数电第二章逻辑代数基础.ppt
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1、第二章 逻辑代数基础,内容提要,本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定理,然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数,为后续课程打下基础。,本章的内容,2.1 概述2.2 逻辑代数中的三种基本运算2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.4 逻辑代数的基本定理2.5 逻辑函数及其表示方法2.6 逻辑函数的化简方法2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2.1 概述,在数字电路中,1位二进制数码“0”和“1”不仅可以表示数量的大小,也可以表示事物的两种不同的逻辑状态,如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的起动和停止、电灯的亮和灭
2、等。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系,称为二值逻辑。,当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑,并按某种因果关系进行运算时,称为逻辑运算,最基本的三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”,它与算术运算的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑运算中1+1=1(或运算),2.1.1 二值逻辑和逻辑运算,数字电路是一种开关电路,输入、输出量是高、低电平,可以用二值变量(取值只能为0,l)来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念,数字电路可以用逻辑函数的的数学工具来描述。,2.1.2 数字电路的特点及描述工具,逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的应用,它首先
3、是由英国数学家乔治.布尔(George Boole)提出的,用在逻辑运算上。后来用在数字电路中,就被称为开关代数或逻辑代数,它是逻辑函数的基础。,注意:,1.逻辑代数和普通数学代数的运算相似,如有交换律、结合律、分配律,而且逻辑代数中也用字母表示变量,叫逻辑变量。,2.逻辑代数和普通数学代数有本质区别,普通数学代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无理数,是进行十进制(09)数值运算。而逻辑代数中变量的取值只有两个:“0”和“1”。并且“0”和“1”没有数值意义,它只是表示事物的两种逻辑状态。,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,在二值逻辑函数中,最基本的逻辑运算有与(AND)、或(OR)、
4、非(NOT)三种逻辑运算。,2.2.1 与运算,与运算也叫逻辑乘或逻辑与,即当所有的条件都满足时,事件才会发生,即“缺一不可。,如图所示电路,两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例,只有开关A、B同时闭合时灯才会亮。,设开关闭合用“1”表示,断开用“0”表示;灯亮用“1”表示,灯灭用“0”表示(逻辑赋值),则可得到表所示的输入输出的逻辑关系,称为真值表,从表中可知,其逻辑规律服从“有0出0,全1才出1”,这种与逻辑可以写成下面的表达式:,称为与逻辑式,这种运算称为与运算,也可以用图表示与逻辑,称为逻辑门或逻辑符号,实现与逻辑运算的门电路称为与门。,2.2.2 或运算,或运算也叫逻辑加或逻辑或,
5、即当其中一个条件满足时,事件就会发生,即“有一即可,若有n个逻辑变量做与运算,其逻辑式可表示为,如图所示电路,两个并联的开关控制一盏灯就是或逻辑事例,只要开关A、B有一个闭合时灯就会亮。,用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表所示,其逻辑规律服从“有1出1,全0才出0”,其逻辑式为,上式说明:当逻辑变量A、B有一个为1时,逻辑函数输出Y就为1。只有A、B全为0,Y才为0。,其逻辑门符号如图所示,实现或逻辑运算的门电路称为或门。,若有n个逻辑变量做或运算,其逻辑式可表示为,3.非逻辑运算,条件具备时,事件不发生;条件不具备时,事件发生,这种因果关系叫做逻辑非,也称逻辑求反,如图所示电路,
