数量关系一天课程.ppt

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1、关于数量关系,一、数量关系考什么2012年国考大纲中，数量关系表述如下：“数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。”常见题型：数字推理和数学运算。,第一节 数学基础知识,一、代数基础知识例1：从一块正方形木板上锯下宽5厘米的一个木条后，剩下的长方形面积为750平方厘米，锯下的木条面积是多少？A 25 B 150 C 152 D 168例2：修剪果树枝干，第1天由第1位园丁先修剪1棵，再修剪剩下的1/10，第2天由第2位园丁先修剪2棵，再修剪剩下的1/10，第n天由第位园丁修剪n棵，恰好第n天就完成，问如果每个园丁修剪的

2、棵树相等，共修剪了（）棵果树。A 46 B 51 C 75 D 81例3：x-y=1，x2-3xy-y2=（）A 1 B 2 C 3 D 5,（二）奇偶运算基本法则即：加减法同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇；乘法乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇。例：某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？A 33 B 39 C 17 D 16,（三）3、9整除判定1.能被 3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。2.一个数被3（或9）除得的余数，就是其各位相加后被3（或9）除得的余数。例：由1、2、3组成的没有重复数字

3、的所有三位数之和为多少？A 1222 B 1232 C 1322 D 1332（四）公倍数、公因数、最小公倍数、最大公因数及互质例：某班学生不到50个，在一次考试中，有1/7人得优，1/3人得良，1/2人及格，其余的均不及格，那么不及格的人数是多少？A 1 B 3 C 2 D 4,（五）尾数问题1.和的尾数等于尾数的和；差的尾数等于尾数的差；积的尾数等于尾数的积。注意：除法不适用于尾数法 例：2362+768-1482 的值为（）A 33462 B 33568 C 34560 D 346642.乘方尾数：底数只留个位，指数除以4留余数（余数为0则换为4）。例1：20082008+2009200

4、9 的个位数是（）A 3 B 5 C 7 D 9例2：求72008+82009+92010+789987的个位数是（）A 3 B 4 C 5 D 6,3.数的表述：余同加余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。一个数除以4余2，除以5余2，除以6余2，这个数可表示为：60n+2 一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1，这个数可表示为：60n+7 一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数可表示为：60n-3例1：有若干名工人，按每4人一组分，多1人，按每5人一组分，也多1人，按每6人一组分，仍然多1人，问车间至少有多少名工人？A 31 B 41 C 61 D 121例2：某班学生列队

5、时，排3路纵队多1人，排4路纵队多2人，排5路纵队多3人，问这个班有多少人？A 31 B 41 C 61 D 121例3：一个三位数除以5余3，除以6余2，除以7余1，这个数最小是多少？A 128 B 168 C 218 D 428,二、几何基础知识1.基本公式S三角形=1/2ahS正方形=a2 C正方形=4aS长方形=ab C长方形=2（a+b）S梯形=1/2（a+b）hS平行四边形=ahS圆形=r2 C圆形=2rV正方体=a3V长方体=abcV球体=4/3r3V圆柱体=r2 h,2.等量最值原理 周长相同的平面几何图形，越接近于圆形，面积越大；反之，面积相同的平面几何图形，越接近于圆，周长

6、越小。表面积相同的立体几何图形，越接近于球，体积越大，反之，体积相同的平面几何图形，越接近于球，表面积越小。3.成比例缩放性质 若一个几何图形尺度变为原来的N倍，则长度变为原来的N倍，面积变为原来的N2倍，体积变为原来的N3倍。,例1：一只小鸟离开鸟巢，向北飞了10米，然后又向东飞了10米，然后又向上飞了10米，最后，它沿着到鸟巢的直线飞回了家，问小鸟飞行总长度最接近（）米？A 17 B 14 C 47 D 44例2：如图由5个相同小长方形拼成的大长方形周长是88，问大长方形的面积是（）A 472 B 476 C 480 D 484,例3：一个蚂蚁从正方体的A顶点沿正方体的表面爬到正方体的对角

