自动控制原理(11J3).ppt

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1、1,第2章 控制系统的数学模型,2.0 引言 无论对控制系统作定量分析还是设计,首先要建立控制系统的数学模型。本章对控制系统数学模型的建立、应用、转换等有关问题作一般性的讨论，为后续各章的系统分析奠定基础。,一.什么是控制系统的数学模型,常用的数学模型有微分方程、传递函数、方框图、信号流图、状态空间表达式等。根据实际问题的性质，建立合理的数学模型，对于系统的分析、研究是至关重要的。,系统的数学模型取决于系统的组成及参数，它反映系统的固有特性。,数学模型是系统特性的数学描述。,定义:描述控制系统输出变量、输入变量(以及内部变量)之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。,3,二.控制系统数学模型

2、的分类及形式 时域模型（是时域分析的依据）包括：微分方程（线性的、非线性的）状态空间方程（状态空间模型）（该类模型中各个变量都是时间t的函数，时间t可以是连 续的或离散的）,S域模型（是S域分析的依据）包括：系统传递函数 G(s)系统结构图(方框图)信号流图（该类模型中各个变量都是复变量s的函数),4,频域模型 系统的频率特性（幅频特性和相频特性）也是一种数学模型（是频域分析的依据）,此外，在分析离散时间系统时，还用到Z域模型。,5,三.建立数学模型的方法 两类基本方法：,实验法（系统辨识方法）对系统加入适当的测试信号（激励），记录相应输出响应，再用适当的数学关 系模拟其特性。,解析法 通过分

3、析系统内部组成及特性，运用有关 定理（物理、化学、电学等）建立相应的运动方程。（必要时加以实验验证）,6,两种方法比较：解析法 适用于简单、典型、常见系统；系统辨识方法 适用于复杂、非常见系统，是一 种通用方法。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效，本课程只涉及解析法。,7,2.1 控制系统的微分方程,建立系统微分方程的一般步骤,微分方程是控制系统最基本的数学模型（时域模型）,是其它模型的基础。,建立系统微分方程举例,建立微分方程需要进一步考虑的问题（精确性、非线性）,N 阶系统微分方程的一般形式,内容,8,（1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统 和各环节的输入

4、、输出变量；,（2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律或通 过实验等方法得出的基本规律)，列写各环节的方程式，并构成微分方程组。,建立系统微分方程的一般步骤,9,（3）消去方程组中间变量，最后得出只含系统输入变量、输出变量及其导数的微分方程；,（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，成为标准化微分方程。,10,例 1 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t)。,解 根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：,二.建立系统微分方程举例,削去中间变量可得到：,令：T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得

5、：,该系统的数学模型是一个二阶线性定常微分方程。（给定初始条件时，可求得任意输入下的系统响应）,12,例2.设 弹簧质量 阻尼动力系统如图所示。其中弹簧的弹性系数为 k(N/m)，阻尼器阻尼系数为 f（N/m/s)，质量块的质量为 m。当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。,13,解：分析质量块 m 受力,阻尼力:,弹簧恢复力:Ky（t）,外力:F（t）,据牛顿第二定律：,上式描述了 mKf 系统的动态特性，该系统的数学模型是：二阶线性定常微分方程。,14,例 3 电枢控制、它激直流电动机等效模型如图所示 电枢输入电压ua(t)，

6、电动机输出角位移为(t)。Ra、La、ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流，if为恒定激磁电流，eb为反电势，f为电动机轴上的粘性摩擦系数，G为电枢质量，D为电枢直径，ML为负载力矩。试建立电机角位移(t)与输入电压ua(t)的微分方程 数学模型。,15,Ce 为电动机的反电势系数。,2.力矩平衡方程为:,MD为电磁转距,16,整理得：,此方程是以电机转角位移(t)为响应的三阶线性常微分方程。,17,电机传递系数,得：,此方程是以电机转速 为响应的二阶线性常微分方程。,当忽略黏性摩擦影响、忽略负载力矩的影响（空载）时：,18,例 4 水电加热系统如图所示。为减小周围空气的热损耗，箱壁是绝