6、一个开关控制一盏灯就是非逻辑事例,当开关A闭合时灯就会不亮。,非逻辑运算也叫逻辑非或非运算、反相运算,即输出变量是输入变量的相反状态。其逻辑式为,用与前面相同的逻辑赋值同样也可得到其真值表如表所示,注:上式也可写成,其逻辑门符号如图所示,实现非逻辑运算的门电路称为非门,以上为最基本的三种逻辑运算,除此之外,还有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算,4.与非(NAND)逻辑运算,与非运算是先与运算后非运算的组合。以二变量为例,布尔代数表达式为:,其真值表如表所示,其逻辑规律服从“有0出1,全1才出0”,实现与非运算用与非门电路来实现,如图所示,5.或非(NOR)运算,或非运算是先或运算后非运算
7、的组合。以二变量A、B为例,布尔代数表达式为:,或非逻辑规律服从有“1”出“0”全“0”出“1”,或非运算用或非门电路来实现,如图所示,其真值表如表所示,与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。以四变量为例,逻辑表达式为:,上式说明:当输入变量A、B同时为1或C、D同时为1时,输出Y才等于0。与或非运算是先或运算后非运算的组合。在工程应用中,与或非运算由与或非门电路来实现,其真值表见书P22表所示,逻辑符号如图所示,6.与或非运算,其门电路的逻辑符号如图所示,其布尔表达式(逻辑函数式)为,7.异或运算,符号“”表示异或运算,即两个输入逻辑变量取值不同时Y=1,即不同为“1”相同为“0”,异
8、或运算用异或门电路来实现,其真值表如表所示,异或运算的性质,1.交换律:,2.结合律:,3.分配律:,推论:当n个变量做异或运算时,若有偶数个变量取“1”时,则函数为“0”;若奇数个变量取1时,则函数为1.,4.,8.同或运算:,其布尔表达式为,符号“”表示同或运算,即两个输入变量值相同时Y=1,即相同为“1”不同为“0”。同或运算用同或门电路来实现,它等价于异或门输出加非门,,其真值表如表所示,其门电路的逻辑符号如图所示,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.3.1 基本公式,表为逻辑代数的基本公式,也叫布尔恒等式,表2.3.1 逻辑代数的基本公式,返回A,返回B,2.交换律、结合律、分
9、配律,a.交换律:AB=BA A+B=B+A,b.结合律:A(BC)=(AB)C A+(B C)=(AB)+C,c.分配律:A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C),1.关于变量与常数关系的定理,说明:由表中可以看出,链接A,a.互补律:,b.重叠律:A A=A A+A=A,c.非非律:,d.吸收律:A+A B=A A(A+B)=A,e.摩根定律:,注:以上定律均可由真值表验证,3.逻辑函数独有的基本定理,链接B,2.3.2 若干常用公式,表为常用的一些公式,表2.3.2 常用公式,说明:,1.AABA:在两个乘积项相加时,如果其中一项包含另一项,则这一项是多余的,可以删掉;,
10、2.AABAB:在两个乘积项相加时,如果其中一项含有另一项的取反因子,则此取反因子多余的,可从该项中删除;,3.ABA B A:在两个乘积项相加时,如果它们其中的一个因子相同,而另一个因子取反,则两项合并,保留相同因子;,4.A(AB)A:在当一项和包含这一项的和项相乘时,其和项可以消掉,5.ABA CBC ABA C:在三个乘积项相加时,如果前两项中的一个因子互为反,那么剩余的因子组成的另一项则是多余的,可以删掉;公式ABA CBCD ABA C 的原理和上述相同,6.A(A B)A B:如果某项和包含这一项的乘积项取反相乘时,则这一项可以删掉;,7.A(A B)A:当某个项取反和包含这一项
11、的乘积项取反相乘时,则只保留这个取反项,以上的公式比较常用,应该能熟用,为以后逻辑函数的化简打好基础,2.4 逻辑代数的基本定理,2.4.1 代入定理,内容:任何一个含有变量A 的等式,如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数G来替换,则等式仍然成立。,利用代入定理可以证明一些公式,也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式,证明:方程的左边有A的地方代入G得:,B(A十D)十C B(A十D)十BCBA十BD十BC,方程的右边有A的地方代入G得:,B(A十D)十BCBA十BD十BC,故 B(A十D)十C B(A十D)十BC,例2.4.1 若B(A十C)BA十BC,现将所有出现A的地方都
