数理方程与特殊函数(钟尔杰)总复习pa.ppt

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1、5.1 Fourier变换5.2 Fourier变换的应用5.3 Laplace变换5.4 Laplace变换的应用5.5 其他的积分变换,第五章 积分变换,5.1 Fourier变换,一、Fourier变换的定义,定理1 若,且在一个周期内只有有限个第一类间断点与极值点，则其中,定义1 称为f(x)的Fourier变换，f(x)称为 的Fourier逆变换。,Fourier变换有多种形式。这些形式的差异主要体现在积分号前的系数以及被积函数中指数函数的指数符号。本书采用工程应用中典型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质也可以从物理上得到解释。,二、正（余）弦变换的定义,定义2 Four

2、ier余弦变换是指定义3 Fourier逆余弦变换是指,定义4 Fourier正弦变换是指定义5 Fourier逆正弦变换是指,三、Fourier变换的基本性质,性质1 Fourier变换是一个线性变换：对于任意常数、与任意函数、有,定义6 设 都满足Fourier变换的条件，则称为 的卷积。记为,性质2 的卷积的Fourier变换等于 的Fourier变换的乘积：,性质3 乘积的Fourier变换等于它们各自的Fourier变换的卷积再乘以系数，即,性质4,性质5,性质6 设为任意常数，则,性质7 设 为任意常数，则,性质8,性质9,性质10,性质11,性质12,四、n维Fourier变换,

3、n维Fourier变换具有的性质,五、Fourier变换在常微分方程中的应用,例3 求解,5.2 Fourier变换的应用,Fourier变换法求解步骤为：,（1）对定解问题作Fourier变换；（2）求解像函数；（3）对像函数作Fourier逆变换。,5.3 Laplace变换,一、Laplace变换的定义,定义1 积分变换 称为 的Laplace变换，记作 称为 Laplace逆变换，记作,二、Laplace变换的存在定理,定理1 若f(x)函数满足下述条件：（1）当x0时,f(x)=0；当 时，f(x)在任一有限区间上分段连续。（2）当 时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常

4、数M及，使得，则 在半平面上存在且解析。,三、常用函数的Laplace变换,1若（a为复数），则2若 或（），则,3若，则分别令，则即,四、Laplace变换的性质,1线性定理,若 为任意常数，则,2延迟定理,3位移定理,设a为复数，则有,4相似定理,5微分定理,设 分段连续，则,6积分定理,7像函数的微分定理,8像函数的积分定理,9卷积定理,10,五、展开定理,1Jordan引理,设L为平行于虚轴的固定直线,为一族以原点为中心并在L左边的圆弧，的半径随 而趋于无穷。若在 上，函数 满足，则对任一正数x，均有,2展开定理,设解析函数 满足条件：,（1）在开平面内只有极点为其奇点，且这些极点都分

5、布在半平面 上；（2）存在一族以原点为圆心，以（）为半径的圆周，在这族圆周上，；（3）对任意一个，积分 绝对收敛。则 的原像f(x)为,5.4 Laplace变换的应用,例1 用Laplace变换求解5.2节例4的定解问题,5.5 其他的积分变换,定义1 Hankel变换是指，为 Bessel函数。定义2 Hankel逆变换是指 定义3 Mellin变换是指定义4 Mellin逆变换是指,6.1 Poisson方程与Laplace方程的边值问题6.2 Green公式及调和函数的性质6.3 Dirichlet与Neumann问题解的适定性6.4 Poisson方程Dirichlet问题Green

6、函数法6.5 几种特殊区域上Dirichlet问题的Green函数6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解6.7 波动方程的基本解6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介,第六章 Green函数法,6.1 Poisson方程与Laplace方程的边值问题,Dirichlet问题（第一类边值问题）：在空间中某一区域V的边界S上给定了一个连续函数，要求找出一个函数 满足以下定解问题,称这两个定解问题分别为Laplace方程Dirichlet问题与Poisson方程Dirichlet问题。,Neumann问题（第二类边值问题）：在空间中某光滑的闭曲面S上给出连续函数，要求找出一个函数，在

7、V内满足,这里是S的外法线方向。则称这两个定解问题分别为Laplace方程Neumann问题与Poisson方程Neumann问题。,Robin问题（第三类边值问题）：若在V内满足,称这两个定解问题分别为Laplace方程Robin问题与Poisson方程Robin问题。,6.2 Green公式及调和函数的性质,一、Green公式,设V是以分片光滑的曲面S为边界的有界区域，在 上连续,在V内具有一阶连续的偏导数，则成立如下的Gauss公式,定理1 Poisson方程Robin问题,的解为,其中，侧向量为曲面外侧。,推论1 Laplace方程Robin问题,的解为,其中，侧向量为曲面外侧。,二、