7、C顶点，如正方体的边长为a，则蚂蚁爬过的最短距离是（）A(1/2+2/2)a B 5a C(1+2)a D(1+3)a 例4：正四面体的棱长增加20%，则表面积增加（）A 20%B 15%C 44%D 40%把圆的直径缩短20%，其面积将缩小（）A 19%B 36%C 44%D 40%,第二节 行程问题,一、基本方法 行程问题是数量关系中难度较大的一类题型，在行程问题中常用的基本方法是公式法和画图法。基本公式：路程=速度时间 路程比=速度比时间比推论：当时间相同时，路程比等于速度之比 当速度相同时，路程比等于时间之比 当路程相同时，速度之比等于时间反比,二、典型问题1.相遇追及问题：相遇距离=

8、（速度1+速度2）相遇时间追及距离=（速度1-速度2）追及时间例1：甲、乙两人在长30米的游泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇（）次。A 2 B 3 C 4 D 5例2：甲、乙两人同时从A地到B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时甲还需行3分钟才能到达B地，问A、B两地相距（）米。A 1350 B 1080 C 900 D 720,2.流水行船问题：顺流航程=（船速+水速）顺流时间 逆流航程=（船速-水速）逆流时间例：

9、甲、乙两港相距720千米，轮船往返两港需要35小时，逆流航行比顺流航行多花5小时，已知帆船在静水中每小时行驶24千米，问帆船往返两港需要（）小时。A 58 B 60 C 64 D 66,3.电梯运动问题：电梯梯级（电梯可见部分）=人走的距离+电梯走的距离（顺水行舟）=（人速+电梯速度）沿电梯运动方向到达时间电梯梯级（电梯可见部分）=人走的距离-电梯走的距离（逆水行舟）=（人速-电梯速度）逆电梯运动方向到达时间例1：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒到达，女孩用了50秒钟到达。则当该扶

10、梯静止时，可看到的扶梯梯级有（）级。A 80 B 100 C 120 D 140,4.环形运动问题：环形周长=（速度1+速度2）异向运动的两次相遇间隔时间环形周长=（速度1-速度2）同向运动的两次相遇间隔时间例1:老张和老王两个人在周长为400米的圆形操场上散步。老张每分钟走9米，老王每分钟走16米，现在两人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第二次相遇？A16 B 32 C 25 D 20例2：甲乙从一圆形场地的直径两端同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇，则这个圆形场地的周长（）米。A 480 B 300

11、C 360 D 420,5.火车相关问题：火车过桥的总路程=桥长+车长火车错车行驶路程=火车A车长+火车B车长人与车同向行走：火车从人身边开过所走路程=车长+人走的路程人与车反向行走：火车从人身边开过所走路程=车长-人走的路程例：铁路旁有一条小路，一列长140米的火车，以每分钟720米的速度从东向西缓缓驶去，8点10分遇到一个从东向西的工人，20秒钟后离开这个工人，8点15分迎面遇到一个从西向东行走的学生，10秒钟后离开这个学生，问工人与学生何时相遇？A 8点20分 B 8点25分 C 8点30分 D 8点15分,6.等距离平均速度模型：题目表述为某运动物体以不同的速度两次通过某一特定路程，涉

12、及两次运动的平均速度。解决方案：等距离平均速度=2v1v2/v1+v2例1：小王步行的速度是跑步速度的一半，跑步速度是骑车的一半，如果他骑车从A到B，再步行返回A城共需2小时，那么他跑步从A到B需多少（）分钟。A 45 B 48 C 56 D 60例2：一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/小时，回来时逆风，速度为1200千米/小时，这架飞机最多飞出（）千米就需往回飞？A 2000 B 3000 C 4000 D 4500例3：A、B两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60千米。邮递员骑车从A到B用了3.5小时，再沿原路返回，用了4.5小时。已知上坡时邮递员的车

