概率的统计定义、古典概型.ppt

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1、一、概率的统计定义,二、古典概型,1.3 概率的定义,三、几何概型,四、概率的公理化定义,1.定义,一、概率的统计定义,2.频率的性质,设 A 是随机试验 E 的任一事件,则,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次,各做 7 遍,观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大,频率 f 呈现出稳定性,从上述数据可得,(2)抛硬币次数 n 较小时,频率 f 的随机波动幅度较大,但随 n 的增大,频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动,且逐渐稳定于 0.5.,(1)频率有随机波动性,即对于同样的 n,所得的 f 不一定相同;,重要结论,频率当

2、n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率.,在随机试验中,若事件A出现的频率 随,3.定义,概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。,1.古典概型定 义,二、古典概型,如果一个随机试验E具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；2、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。,设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成,A 为 E 的任意一个事件,且包含 m 个样本点,则事件 A 出现的概率记为:,2.古典概

3、型中事件概率的计算公式,称此为概率的古典定义.,3.古典概型的基本模型:摸球模型,(1)无放回地摸球,问题1 设袋中有M个白球和 N个黑球,现从袋中无放回地依次摸出m+n个球,求所取球恰好含m个白球,n个黑球的概率?,样本点总数为,A 所包含的样本点个数为,解,设A=所取球恰好含m个白球,n个黑球,(2)有放回地摸球,问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率.,解,第1次摸球,6种,第1次摸到黑球,4种,第3次摸到红球,样本点总数为,A 所包含样本点的个数为,4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型,(1)杯子容量无限,问题1 把

4、4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个杯子中各有两个球的概率,其中假设每个杯子可放任意多个球.,4个球放到3个杯子的所有放法,因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为,(2)每个杯子只能放一个球,问题2 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能放一个球,求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.,解,第1至第4个杯子各放一个球的概率为,2o 生日问题 某班有20个学生都是同一年出生的,求有10个学生生日是1月1日,另外10个学生生日是12月31日的概率.,课堂练习,1o 分房问题 将张三、李四、王五3人等可能地分配到3 间房中去,试求每个房间恰有1人的概率.,5.古典概型的概率的性质,(1)对于任

5、意事件A,解,6、典型例题,在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法共有,于是所求的概率为,解,在N件产品中抽取n件的所有可能取法共有,例 3（分房问题）有 n 个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在 间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：,(1)某指定 间房中各有一人;,(2)恰有 间房，其中各有一人；,(3)某指定一间房中恰有 人。,解 先求样本空间中所含样本点的个数。首先，把 n 个人分到N间房中去共有 种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。,(b)恰有n间房中各有一人，所有可能的分法为,(a)某指定n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为,(c)

6、某指一间房中恰有m人，可能的分法为,进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为:,（1）,（2）,（3）,上述分房问题中，若令 则可演化为生日问题.全班学生30人，,(1)某指定30天，每位学生生日各占一天的概率；,(2)全班学生生日各不相同的概率；,(3)全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。,利用上述结论可得到概率分别为:,由（2）立刻得出，全班30人至少有2人生日相同的概率等于10.294=0.706,这个值大于70%。,（1）,（2）,（3）,例4 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的.,假设接待站

7、的接待时间没有规定,且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.,解,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,故一周内接待 12 次来访共有,小概率事件在实际中几乎是不可能发生的,从而可知接待时间是有规定的.,周一,周二,周三,周四,周五,周六,周日,周二,周四,12 次接待都是在周二和周四进行的共有,故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为,把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法 几何方法.,概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了.,三、几何概型,

8、定义,定义 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为,几何概型的概率的性质,(1)对任一事件A,有,那末,两人会面的充要条件为,例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间 t(tT)后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.,会面问题,解,故所求的概率为,若以 x,y 表示平面上点的坐标,则有,蒲丰投针试验,例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为

9、a(0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(a)的针,试求针与任一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1),利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟,1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展.,四、概率的公理化定义,概率的可列可加性,定义,例1 在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3个记录其纪念章的号码.,(1)求最小号码为5的概率;(2)求最大号码为5的概率.,解,(1)总的选法

10、种数为,最小号码为5的选法种数为,备份题,(2)最大号码为5的选法种数为,故最大号码为5的概率为,故小号码为5的概率为,例2 将 4 只球随机地放入 6 个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率.,解,将4只球随机地放入6个盒子中去,共有64 种放法.,每个盒子中至多放一只球共有 种不同放法.,因而所求的概率为,例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少?,解,15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:,(1)每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有,因此所求概率为,(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,对于每一种分法,其余12名新生的分法有,因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有,因此所求概率为,例4 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可能的,即都等于 1/365,求 64 个人中至少有2人生日相同的概率.,64 个人生日各不相同的概率为,故64 个人中至少有2人生日相同的概率为,解,我们利用软件包进行数值计算.,