椭圆的简单几何性质(讲课).ppt

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1、2.1.2 椭圆的简单几何性质,复习：,1.椭圆的定义:,到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2|）的动点的轨迹叫做椭圆.,2.椭圆的标准方程是：,3.椭圆中a,b,c的关系是:,a2=b2+c2,当焦点在X轴上时,当焦点在Y轴上时,a,F2,F1,O,B2,B1,A1,A2,x,y,c,b,B2F2O叫椭圆的特征三角形.,4.求椭圆的方程：,“定、设、求”.,5.“相关点法”求轨迹方程或轨迹.,1.范 围:,2、对称性,F2,F1,O,x,y,椭圆关于y轴对称.,F2,F1,O,x,y,椭圆关于x轴对称.,A2,A1,F2,F1,O,x,y,椭圆关于原点对称.,从图形上看，椭圆关

2、于x轴、y轴、原点对称从方程上看：（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象 关于原点成中心对称.,3、椭圆的顶点,令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点？令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？,顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点.,长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.,a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.,练习一：,1、已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样标出椭圆焦点的位置？,o,B2,B1,A1,A2,因为a2=b2+c2,所以以

3、椭圆短轴端点为圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为椭圆焦点.,练习一：,2、求下列椭圆的焦点坐标：,4、离心率,上面椭圆的形状有什么变化？,O,x,y,怎样刻画它们的扁平程度？,扁平的程度不同,4、离心率,O,x,y,如图，a不变，,也即，a不变，,把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用e表示，即,b越小，椭圆越扁.,c越大，椭圆越扁.,4、椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率.,1离心率的取值范围：,2离心率对椭圆形状的影响：,0e1,1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁；,3e与a,b的关系:,2）e 越接近 0，c 就越接近

4、 0，从而 b就越大，椭圆就越圆.,练习二：,比较下列每组椭圆,哪个更圆,哪个更扁,为什么？,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。,长半轴长为a,短半轴长为b.,焦距为2c;,a2=b2+c2,e越趋近于0,椭圆越圆;,e越趋近于1,椭圆越扁.,练习三：,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,例1:,求椭圆 16 x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标,因此，椭圆的长轴长和短轴长分别是,离心率,焦点坐标分别是,四个顶点坐标是,解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程；,2、求出a,b,c,画出简图.,它的长轴长是：.短轴长是：_.焦距是：.离心率等于：.焦点坐标是：

5、.顶点坐标是：.外切矩形的面积等于：.,2,练习四：,已知椭圆方程为,例2:过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点、；（2）长轴长等于,离心率等于,解:（1）由题意，,又长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为,（2）由已知，所以椭圆的标准方程为 或,5、椭圆的应用,3,解：,解：,4,所以，点M的轨迹是长轴,短轴长分别为10,6的椭圆.,已知椭圆的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置；(2)设出关于a,b,c的方程(组)；(3)求出参数a,b,c，写出标准方程,【提升总结】,问题2：怎么判断它们之间的位置关系？,问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？,dr,dr,d=r,

6、0,0,=0,几何法：,代数法：,题型一：直线与椭圆的位置关系,问题3:直线与椭圆有什么样的位置关系呢？,种类:,相离(没有交点),相切(一个交点),相交(二个交点),相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点),问题4：直线与椭圆的位置关系如何判定？,代数方法，联立方程,1.位置关系：相交、相切、相离,通法,【提升总结】,直线与椭圆的位置关系：,题型一：直线与椭圆的位置关系,2.判别方法(代数法),(1)0直线与椭圆相交有两个公共点；,联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(当二次项系数不为0时),(2)=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点；,(3)0 直线与椭圆相离无公共点,观察

7、图形,可以发现,利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.,5,分析：作出直线l及椭圆（如图）.,解:由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交（为什么?）.设直线m平行于直线l,则直线m的方程可以写成,令方程的根的判别式=0，得,组,解方程，得,最大距离是多少？,变式练习：,当m取何值时,直线l：y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离？,解：,题型二：弦长公式,设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k,弦长公式：,可推广到任意二次曲线,例6、已知椭圆c的焦点F1 和F2,长轴长6,设直线y=x+

8、2交椭圆c于A,B两点,求线段AB的中点坐标及弦长.,解：,例6、已知椭圆c的焦点F1 和F2,长轴长6,设直线y=x+2交椭圆c于A,B两点,求线段AB的中点坐标及弦长.,变式练习：已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A,B两点，求弦AB之长,.,例7已知椭圆 过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.,解：,韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造,题型三：中点弦问题,与椭圆方程联立，消去y得：,还有没有别的方法？,例 7 已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出

9、中点坐标和斜率,点,作差,题型三：中点弦问题,知识点3：中点弦问题,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率,知识点3：中点弦问题,直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法,还有没有别的方法？,例7已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程.,所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条,解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理.,题型三：中点弦问题,变式练习：已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,求l的方程.,解：,设直线l与椭圆交与A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),由题意：,且,两式相减得：,变式、已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截得的线段的中点,求l的方程.,小结：,关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。,长半轴长为a,短半轴长为b.,焦距为2c;,a2=b2+c2,e越趋近于0,椭圆越圆;,e越趋近于1,椭圆越扁.,阻止你前行的，不是人生道路上的一百块石头，而是你鞋子里的那一颗石子.,