13、速是12千米/小时，则下坡时邮递员的车速是（）千米/小时。A 10 B 12 C 14 D 20,7.沿途数车模型：题目表述为某人以一定速度出行，每隔一定时间迎面遇到一辆车，每隔一段时间从背后超过一辆车。解决方案：发车时间间隔=2 t1t2/t1+t2 车速/人速=t1+t2/t1-t2（t1、t2分别为两车与行人的时间间隔）例1：小李沿电车线路匀速行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来。如果电车按相同的间隔时间发车，不停的匀速运行，则电车发车的间隔时间是（）。A2 B 4 C 6 D 8例2：小明沿某公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停的运

14、行，每隔10分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔6分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，问公共汽车的速度是小明骑车速度的（）倍。A3 B 4 C 5 D 6,8.两次直线相遇模型题目表述为两车相对而行，相遇后继续前行，到达目的地后折返至二次相遇。解决方案：单边型S=3s1+s2/2 两边型S=3s1-s2例1：甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，当他们第一次相遇时甲离B地相距104米，然后两人继续向前走，到达目的地后都立即返回，当第二次相遇时，乙离B地相距40米。问A、B两地相距（）米。A124 B 144 C 168 D 176例2：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离河的甲乙两岸相向而行，一艘从

15、甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，她们在距离较近的甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船停留10分钟让乘客上下船，然后返航，这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问该河的宽度是（）米。A1120 B 1280 C 1520 D 1760,9.接送问题题目表述为一个队伍先坐车出发，同时剩下队伍开始步行，行驶一段距离后，车放下第一队，返回接第二队。最后两个队伍同时到达目的地，且有时最少。解决方案：总时间=一个队伍坐车时间+这个队伍步行时间 一个队伍步行时间=车同时出发后回来接它的时间例1：甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度都是4千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是48千米

16、/小时，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。两地相距150千米，为了使两班学生在最短内到达公园，那么甲班的步行距离是（）千米？A12 B 15 C 18 D 20例2：某团体从甲地到乙地，甲乙相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行的速度是8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要（）小时。A 5.5 B 5 C 4.5 D 4,第三节 比例问题,一、工程问题工程问题的核心公式：工作总量=工作效率工作时间在工作总量保持不变的情况下，工作效率与工作时间成反比在工程问题中，工作总量一般不需要具体值，

17、通常设为1或工作时间的最小公倍数。例1：一项工程，工作效率提高1/4，完成这项工程的时间将由原来的10小时缩短到几个小时？（）A.4 B.8 C.7.5 D.6例2：甲、乙、丙三个工程队的效率比为6:5:4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙对负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参加B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工（）天。A.6 B.7 C.8 D.9,例3：一篇文章，如果由甲、乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙、丙两人合作翻译，需要12小时完成，现在先由甲、丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独翻译，需要12小时

18、才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要（）小时完成。A.15 B.18 C.20 D.25例4：单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙 的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？（）A.13小时40分 B.13小时45分 C.13小时50分 D.B.14小时,二、浓度问题核心知识点：浓度=溶质溶液；溶液=溶质+溶剂浓度问题常用的解题技巧：列方程、赋值法、抓不变量典型问题：1.重复稀释问题题目表述为已有溶液若干，每次先倒出若干，再添加补满，重复操作多次；或先添水稀释，再倒出若干，重复操作多次。解决方案：（1）设已有溶液质量为M，每次倒出溶液

19、为M0，再添入清水M0补满，重复n次C=（M-M0/M）nC0（其中C为稀释后的浓度，C0为溶液原来的浓度）（2）设已有溶液质量为M，每次倒入清水M0，再倒出溶液M0，重复n次C=（M/M+M0）nC0（其中C为稀释后的浓度，C0为溶液原来的浓度）注意：在这类多次稀释问题中，加满水，通常忽略酒精与水之间的密度差，即在这种情况下，质量等于体积。,例1：从装满100克浓度为80%的盐水的杯中倒出40克盐水，再倒入清水将杯装满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度为（）。A.17.28%B.11.52%C.28.34%D.46%例2：杯子里全是水，倒出1/3装入纯酒精，又倒出1/4装入纯酒精，再倒出1/5

