机械优化设计ppt课件第二章机械优化设计的数学基础.ppt

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1、机械优化设计,太原科技大学张学良,第二章 优化设计的数学基础,梯度,2.1 目标函数的近似表达,设目标函数f(X)是一阶连续可微的，则它在某点X（k）处对 x i(i=1,2,n)的一阶偏导数的列向量（列矩阵）称为f(X)在X（k）点处的梯度，记作,梯度的模,海赛矩阵,设目标函数f(X)在某点X（k）处存在连续的一阶、二阶偏导数：,则函数f(X)在X（k）点的n2个二阶偏导数所构成的 nn 阶方阵称为函数f(X)在X（k）点的海赛矩阵。,若函数f(X)的一阶偏导数在定义域内处处连续可微，则海赛矩阵为对称方阵。,目标函数的近似表达泰勒展开,一元函数f(x)的泰勒展开：,二元函数f(x1，x2)的

2、泰勒展开：,n元函数f(X)的泰勒展开：,可计算函数与等值面 给定一组设计变量的值，就对应一个确定的目标函数值f(X)=C，具有这种性质的函数叫可计算函数。反之，给定目标函数f(X)的值C，即f(X)=C，那么将有无限多个设计点X使该式成立，这些设计点在n维设计空间中将组成一个点集，称之为等值曲面（三维空间）或等值超曲面（n3），通称等值面。在二维平面中为等值线。若给定一系列目标函数的值，将在设计空间得到一组等值面（线）族。,目标函数的等值线（面）,f(X)=ax12+2bx1x2+cx22 a0 c0 ac-b20,一、最速下降方向负梯度方向,2.2 最速下降方向和共轭方向,函数的方向导数,

3、n元函数的方向导数:,与负梯度方向成锐角的方向为目标函数值的下降方向，成钝角的方向为目标函数值的增加方向。,目标函数的梯度方向是目标函数等值线（面）在同一点的法向矢量方向。,f(X(k),-f(X(k),X(k),t,所以，目标函数在某一点的最速下降方向为负梯度方向,两个向量的共轭 设两个非零向量S(0)、S(1)及对称正定矩阵H，若满足,二、共轭方向,则称S(0)、S(1)关于H共轭，或称S(0)与S(1)为共轭方向。若H为单位阵，即H=I，则S(0)与S(1)正交。,一组向量的共轭 设有一组非零向量S(0)、S(1)S(n-1)及对称正定矩阵H，若满足,则称它们关于H共轭，或称它们为一组共

4、轭方向。若H为单位阵，则称它们相互正交。,凸集（见图2M8）一个点集（或区域），如果连接其中任意两点的线段都全部包含在该点集内，则称该点集为凸集。否则，称为非凸集。,2.3 凸集、凸函数与凸规划,凸函数（见图2M10）设函数f(X)定义域为凸集G，X(1)、X(2)为凸集G上的任意两点，若函数f(X)在线段X(1)X(2)上的函数值总小于或等于用f(X(1)及f(X(2)作线性内插所得的值，则称函数f(X)为凸集G上的凸函数，即满足,的函数f(X)为凸函数。若同时去掉式中的等号，则称函数f(X)为严格凸函数。,凸规划 对于约束优化问题,若函数f(X)、gj(X)均为凸函数，则称此约束优化问题为

5、凸规划。,凸规划的性质 1）凸规划的可行域为凸集 2）凸规划的任何局部最优解就是全局最优解,2.4 优化问题的几何解释,2.5 优化方法的简单分类,按有无约束分类 无约束优化方法、约束优化方法 按目标函数的维数分类 一维优化方法、多维优化方法 按目标函数的数目分类 单目标优化方法、多目标优化方法 按求优途径的不同分类 直接法、解析法（间接法）、实验法、图解法,2.6 迭代方法及其收敛准则,无论是直接法还是解析法，求优的过程都是采用数值迭代法，且迭代公式的形式一致。,迭代方法,X(k+1)=X(k)+(k)S(k)(k=0,1,2,),两个特性,1）下降性:f(X(k+1)f(X(1)f(X(k

6、)f(X(k+1)f(X*),确定步长(k)的方法,1）定步长法,取(k)=p(p为常数)，检验下列不等式 f(X(k)+(k)S(k)f(X(k)？,若成立，则继续下一步迭代计算；,否则，取(k)=p（0 1），再检验不 等式 f(X(k)+(k)S(k)f(X(k)？直至满足为止。,2）最优步长法,用一维寻优方法确定(k)：,当给定S(k)从X(k)点出发搜索X(k+1)点时，为求得沿搜索方向S(k)上的最优步长(k)，可以建立如下一维优化数学模型，即,这实质上就是以(k)为变量的一元函数求极值的问题，称为一维搜索或一维寻优。,解析法确定(k)：,搜索方向S(k)的讨论,1）三种常用搜索方

7、向,负梯度方向：S(k)=-f(X(k),共轭方向：将n维优化问题转化为每一个循环n次一维搜索，依次取n个相互共轭的方向为搜索方向。,随机搜索方向：S(k)随机产生，只要求沿S(k)方向所得X(k+1)点处函数值下降。,2）S(k)与-f(X(k)和 f(X(k+1)的关系,目标函数下降：f(X(k)+(k)S(k)-f(X(k)0,f(X(k)+(k)S(k)-f(X(k)(k)T f(X(k)S(k),故(k)T f(X(k)S(k)0,用一维优化方法确定(k)时，必须满足：f(X(k)+S(k)=0,所以 T f(X(k)+S(k)S(k)=0 即 T f(X(k+1)S(k)=0 第k

8、次迭代的搜索方向S(k)与目标函数在本次迭代所得点X(k+1)处的梯度方向 f(X(k+1)正交。,X(k),X(k+1),S(k),-f(X(k+1),3）共轭搜索方向的一个重要性质,n维正定二次函数的n次收敛性,即 对于n维正定二次函数，若相继以一组相互共轭的向量S(0)、S(1)、S(n-1)为搜索方向，则不论从任何初始点出发，经过n次一维搜索，就可以得到该正定二次函数的极小点。,收敛性与收敛准则,迭代算法应具有收敛性，即产生的极小点序列或者其中某一点就是极小点，或者序列有一个极限，它是目标函数的极小点。,点距准则：|X(k+1)X(k)|1（1 0）,函数下降量准则：|f(X(k+1)f(X(k)|2（2 0）,梯度准则：|f(X(k)|3（3 0）,