12、代入函数GA十D,则证明等式仍成立,证明:设GBC,代入公式左右的B中,同理设GBC代入式子左右的B,例2.4.2 试用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况,可得,故:,可得,内容:若已知逻辑函数Y的逻辑式,则只要将Y式中所有的“.”换为“+”,“+”换为“.”,常量“0”换成“1”,“1”换成“0”,所有原变量(不带非号)变成反变量,所有反变量换成原变量,得到的新函数即为原函数Y的反函数(补函数)Y。利用摩根定律,可以求一个逻辑函数 的反函数。,2.反演定理,注意:1.变换中必须保持先与后或 的顺序;2.对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保留不变;,解:由摩根定理,或直接求反,例2.4.3
13、 已知YA(BC)C D,求Y,解:由反演定理,例2.4.4 若 Y(A B)CD+C,求反函数,或直接求反得,3.对偶规则,对偶式:设Y是一个逻辑函数,如果将Y中所有的“+”换成与“”,“.”换成与“+”,“1”换成与“0”,“0”换成与“1”,而变量保持不变,则所得的新的逻辑式 YD 称为Y的对偶式。,如:,对偶规则:如果两个函数Y和G相等,则其对偶式YD和GD也必然相等,Vice versa。利用对偶式可以证明一些常用公式,例1.1.5 试利用对偶规则证明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立,证明:设Y ABC,G(A+B)(A+C),则它们的对偶式为,由于,故YG,即ABC=(
14、A+B)(A+C),证明:设,则它们的对偶式为,由于,故YG,即,例1.1.6 试利用对偶规则证明吸收律AABAB 式子成立,2.5 逻辑函数的定义:,其中:A1,A2 An称为n个输入逻辑变量,取值只能是“0”或是“1”,Y为输出逻辑变量,取值只能是“0”或 是“1”,则F称为n变量的逻辑函数,在数字电路中,输入为二值逻辑变量,输出也是二值变量,则表示输入输出的逻辑函数关系,即,如 YAB C,表示输出等于变量B取反和变量C的与,再和变量A相或。,2.5.1 逻辑函数,一、逻辑真值表,逻辑函数的几种表示方法,逻辑函数的表示方法很多,比较常用的如下:,逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的
15、运算关系,其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能取值得组合,输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻辑变量值。,如表表示的异或逻辑关系的函数,即,YA B AB,二、逻辑函数式,按一定逻辑规律写成的函数形式,也是逻辑代数式。与普通函数数不同的是,逻辑函数式中的输入输出变量都是二值的逻辑变量。,如异或关系的逻辑函数可写成,YA B AB,三、逻辑图法,采用规定的图形符号,来构成逻辑函数运算关系的网络图形,图表示的是异或关系的逻辑图,四 波形图法:,一种表示输入输出变量动态变化的图形,反映了函数值随时间变化的规律,也称时序图。,如图表示异或逻辑关系的波形。,除上面介绍的四种逻辑函数表示方法外,还有卡诺
16、图法、点阵图法及硬件描述语言等。在后面的课程中将重点介绍卡诺图法。,五、各种表示方法间的相互转换,在设计数字电路时,有时需要进行各种表示逻辑函数方法的转换。,1.真值表与逻辑函数式的相互转换,通过下面的例子得出由真值表写出逻辑函数的方法,例2.5.1 某逻辑函数的真值表如表所示,写出逻辑函数式,(1)由真值表写逻辑函数式,解:逻辑式为,总结:,找出真值表中使逻辑函数为“1”的输入变量的组合;,对应每个输出为“1”变量组合关系为与的关系,即乘积项,其中如图输入变量取值为“1”的写成原变量,输入变量取值为“0”的写成反变量,如A B C,将这些乘积项相加,即得到输出的逻辑式,例2.5.2 已知真值
17、表如表所示,试写出输出的逻辑函数,解:其输出的逻辑函数为,(2)由逻辑函数式写出真值表,将输入变量所有取值组合,代入逻辑函数式,得出输出的值,并以表的形式表示出来。,例2.5.3 写出逻辑函数YAB C 的真值表,解:其真值表如表所示,2.逻辑函数式与逻辑图的相互转换,(1)由逻辑函数式画出逻辑图,用逻辑符号代替逻辑函数中的逻辑关系,即可得到所求的逻辑图,例2.5.4 画出逻辑函数Y(AB+C)(AC)B 的逻辑电路,解:其实现电路如图所示,(2)由逻辑图写出逻辑函数式,已知逻辑图,根据逻辑门的输入输出关系,写出整个逻辑图的输入输出关系,得出输出的逻辑函数式,例2.5.5 已知逻辑电路如图,试