7、热的，采用电动控温开关控制加热器工作。,试建立箱内水的温度T与加热器供给的热量Qh 之间的微分方程。,热电偶,19,设：,其中：Qh 加热器需要提供的热量；QC 贮槽内水吸收的热量：Q0 热水流出槽所带走的热量:Qi 冷水进入槽带入的热量:Ql 隔热壁逸散的热量:,C贮槽水的热容量；V流出槽水的流量；H 水的比热；R热阻；Ti进入槽水的温度；T槽内水的温度；Te槽外空气温度。,解：根据能量守恒定律,20,将以上关系代入能量平衡方程,整理得:,箱内水温T 与加热器供给热量Qh 之间的微分方程：一阶常微分方程,21,三.SISO 线性(时不变)n阶系统微分方程的一般形式,22,一.精确性(简化性)

8、一个物理系统的数学模型不是唯一的。数学模型是在一定的条件下，根据具体问题的要求建立的，是有一定针对性和局限性的，也是有一定近似性的。因此，使用数学模型要注意其前提条件和局限性。要合理选择和应用不同精度的模型。例1 电阻模型 例2 电感模型,2.2 微分方程的精确性和线性化问题,23,（1）当忽略黏性摩擦影响、忽略负载力矩的影响（空载）时：,（2）在此基础上进一步忽略电枢电感时：,例3 直流电机模型,24,二.非线性模型的线性化 实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论还远不完善。

9、因此，在工程允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，然后用线性理论进行分析。当系统中存在严重非线性元件、部件，并且非线性成为主要矛盾时，需要用专门的非线性分析方法。,25,1.对弱非线性的线性化 如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。,26,a.饱和非线性,b.平方律非线性,2.平衡位置附近小偏差特性的线性化,在静态工作点(平衡点)处，利用泰勒公式将非线性特性展开为幂级数，忽略高阶项后可得到线性化关系。,27,3.非线性为主要矛盾的特性曲线,对于非线性为强非线

10、性(非线性为主要矛盾-称为本质非线性)，只能采用非线性理论来分析。,28,例:已知非线性电感（铁芯线圈）的磁感应特性,设：电感的损耗电阻为R,ui(t)为线圈输入量，i(t)为输出量，求该线圈的微分方程。,铁芯线圈磁感应特性,29,根据：,线圈的微分方程为非线性方程：,30,将(i)在I0 附近展开成泰勒级数:,为了克服非线性影响，为线圈设置静态电流,31,定义动态电感：,条件:研究在工作点附近较小的变化关系。,则：该线圈的方程为线性微分方程,32,引言 微分方程模型的优点：给定输入和初始条件后，可以求得系统地完全响应，全面地观察输出响应随时间的波形变化。微分方程模型的缺点：不便于分析系统结构

11、变化、参数变化对响应规律的影响。系统传递函数是在拉氏变换基础上引入的,它属于控制系统的S域模型。其突出优点：便于分析系统结构变化、参数变化对响应规律的影响，而且运算简单。,2.3 控制系统的传递函数,33,一.传递函数的定义 系统传递函数是在拉氏变换基础上引入的,它是SISO控制系统在S域的基本数学模型.,其定义为:在零初始状态条件下,34,SISO 线性(时不变)系统微分方程的一般形式：,35,在零状态条件下对上面方程取拉氏变换,可得到传递函数,传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的 动态性能。,其中：ai,bi 是常系数，nm，因果系统的G(s)是关于复变量 s 的真有理分式.

12、,36,本教材所用符号：,37,二.传递函数的讨论,确定系统的传递函数具有确定的量纲；但是不同的物理系统可以有形式相同的传递函数。,3.一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之相对应，因此系统的零、极点分布图也可表征系统的动态特性。,2.G(s)仅取决于系统的结构和参数，与输入的性质和大 小无关。因此它是系统本身的固有特性。,1.只能用于确定：零初始状态下，线性、定常、时不变系 统的输出与输入关系，不能反映系统内部变量关系。,38,三.传递函数与脉冲响应（单位冲激响应）的关系,系统传递函数与系统单位冲激响应是一对拉氏变换关系：,系统传递函数 是系统的S域模型，用 G(S)表示。,单位冲激响应 是系统的时域模型，用 g(t)表示。,39,在S域，系统的输出与输入的一般关系为：,对应时域关系：,40,进一步：,取拉氏变换：,41,