8、调和函数性质,定义1 如果函数 在区域（S是区域V的边界）上连续，具有二阶的连续偏导数，且满足Laplace方程：,则 称为区域V上的调和函数。,性质1 设 是区域V上的调和函数，则有,其中，是n沿V的边界面S的外法线方向。,推论2 Laplace方程Neumann问题：,有解的必要条件为。,性质2 设是 区域上的调和函数，则有,其中，n是沿V的边界面S的外法线方向。,性质3 设 是区域V上的调和函数，则在球心的值等于它在球面上的算术平均值，即,其中，是以为 球心、R为半径的球面，且 完全落在V中。,性质4（极值原理）假设 在有界区域V内是调和函数，在闭区域 上连续，若 不为常数，则 的最大值

9、和最小值只能在边界面S上达到。,推论4 设在有界区域V内的调和函数，在闭区域 上为连续，如果还在V的边界面S上恒为零，则它在V内各点处的值都等于零。,推论5 设在有界区域V内的两个调和函数，在闭区域 上为连续，如果它们还在区域V的边界面S上取相等的值，则它们在V内所取的值也彼此相等。,6.3 Dirichlet与Neumann问题解的适定性,定义1 设定解问题由边界条件 得到的解为，由边界条件 得到的解为，如果在所讨论的区域中，对于任给的，总可以找到，使得当时，称解对边界条件是稳定的。,定理1 方程 的Dirichle问题的解是唯一的，对边界条件是稳定的。定理2 方程 的Neumann问题的解

10、，若不计任意常数的差别，也仍然是唯一的。定理3 方程 的Neumann问题的解对边界条件不稳定。,6.4 Poisson方程Dirichlet问题Green函数法,一、空间Dirichlet问题Green函数法,Green函数的性质主要有：,（1）Green函数在 有一个奇点，其中（2）Green函数是以下Poisson方程Dirichlet问题的解,（3）定解问题的Green函数 仅依赖于区域，与边界条件无关。只要求得了区域的Green函数，就可以解决一类Poisson方程Dirichlet问题。（4）对于一些特殊区域，如球与半空间、圆与半平面等，Green函数都可用简单的物理方法求得。（5

11、）Green函数有对称性：,定理1 Poisson方程Dirichlet问题,的解为,定理2 Laplace方程Dirichlet问题,的解为,二、平面中Dirichlet问题的Green函数法,定理3 平面Poisson方程Robin问题,的解为,定理4 平面Laplace方程Robin问题,的解为,式中n为曲线L的外法向量。,定理5 平面Poisson方程Dirichlet问题,的解为,定理6 平面Laplace方程Dirichlet问题,的解为,定义2 若 满足以下定解问题，则称之为平面区域上Poisson方程Dirichlet问题的Green函数：,其中，封闭曲线L为区域D的边界。,三

12、、Poisson方程初始边界问题的Green函数法,定义3 定解问题,的 解称为时边问题,的Green函数。,定理7 时边问题,的解为,6.5 几种特殊区域上Dirichlet问题的Green函数,一、球和半空间上的Green函数,定理1 Poisson方程Dirichlet问题,在球域上的解为,推论1 Laplace方程Dirichlet问题,在球域上的解为,定理2 Poisson方程Dirichlet问题,在半空间z0上的解为,推论2 Laplace方程Dirichlet问题,在半空间z0上的解为,二、圆和半平面上的Green函数,定理3 平面Poisson方程Dirichlet问题,的解

13、为,推论3 平面Laplace方程Dirichlet问题,的解为,定理4 上半平面Poisson方程Dirichlet问题,的解的表达式为,推论4 上半平面Laplace方程Dirichlet问题,的解的表达式为,三、第一象限上的Green函数,平面第一象限上的Green函数相当于求解定解问题,6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解,一、Lu=0型方程的基本解,定义1 方程 的解称为方程 的Green函数，又称为基本解。放置于坐标原点的电量为的点电荷的场的势函数满足Poisson方程：,定义2 方程 的解称为Poisson方程 的基本解。定理1 若U是一个基本解，u是相应齐次方程 的任