20、装入纯酒精，问现在酒精浓度是（）。A.40%B.50%C.60%D.70%,2.溶液混合问题题目表述为两种或三种溶液的混合过程，待求其中某量解决方案为直接套用公式或十字交叉法。设两溶液质量为M1、M2，浓度为C1、C2，混合后浓度为C，则有溶液混合公式：M1 C1+M2 C2=（M1+M2）C十字交叉法是浓度问题常用方法，其操作过程如下：M1 C1 C-C2 C M1/M2=（C-C2）/C1-C M2 C2 C1-C例1：现有浓度为10%的盐水200克，再加入多少克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？（）A.260 B.280 C.300 D.310,例2：两个杯中分别装有浓度4

21、0%与10%的食盐水，倒在一起后混合食盐水浓度为30%。若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%。那么原有40%的食盐水（）克。A.200 B.150 C.100 D.50例3：有甲、乙两种不同浓度的消毒溶液。若从甲中取2100克，乙中取700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为3%，若从甲中取900克，乙中取2700克，则混合而成的消毒溶液的浓度为5%。则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别是（）。A.3%、6%B.3%、4%C.2%、6%D.4%、6%,3.等量蒸发或等量稀释问题题目表述以浓度的变化来描述某个溶液的挥发过程或稀释过程，并且每次挥发或稀释的量都相等，多不涉及溶液的具体量，而仅涉及

22、浓度的变化。解题方案为赋值法。其要点是对变化过程中保持不变的量进行赋值。例1：一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%；再蒸发同样的水后，浓度为12%；第三次蒸发同样多的水后，浓度变为（）。A.14%B.15%C.16%D.17%例2：已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是（）。A.3%B.2.5%C.2%D.1.8%例3：有银铜合金10公斤，加入铜后，其中含银2份，含铜3份。如加入的铜增加1倍，那么银占3份，铜占7份。问初次加入的铜是（）公斤。A.3 B.4 C.5 D.6,三、钟表问题钟面基本知识

23、：1.时针一昼夜转2圈，分针一昼夜转24圈，分针与时针的转速之比为12:1。2.钟面上的1圈为12大格，每格=360012=300 时针每小时走1大格，即300，每分钟走30060=0.50 分针每小时走1圈，即3600，每分钟走360060=60 时针与分针的速度之差为60-0.50=5.50/分钟，速度之和为60+0.50=6.50/分钟3.无论是标准表还是坏表，都是匀速转动的，只是速度不同而已。,例1：一个快钟每小时比标准时间快3分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢2分钟。如果将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示11点整，慢钟显示9点半。则此时的标准时间是（）。A.10点35

24、分 B.10点30分 C.10点15分 D.10点06分例2：有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟，当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分时，实际时间是（）。A.17点50分 B.18点10分 C.20点04分 D.20点24分例3：从钟表的12点整开始，时针与分针的第1次垂直与再一次重叠中间间隔时间是（）。A.43分钟 B.45分钟 C.49分钟 D.61分钟,第四节 计数问题,一、容斥问题容斥问题主要用于有重叠部分的计数，其计数思想是先不考虑重叠的情况，将所有集合的所有对象数目计算出来，再逐步排除重叠的情况。两集合容斥原理公式：AB=A+B-AB

25、推论：满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数三集合容斥原理公式：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+AB C 解决方案：公式法、文氏图文氏图也称韦恩图（Venn Diagram），它是用封闭曲线（内部区域）表示集合及其关系的图形。,例1：X、Y、Z三个图形相互相交，共覆盖面积为290，其中X、Y、Z的面积分别为64、180、160。X与Y、Y与Z、Z与X的重叠面积分别为24、70、36，求X、Y、Z都覆盖的面积？（）A.12 B.16 C.18 D.20例2：某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人即会说英语又会说法语，

