数理方程与特殊函数(钟尔杰)数理方程复习.ppt

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1、 数理方程复习,偏微分方程的数学模型二阶偏微分方程分类化简及求通解分离变量法和固有值问题达朗贝尔公式及其应用付里叶变换定义及性质几种特殊区域的格林函数贝塞尔方程和贝塞尔函数,Ex1.长为L,密度为 的底半径为R 的均匀圆锥杆(轴线水平)作纵振动,锥的顶点固定在x=0处。导出此杆的振动方程,解:在 x 处,半径 r(x)=Rx/L,取dx 微元,ux 为相对伸长率,Y 是杨氏模量,由牛顿第二定律,得,1.若 a122 a11a22 0,称微分方程为双曲型的,3.若 a122 a11a22 0,称微分方程为椭圆型的,2.若 a122 a11a22=0,称微分方程为抛物型的,称 a122 a11a2

2、2 为判别式,a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f,二阶偏微分方程分类,uxx+uyy=0,utt=a2uxx,ut=a2uxx,双曲型,抛物型,椭圆型,Ex2:x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0,Ex3.求方程通解:uxx+10uxy+9uyy=0,特征方程,y=9 x+C1 y=x+C2,uxx+10uxy+9uyy=0,原方程的通解 u(x,y)=f(9x y)+g(x y),标准方程:,Ex 5.求方程的通解,Ex 6.求方程 uxx(4x2)uyy=0 的通解,Ex 7.构造非奇异变换，化简微分方程,Ex 4.求方程通解:4uxx+8uxy+

3、3uyy=0,固有值问题I:,固有值问题II,固有值问题III,固有值问题IV,固有值问题V,通解:,Ex 8.求边值问题的固有值和固有函数,解：当 0 时，二阶常微分方程通解为,由边界条件，得B=0,所求固有值为,固有函数,(n=0,1,2,),过三点(0,0),(L/2,h),(L,0)的抛物线作初始位移,n1,Ex 9.,Ex10.用分离变量法求解,Ex11.求解方程,Ex12.求解方程,达朗贝尔公式,x at 0,x at 0,应用I:,Ex13.求解半无界弦定解问题,Ex 14.求解半无界弦定解问题,Ex 15.求解初值问题:,解:令,Ex 16.求解初值问题,解:取w(x,t)=xet,将 u=v+w代入方程及初始条件,得,由达朗贝尔公式，得,Ex 17.求解初值问题,u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),三维波动方程,记,球坐标变换,设函数 u 具有球对称性，即,球对称性导致球面波问题,令 v=r u,则有,所以,Ex 18.证明付里叶变换性质,所以,证 记 F f(x)=,导数性质:,时移性质:,证 由付里叶变换,引入变换 u=x+x0,所以,记 r0=|OM0|r1=|OM1|,Ex19.圆域内的格林函数,Ex20.上半平面 y 0 的格林函数,Ex21.证明,证:,Ex22 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程（不解贝塞尔方程）,由,