数理方程与特殊函数(钟尔杰)4方程求解叠加原理.ppt

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1、 数理方程4,方程化简求解方法可逆变换与特征方程方程求解典型例题线性方程的叠加原理,例1 求一维齐次双曲型方程通解,令,特征方程,Jacobi矩阵,通解 u(x,t)=f(x at)+g(x+at),二阶方程自变量的变换:a11uxx+2a12uxy+a22uyy+b1ux+b2uy+cu=f,其中,=0,=0,特征方程,一般,1.由 a11uxx+2a12uxy+a22uyy=0 构造二次方程,3.写出新方程及通解.,求解,得,2.构造线性变换,4.将变换表达式代入得原方程通解,例2 求方程的通解 uxx+2uxy 3uyy=0,=1 1(3)+11+(-3)3=8,通解:,解:由特征方程,

2、变换:,例3 求方程 uxx 4x2uyy=0 的通解,解:由特征方程,变换:,通解:,例4.讨论 x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0 的类型,并化为标准型,再求通解.,特征方程,判别式:a122 a11a22=(xy)2 x2y2=0 故,该微分方程为抛物型,构造变换:,x2uxx+2xyuxy+y2uyy=0,a11,a12,a22,标准型:,通解:,物理现象的叠加性：几种不同的因素同时出现时所产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效果的总和（叠加）。,在同一时刻同一高度,B球自由下落,A球向水平方向射出.实验结果是A,B两球同时落地,A球水平方向的运动不影响竖直方向的运动,抛射

3、体运动是两个方向运动的叠加,u(x1,x2,xn)满足二阶线性微分方程,记,引入二阶线性微分算子,显然:Lc1u1+c2u2=c1 Lu1+c2 Lu2,叠加原理1:设ui满足线性微分方程 Lui=fi(i=1,n)则有：,例5 求方程 uxx+2uxy 3uyy=x2 的一般解,解:易证 u1=x4/12 是方程 uxx+2uxy 3uyy=x2 的解,而 u2=f(y 3x)+g(y+x)是方程 uxx+2uxy 3uyy=0的一般解,故 u=u1+u2 是方程 uxx+2uxy 3uyy=x2 的一般解,习题2.4（P.36）1、2(1),(3),思考题,方程 a11uxx+2a12uxy+a22uyy=0 特征方程如何构造？如何用矩阵表示a11uxx+2a12uxy+a22uyy？二阶微分方程化简与二次型化简有何不同？简述线性变换的Jacobi矩阵在微分方程化简中的作用,