26、有2人即会说法语又会说西班牙语，有2人即会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。问只会说一种语言的人比一种语言都不会说的多（）人？A.1 B.2 C.3 D.5 注意：“6人会说英语”和“会说英语的只有6人”是两个完全不同的概念,二、排列组合排列组合是公务员考试的一个难点，形式多样，对思维的要求相对比较高。考生往往对题目中涉及的各种情况没有很好的把握，主要体现为：对判断用排列还是组合不熟练；对判断分类还是分步以及如何分类、分步不熟练。排列概念：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的

27、所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)或A（n,m）表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!=n（n-1）（n-m+1）连乘m个(规定0!=1).,组合概念：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m；c(n,m)=c(n,n-m).排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。根据上述定义可知：所谓排

28、列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；简言之，当对象与顺序有关时多用排列，与顺序无关时多用组合。,加法原理与乘法原理加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2m3mn种不同方法。乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nm1m2m3mn种不同的方法。,例1：要求厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑出3种来烹饪菜肴，烹饪方式共7种，最

29、多可做成多少道不一样的菜肴？（）A.131204 B.132132 C.130468 D.133456例2：某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每个同学有多少种订报方式?（）A.7 B.12 C.15 D.21例3：班上从7名男生和5名女生中选出3男2女去参加5个竞赛，每个竞赛参加一人，问有多少种选法？（）A.120 B.600 C.1440 D.4200例4；某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（）A.12 B.10 C.9 D.7,例5：一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节约用电，决定每边

30、关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。问总共有多少种方案？（）A.120 B.320 C.400 D.420小结：解题的基本策略：1.合理分类（当题干描述的情况相对复杂，又不能很快找到突破口时，应深入分析，针对不同的情况，进行合理分类，将复杂过程转化为简单的情况进行计算。）2.准确分步（当题干描述的情况不能一步计算时，应针对题干所给问题，进行准确分步，将问题分解为多个步骤来进行计算。）3.先组合后排列（当排列和组合问题相混合时，应该先通过组合问题将需要排列的元素选择出来，然后再进行排列。）,三、抽屉问题能利用抽屉原理来解决的问题称为抽屉问题，在公

31、务员考试中题型相对比较固定。题目多表述为“黑色布袋中有（具体物品的种类或个数），至少要取出多少个，才可以保证（要满足的目标）”。抽屉原理又称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确提出并用以证明数论中的一些问题，因此，也称为狄利克雷原理。抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2。（至少有2件物品在同一个抽屉）抽屉原理2：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于m+1。（至少有m+1件物品在同一个抽屉）主要解题方法：直接利用抽屉原理、反向构造（即假设所有物品在自己手中，然后逐一发出，在发出过程中尽可能不要满足题目的

32、目标，那么在尽量不满足题目要求情况下发出的最多数目就是题目的答案，）,例1：把154本书分给某班的同学，如果不管怎样分，都至少有一位同学会分得4本或4本以上的书，那么这个班最多有多少名学生？（）A.51 B.54 C.50 D.52例2：（广西2009-13）从一副完整的扑克牌中至少抽出多少张牌，才能保证至少有5张牌的花色相同？（）A.17 B.18 C.19 D.20例3：（北京应届2007-15）在一个口袋里有10 个黑球，6 个白球，4个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？（）A.14 B.15 C.17 D.18,四、概率问题概率，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性

33、的度量。概率问题是公务员考试最近几年开始考查的问题，通常为直接求解某个事件的概率，常见的概率模型有以下三种：普通概率：将所有情况分成n个可能的情形，事件A包括了其中的m个情形，那么称事件A发生的概率为P（A）=m/n；事件A没发生的概率则为1-P（A）条件概率：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率表述为P（AB），读作“在B条件下A发生的概率”。P（AB）=P（AB）/P（B），其中P（AB）为AB同时发生的概率，P（B）为B发生的概率。,多次试验概率：如果在一次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率P（k）=C（n，k）pk（1-p）（n-k）（分步