14、一解，则 仍是基本解，而且方程的全体基本解都可以表示成这种形式。定理2 若 是连续函数，满足方程，则卷积,二、Poisson方程的基本解,定理3 空间Poisson方程的特解为,其中，,三、热传导方程Cauchy问题的基本解,定理4 设 是连续函数，且存在，则定解问题,的解为,定理5,（1）一维热传导方程Cauchy问题的基本解为（2）二维热传导方程Cauchy问题的基本解为（3）三维热传导方程Cauchy问题的基本解为,四、热传导方程边值问题的基本解,定义3 定解问题,的解 称为,的基本解。,定理7 热传导方程边值问题,的解为,6.7 波动方程的基本解,一、波动方程Cauchy问题的基本解,

15、定义1 定解问题,的解 称为Cauchy问题,定理1 设 都是连续函数，都存在，则Cauchy问题,的解为,二、波动方程边值问题的基本解,定义2 定解问题,的解 称为边值问题,的基本解。,定理3 设 都是连续函数，则边值问题,的解为,6.8 Poisson方程边值问题近似求法简介,一、Ritz法,定义1 称为极值问题的EulerLagrange方程。,二、Ritz法Dirichlet定理,定理1（Dirichlet）Laplace方程第三边值问题的解，使泛函取得最小值；反之，使泛函取得最小值的函数，一定是Laplace方程第三边值问题的解。,7.1 Bessel方程及其幂级数解7.2 Bess

16、el函数的母函数及递推公式7.3 Bessel函数的正交性及其应用7.4 Bessel函数的其他类型,第七章 Bessel函数,7.1 Bessel方程及其幂级数解,一、Bessel方程的引出,例1 设有一个半径为的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律。例2 在圆柱内传播的电磁波问题。设沿方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初始速度为。求其传播规律（假设对极角对称）。,二、Bessel方程的求解,定义1 Neumann函数,称为第二类Bessel函数。,这个无穷级数所确定的函数，称

17、为阶第一类Bessel函数，记作,7.2 Bessel函数的母函数及递推公式,一、Bessel函数的母函数（生成函数）,定义1 函数 称为Bessel函数的母函数。,二、Bessel函数的积分表达式,三、Bessel函数的递推公式,第二类Bessel函数也具有与第一类Bessel函数相同的递推公式：,四、渐近公式、衰减振荡性和零点,Bessel函数的渐近公式,零点的近似公式,的无穷多个实零点是关于原点对称分布的，必有无穷多个正零点。,1 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在轴上关于原点是对称分布的。因而，必有无穷多个正的零点；2 的零点与 的零点是彼此相间分布的，即 的任意两个相邻零点之间

18、必存在一个且仅有一个 的零点；3以 表示 的正零点，则 当时无限地接近于，即 几乎是以2 为周期的周期函数。,7.3 Bessel函数的正交性及其应用,一、Bessel函数的正交性,定理1 Bessel函数系 具有正交性：,定义1 定积分 的平方根，称为Bessel函数的模值。,定理2 若 在区间0,R至多有有限个跳跃型间断点，则f(x)在区间（0,R）内在连续点处的Bessel展开级数收敛于该点的函数值，在间断点收敛于该点左右极限的平均值。,二、Bessel函数应用举例,例1 设 是方程的 所有正根，试将函数展开成Bessel函数 的级数。,例2 半径为b，高为h的均匀圆柱体，下底和侧面保持

19、为零度，上底温度分布为。求圆柱内的稳定温度分布。,7.4 Bessel函数的其他类型,一、第三类Bessel函数,第三类Bessel函数又名Hankel函数，它是由下列公式来定义的：,，,，,二、虚宗量的Bessel函数,关于第二类虚宗量Bessel函数 定义如下：,（1）当是非整数时（2）当为整数时,三、Kelvin函数（Thomson函数）,四、球Bessel函数,不论是对热传导方程或对波动方程分离变量，都会导出所谓的球Bessel方程,8.1 Legendre方程及其幂级数解8.2 Legendre多项式的母函数及递推公式8.3 Legendre多项式的展开及其应用8.4 连带Legen

20、dre多项式,第八章 Legendre多项式,8.1 Legendre方程及其幂级数解,一、Legendre方程的引出,在球坐标系中Laplace方程为,二、Legendre方程的求解,三、Legendre多项式,1Legendre多项式,其中,2Legendre多项式的微分表达式Rodrigues公式,定理1 满足Rodrigues公式,3Legendre多项式的积分表达式,定理2 满足积分表达式,8.2 Legendre多项式的母函数及递推公式,一、Legendre多项式的母函数,称为Legendre多项式的母函数。,二、Legendre多项式的递推公式,定理1 Legendre多项式满足

