概率论与数理统计(第五章第3节).ppt

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1、1,第三节 中心极限定理,中心极限定理是一系列描述相互独立的随机变量之和的极限分布(依分布收敛)是正态分布的定理。,设随机变量序列 X1,X2,Xn,相互独立,且数学期望和方差都存在。取其前 n 项求和 X1+X2+Xn,有,2,3,则有,E(Zn)=0,D(Zn)=1,n=1,2,记 Zn的分布函数为 Fn(x)=P Znx,如果,称随机变量序列 Xn 服从中心极限定理。,4,介绍最常用的两个中心极限定理。,5,1.独立同分布的中心极限定理,设随机变量序列 X1,X2,Xn,相互独立,服从相同的分布,且数学期望和方差都存在,有,E(Xi)=,D(Xi)=2,i=1,2,则随机变量序列 Xn

2、服从中心极限定理。,即,6,7,独立同分布随机变量之和的近似计 算公式,设随机变量 X1,X2,Xn独立同分布,则当 n 足够大时,有,其中,=E(Xi),2=D(Xi)。,8,例1.(习题五 第7题 P.181)对敌人进行100 次炮击,每次炮击时命中炮弹数的均值为 4,方差为 2.25,求:在 100 次炮击中有 380 到 420 颗炮弹命中目标的概率。,解.设 Xi 为第 i 次炮击命中的炮弹颗数,i=1,2,则有,E(Xi)=4,D(Xi)=2.25;,所求概率为,9,由独立同分布中心极限定理,有,10,例2.(参见复习指南P.86)路边有一个售报亭,每个过路人在报亭买报的概率是 1

3、/3,求:正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。,解.设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数,Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数,则,11,并且随机变量 X1,X2,X100 独立同分布,具有分布律:,以前曾计算过的结论:,i=1,2,100;,12,由独立同分布中心极限定理,所求概率,13,2.棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,证明:设 X1,X2,Xn,是独立同分布的随机变量序列,均服从(0-1)两点分布,则 Yn=X1+X2+Xn 服从 B(n,p);而显然有(0-1)两点分布的数学期望和方差都存在。,14,由独立同分布

4、的中心极限定理,注意到,有,由这个定理,当 n 足够大时,二项分布B(n,p)近似于正态分布 N(np,np(1p),于是得到重要的近似计算公式:,15,二项分布的近似计算公式,设随机变量 Y B(n,p),则当 n 足够大时,有,例3.随机抽查验收产品,如果在一批产品中查出10个以上的次品,则拒绝接收。问至少检查多少个产品,能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9。,16,解.设检查的产品数为 n,查出的次品数为 X,则 X B(n,0.1),按题意,有,P 10Xn 0.9,由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,有,P 10Xn,17,于是,故,解出此不等式得 n146.8 或 n68.3,所以至少取 n=147 能够保证要求。,18,例4.甲、乙两家电影院竞争 1000 名观众,假定每个观众独立地随机选择一个电影院,问:每个电影院至少应该设多少个座位,才能保证观众因座位不够而离去的概率小于 0.01?,解.设 X 是选择甲电影院的观众人数,于是,X B(1000,0.5),按题意,需要确定一个最小整数 m,使得,P mX1000 0.01,19,由棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理,有,P mX1000,20,得到,得到 m536.8,取 m=537,即:甲电影院至少应设 537 个座位才能满足要求。,由于对等性,乙电影院也不能少于537 个座位。,