34、概率问题）由上述定义可知：单独概率=满足条件的情况数总得情况数某条件成立的概率=1-该条件不成立的概率总体概率=满足条件的各种情况概率之和=满足条件的每个步骤概率之积,例1：将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少？（）（利用两个公式使用两种方法）A.1/3 B.1/4 C.1/2 D.2/3例2：小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小时呢任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一半是牛奶味的。问小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的可能性是（）？A.1/3 B.1/4 C.1/5 D.1/6例3：某射击运动员每次射击命中10环的概率是80%，5次

35、射击有4次命中10环的概率是（）？A.80%B.63.22%C.40.96%D 32.81%例4：盒中有4个白球6个红球，无放回地每次抽取1个，则第二次取到白球的概率是（）？A.2/15 B.4/15 C.2/5 D.3/5,五、过河问题题目表述为一条船上只能运送M个人，现在有N个人等待过河，求相关的过河安排信息。解决方案：对常规过河次数问题，直接套用过河公式；对于较复杂的过河次数问题，逐步分析即可。过河公式：每次过河都需要有一个人将船划回来，而最后一次过河则不需要划回来。因此，N个人过河，船最多载M人时，过河次数=（N-1）/（M-1）,例1:49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮

36、船，过一次河需3分钟。全体队员渡到河对岸需要（）分钟？（有50个人呢）A.54 B.48 C.45 D.39例2:32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整可是渡河，9时17分时，至少有（）人还在等待渡河。A.15 B.17 C.19 D.22,六、空瓶换水问题题目表述为一定数量的空瓶子可以换到一瓶水，已有部分空瓶，求可换取水的瓶数。解决方案：运用等价公式。如M个空瓶可以换一瓶水，则相当于M-1个空瓶就可以喝到1瓶水，即M-1个空瓶=1瓶水。如：5空瓶可以换到1瓶水 5空瓶=1水+1空瓶 4空瓶=1水例1:某商店规定每4个空啤酒瓶可

37、以换1瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他家前后最多能喝（）瓶啤酒？A.30 B.31 C.32 D.33例2：金星啤酒开展“7个空瓶换1瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活动促销期间共喝掉347瓶金星啤酒，问张先生最少用钱买了（）瓶啤酒？A.296 B.298 C.300 D.302,七、剪绳计数问题题目表述为将一根绳子折成几折，然后在上面剪几刀，求段数。解决方案为将切口作为分析突破口。绳子的段数总是比切口数多1。一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成（2nM+1）段。例1：一根绳子连续对折3次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问原来的绳子被剪成了（）段？A.18 B.49 C.

38、42 D.52例2：李先生去10层楼的8层办事，恰赶上电梯停电，他只能步行爬楼。他从第1层爬到第4层用了48秒，以此速度，他爬到第8层需要（）秒？A.112 B.96 C.64 D.48,第五节 典型杂类问题,一、年龄问题年龄问题是指研究两人或多人之间的年龄变化和关系的问题。年龄问题的核心知识点为（）任何两个人的年龄差不变；（）任何两个人年龄之间的倍数关系是变化的，且随着时间推移而变小；（）每过一年，所有人都长一岁。例：今年祖父的年龄是小明年龄的倍且不超过岁，几年后，祖父年龄是小明的倍，又过了几年，祖父的年龄是小明年龄的倍。问祖父今年（）岁。（考查年龄差）A.0 B.C.D.例：父亲今年岁，儿