18、写出输出端的逻辑函数式,并写出真值表,解:输出的逻辑式为,由逻辑式写出真值表,如表所示,例2.5.6 设计一个逻辑电路,当三个输入A、B、C至少有两个为低电平时,该电路输出为高,试写出该要求的真值表和逻辑表达式,画出实现的逻辑图,解:由逻辑要求写出真值表,如表所示,由真值表写出逻辑式为,其实现的逻辑图如图所示,3.波形图与真值表的相互转换,(1)由波形图得到真值表,根据所给的波形,列出各输入变量组合所对应的输出值,例2.5.7 已知逻辑函数Y的输出波形如图所示,试分析其逻辑功能。,解:由所给的波形写出输入输出的真值表,如表所示,由真值表可知,当输入变量A、B取值相同时,输出Y1;A、B取值不同
19、时,输出Y0。故输出和输入是同或关系。其逻辑函数式为,例2.5.8 已知图2.5.7所示是某个数字逻辑电路的输入输出波形,试画出该组合逻辑电路图,并判断其逻辑功能,解:由波形得出真值表如表所示,由真值表写出输出的逻辑式,由真值表可知,当输出有奇数个“1”时,输入为“1”。故此电路为“判奇电路”,其逻辑图如图所示,(2)由真值表画出波形图,按照真值表的输入取值,画出输入输出的波形。,例2.5.9 已知逻辑函数的真值表如表所示,试画出输入输出波形和输出端的逻辑函数式。,解:由真值表画出输入输出波形如图所示,输出端的逻辑式为,2.5.3 逻辑函数的两种标准型,一种输入输出的逻辑关系可以有多种等效的表
20、达式表示,但可以化为标准形式。其标准型有两种:标准与或式和标准或与式,1.最小项,a.定义:在n变量的逻辑函数中,设有n个变量A1 An,而 m 是由所有这n个变量组成的乘积项(与项)。若m中包含的每一个变量都以A i 或A i 的形式出现一次且仅一次,则称m 是n变量的最小项。,注:n个变量构成的最小项有2n个,通常用 mi 表示第i 个最小项,变量按A1 An排列,以原变量出现时对应的值为“1”,以反变量出现时对应的值取“0”,按二进制排列时,其十进制数即为i。,一、最小项和最大项,表、表、表分别为二变量、三变量和四变量的最小项,b.最小项的性质,对于任一个最小项,仅有一组变量取值使它的值
21、为“1”,而其它取值均使它为“0”。或者说在输入变量的任何取值必有一个最小项也仅有一个最小项的值为“1”。,n变量组成的全体最小项之逻辑和为“1”。即,2.最大项,a.定义:在n变量的逻辑函数中,设有n 个变量A1 An,而M是由所有这n个变量组成的和项(或项)。若M中包含的每一个变量都以Ai或A i 的形式出现一次且仅一次,则M是n变量的最大项。,注:n个变量构成的最大项也有2n个,通常用Mi表示第i个最大项,变量按A1 An排列,以原变量出现时对应的值为“0”,以反变量出现时对应的值取“1”,按二进制排列时,其十进制数即为i。,表、表分别为二变量、三变量的最大项,四变量最大项课下自己写出,
22、b.最大项的性质,对于任一个最大项,仅有一组变量取值使它的值为“0”,而其它取值均使它为“1”。或者说在输入变量的任何取值必有一个最大项也仅有一个最大项的值为“0”。,n变量组成的全体最大项之逻辑积为“0”。即,二、逻辑函数的标准与或式型最小项之和标准型,如,与或型特点:1.式子为乘积和的形式;2.不一定包含所有的最小项,但每一 项必须为最小项,标准与或式的写法:,在n变量的逻辑函数中,若某一乘积项由于缺少一个变量不是最小项,则在这项中添加此变量与这个变量的反变量之和这一项,使之称为最小项,即利用公式AA1,例2.5.10 将逻辑函数YAB C写成标准与或式,解:,注意:变量的排列顺序。,三、
23、逻辑函数的标准或与式型最大项之积标准型,如,与或型特点:1.式子为和积的形式;2.逻辑函数不一定包含所有的最大 项,但每一项必须为最大项,标准或与式的写法:,在n变量的逻辑函数中,若某一和项由于缺少一个变量不是最大项,则在这项中加上此变量与这个变量的反变量之积这一项,即利用公式AA0,然后利用公式ABC(AB)(AC)使之称为最大项,例2.5.11 将逻辑函数YAC B C写成或与式,解:,四、最小项与最大项的关系,设有三变量A、B、C的最小项,如m5 ABC,对其求反得,由此可知对于n 变量中任意一对最小项 mi 和最大项Mi,都是互补的,即,五、标准与或式和或与式之间的关系,若某函数写成最
24、小项之和的形式为,则此函数的反函数必为,如表中,上式或写成,利用反演定理可得,六、逻辑函数的两种标准形式:,有时需要把任意逻辑函数变换为两种标准形式:与或式(最小项之和)和或与式(最大项之积)。实现这种变换方法很多,可以利用添项、真值表、卡诺图等实现,这里介绍利用添项和真值表将逻辑函数变换成标准型。,1.利用真值表,首先写出逻辑函数的真值表,由真值表写出最小项和最大项。,标准与或式写法:由真值表确定逻辑函数为“1”的项作为函数的最小项(乘积项)。若输入变量取“1”,则写成原变量;若输入变量取值为“0”,则写成反变量。不同的输出“1”为和的关系。,标准或与式写法:由真值表确定逻辑函数为“0”的项
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