阵,4,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：,Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点，对协方差进

2、行标准化，这就引入了相关系数的概念.,5,若Var(X)0,Var(Y)0,称,为X,Y 的 相关系数，记为,事实上，,6,利用函数的期望或方差计算协方差,7,若二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为,且Cov(X,Y)存在,则,8,(2)若二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y),且Cov(X,Y)存在，则,9,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),可见，若X与Y 独立，则 Cov(X,Y)=0.,证明：Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,=EXY-XE(

3、Y)-YE(X)+E(X)E(Y),10,若 X,Y 相互独立,则上式化为,随机变量和的方差与协方差的关系,11,协方差的性质,当且仅当,时，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,12,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为,13,相关系数的性质,证明：,令,14,15,16,17,说明,X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系,18,X,Y 不相关,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,若 X,Y 服从二维正态分布，,X,Y 相互独立,X,Y 不相关,19,求 cov(X,Y),XY,解：,20,21,例2.

4、设U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求 XY,解:,22,23,例3 设(X,Y)服从二维正态分布,求(1)X和Y的相关系数,(2)X和Y不相关=0,24,解：(X,Y)的概率密度函数为,(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度分别为,25,由于,26,27,28,X，Y独立=0X，Y不相关。,29,例4.设(X,Y)N(1,1;4,4;0.5),Z=X+Y,求 XZ,解:,30,例5：设XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求 E(X+Y)2.,解:,E(X+Y)2=E(X+Y)2+Var(X+Y),注意到,=EX+EY)2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y

5、),把条件代入即得 E(X+Y)2=,由题设知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而,31,设二维随机变量(X,Y),k,l 为非负整数。mk=E(Xk)称为X的k阶原点矩，k=E(X-E(X)k 称为X的k阶中心矩，mkl=E(X k Y l)称为X和Y的(k,l)阶混合原点矩，kl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l 称为X和Y的(k,l)阶 混合中心矩.显然数学期望为1阶原点矩,方差为2阶中心矩,而协方差为(1,1)阶混合中心矩.,32,例6.设X服从N(0,1)分布，求 E(X3),E(X4)。,解：X的密度函数为：,注：此例是128页4.17的特例。,33,作业:,128页:4.12;4.26;4.28。,