39、子今年岁，当父亲的年龄是儿子的年龄的倍时，父子的年龄和是（）。A.B.C.D.,二、利润问题利润问题需要掌握如下知识点：售价成本利润；利润售价成本利润率利润成本（售价成本）成本售价成本成本售价（利润率）解决方案为方程法、赋值法。例：甲乙有数量相同的萝卜，甲打算卖元个，乙打算卖元个，如甲乙二人一起按元个卖全部的萝卜，总收入会比预想的少元，问两人共有多少萝卜（）？A.B.C.D.例：已知甲乙两种产品原标价之和为元，因市场变化，甲产品折促销，乙产品提价，调价后，甲乙两种产品的标价之和比原标价之和提高了，则乙产品的原标价是（）元？A.B.C.D.,三、牛吃草问题牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，

40、是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出的。示例：一片草地长满青草，27头牛6天可以吃完，或者23头牛9天可以吃完。若有21头牛，要几天可以吃完？解析：设1头牛1天吃草量为1，那么总草量276=162；239=207，两者并不相等，这是由草地一直在长草造成的。由上述关系可知，每天新长的草量=（207-162）3=15那么，原有的草量=162-156=207-159=72设21头牛X天吃完，那么211x=72+15x x=12（天）,由上述求解过程可知，解牛吃草问题的依据：（1）每天的长草量一定；（2）每头牛每天的吃草量不变；（3）吃草的总量=草场原有的草量+新长的草量（4）新长的草量=每天生长量天数

41、牛吃草问题核心公式：原有的草量=（牛数-每天新长草量）天数实际上，牛吃草问题可看成牛追草的追及问题。草地原有的草相当于牛和草的距离，如果牛吃草的速度大于草生长的速度，牛和草的距离不断缩小，直到牛追上草（牛把草吃完）；如果牛吃草的速度等于草生长的速度，则牛和草距离保持不变，即草永远吃不完。,例1：一片牧场南面有一块2000平方米的草地上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片草地可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在牧场的西侧有一块6000平方米的草地，长满牧草，且长草速度与南面的草地相同。问其可供多少头牛吃6天？A.72 B.80 C.92 D.99例2：有一片草场，草每天的生长速度相同。

42、若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完，且已知4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量。那么，17头牛和20只羊（）天可将草吃完？A.10 B.12 C.15 D.20例3：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不增长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供（）头牛吃10天？A.4 B.5 C.6 D.8,四、盈亏问题把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。典型的盈亏问题一般以下列的形式表述：把若干个苹果

43、(未知数)分给若干个人(未知数)，如果每人分2个还多20个，如果每人分3个则少5个。问总共有多少人？有多少个苹果？解析：题目中的不变量是人数和苹果数，比较两种不同的分配方法，可知苹果相差：20+5=25(个)；相差25个苹果，亳无疑问是由于每人相差苹果3-2=1(个)而做成的，事实上，只有唯一一种情况才会导至上述情形，那就是有25（3-2）人分苹果！求得人数后，进而可以根据题意，用两种方法求得苹果的数目：225+20=70(个)或3255=70(个)。,解盈亏问题的公式：【一盈一亏的解法】：(盈数+亏数)两次每人分配数的差=对象数【双盈的解法】：(大盈-小盈)两次每人分配数的差=对象数【双亏的

44、解法】：(大亏-小亏)两次每人分配数的差=对象数例1：妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？（）A.128 B.140 C.148 D.160例2：学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明由家到学校的路程是多少？（）A.600 B.500 C.400 D.480,第六节 数字推理,一、基础数列基础数列主要包括常数数列、等差数列、等比数列、质数相关数列、幂次数列周期数列和简单递推数列等常见类型。（1）常数数列：由一个固定的