21、以下的递推公式：,8.3 Legendre多项式的展开及其应用,一、Legendre多项式的正交性,定理1 Legendre多项式序列 在区间-1,1上正交，即,二、Legendre多项式的归一性,定理2 Legendre多项式满足,三、展开定理的叙述,定理3 若在区间1,1至多有有限个跳跃型间断点，则f(x)在区间(1,1)内连续点处的Legendre多项式展开级数收敛于该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值。,8.4 连带Legendre多项式,一、连带Legendre多项式的定义,连带Legendre方程,二、连带Legendre多项式的正交性和归一性,三、Laplace方程

22、在球形区域上的Dirichlet问题,9.1 保角变换及其性质9.2 保角变换降维法9.3 Laplace方程的保角变换解法,第九章 保角变换法,9.1 保角变换及其性质,区域D内第一类保角变换有如下性质：,（1）在z平面上区域D内任意一个以点为中心的无穷小圆周，当只考虑 的线性部分时，对应于w平面上一个以 为中心的圆周，且其环绕的方向与原圆周相同。（2）变换具有保角性，在 连续映射之下，若则通过已知点 的任两条有向连续曲线间的夹角的大小及方向保持不变。（3）变换具有保形性。对于D内的第一类保角变换，若变换是单叶的，即对于，有，则称是保形变换。,9.1 保角变换及其性质,9.2 保角变换降维法

23、,1保角变换降维法,有半无限大平板y0，在边界y=0上，处保持温度。在 处温度保持为零度。求平板上温度分布。,2保角变换降维法一般定理,定理1 如果 是Laplace方程 的解，那么当 由一保角变换成一个 的函数，仍满足Laplace方程。,9.3 Laplace方程的保角变换解法,经常要求一个二元的实函数在已知的区域中调和并满足已知区域的边界条件，也就是求解Laplace方程的问题。把复杂的边界化为简单边界，不妨利用保角变换法。前面已经证明，一个Laplace方程的解经过保角变换后仍然是相应的Laplace方程的解。下面举例说明如何通过保角变换法来解Laplace方程。对于Laplace方程

24、，可用分离变量法或解的积分公式来解决。但如果边界的形状比较复杂，分离变量法和积分公式用起来都有困难，则常可用保角变换把某个（边界形状比较复杂）区域内的Laplace边值问题变换为某个新区域（边界形状比较简单，比如圆、上半平面或带形域等）的Laplace边值问题。,10.1 典型非线性方程10.2 行波解10.3 HopfCole变换10.4 逆散射方法10.5 Bcklund变换,第十章 非线性数学物理方程简介,10.1 典型非线性方程,定义1定义2,称为Burgers方程。,称为KdV方程。,定义3,称为KdVB方程。,定义4,称为KleinGordon方程。,定义5,称为非线性Schrdi

25、nger方程或NLS方程。,定义6,称为KuramotoSivashinsky（KS）方程。,定义7,偏微分方程的行波解是指具有形式的解。,10.2 行 波 解,一、Burgers方程的行波解,Burgers方程的行波解：,三、SineGordon方程的行波解,设SineGordon方程的行波解为,二、KdV方程的行波解,KdV方程的行波解为,四、NLS方程的行波解,NLS方程有一个非常简单的单频解,10.3 HopfCole变换,定理1 扩散方程 与Burgers方程的解之间满足,定理2 若 是线性方程 与的解，则,是KdV方程 的解。,定理3 若 是线性方程与 的解，则,是KdVB方程 的解。,10.4 逆散射方法,求解KdV方程的Cauchy问题的逆散射法可以归纳为：（1）一维Schrdinger方程在无穷维空间的特征值问题及相应系数；（2）确定t=0时散射信息，归纳得出任意时刻的散射信息，得到；（3）由，求得。,10.5 Bcklund变换,1不同方程之间的Bcklund变换,设 分别为非线性偏微分方程与线性偏微分方程，T,K是微分算子。若存在微分算子P,Q使下面方程组成立：,则称方程组为Bcklund变换（u,v可以互换）。,2自Bcklund变换,设 是同一个非线性方程的不同解。若存在微分算子P,Q使下面方程组成立：,则称方程组为自Bcklund变换。,