45、常数构成的数列称为常数数列。例如3、3、3、3、3、3（2）等差数列：后项减去前项的差值保持不变的数列称为等差数列。例如3、7、11、15、19 等差数列是数字推理中非常重要的基础数列，是大量数列的次生数列，对等差数列需特别注意两点：公差较大，多为两位数；首项可能为负数。这两点都会对考生的思考形成干扰。（数字推理中考到的数列为原数列，对原数列进行处理得到的数列为次生数列）（3）等比数列：后项除以前项的比值保持不变的数列称为等比数列。例如:2、4、8、16等比数列需注意公比为简单的分数和负数的情况,（4）质数相关数列：由质数构成的数列称为质数数列，即2、3、5、7 由合数构成的数列称为合数数列，

46、即4、6、8、9 质数数列与合数数列通常都是连续考查，不会跳过其中的某些数。注意1既不是质数，也不是合数。（5）幂次数列作为基础数列的幂次数列主要包括平方数列和立方数列平方数列：1、4、9、16、25 立方数列：1、8、27、64、125（6）周期数列自某一项开始重复出现于前面相同（相似）的数字的数列称为周期数列。例如：2、3、5、2、3、5（7）简单递推数列每一项等于其前几项的和、差、积或者商的数列称为简单递推数列。,例1:243、199、155、111（）A.66 B.67 C.68 D.77例2:32、48、72、108、162（）A.243 B.251 C.258 D.262例3:31

47、、29、23、（）、17、13、11 A.21 B.20 C.19 D.18例4:4、6、10、14、22（）A.30 B.28 C.26 D.24例5：-3、3、0（）、3、6 A.3 B.4 C.5 D.6,二、多级数列多级数列是指数列相邻两项进行加减乘除四则运算后得到的次生数列为基础数列的数列。按照四则运算的不同，可以分为做差多级数列、做商多级数列、做和多级数列、做积多级数列等四种数列。例1:9、17、13、15、14、（）例2:2、14、84、420、1680、（）A.2400 B.3360 C.4210 D.5040例3：67、54、46、35、29（）A.13 B.15 C.18

48、D.20例4：2/3、3/2、4/3、3、8/3（）A.8/5 B.16/3 C.6 D.8例5:1、6、20、56、144、（）A.384 B.352 C.312 D.256,三、分数数列分数数列是以各分数的分子、分母为研究对象的一类数列，可以数列本身存在一定的规律，也可以在划分分子列、分母列后分别有规律。例1:1、2/3、5/8、13/21、（）A.21/33 B.35/64 C.41/70 D.34/55例2:0、7/3、22/5、45/7、76/9、（）A.12 B.13 C.103/11 D.115/11例3:6/28、21/98、18/84、9/42、（）A.12/56 B.12/

49、44 C.25/60 D.25/78例4:1、3/8、1/5、1/8、3/35、（）A.1/12 B.1/16 C.1/18 D.1/24例5:1/2、1/2、1/2、7/16、11/32、（）A.15/64 B.1/4 C.13/48 D.1/3,小结分数数列考点较多，按照考虑的先后顺序，可以将主要考点分为三类。（1）准备工作：整化分、约分；（2）判断依据：观察特征、分组看待；（3）变形技巧：通分、反约分。即针对分数数列，一般的考虑流程为：如果有整数先化分，如果有非最简的分数先约分；完成准备工作后，观察数列中后面的分数是否可以通过前面的分数经过一定的演化规律得到，也即观察数列是否具有某种特征

50、，若无特征则分数数列的未知项往往是分组看待得到，也即根据分子列、分母列的规律分别得到未知项的分子、分母；在进行分组看待之前，往往需要对原数列中的某些项进行适当的变形才可以确定规律，此即涉及通分、反约分等技巧。一般而言，若题目考查通分，则其中的分母列或分子列通分后的最小公倍数通常较小，否则多少考查反约分。,四、幂次数幂次变换法则普通幂次数：平方表、立方表、多次方表需要烂熟于心；普通数变换：a=a1，如551，771；负幂次变换：1/a=a-1，如1/5=5-1负底数变换：a2N=(-a)2N，如49=(-7)2；-a 2N+1=（-a）2N+1，如-8=(-2)3；非唯一变换：当一个数字有多种常