数模竞赛用到的知识点.ppt

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1、概率论与数理统计,概率论事件发生的可能性,数理统计用数据来分析对象满足的概率规律,一、必然现象与随机现象,1、必然现象,在一定条件下肯定会发生的现象,如水100C沸腾，苹果从树上掉落,2、偶然现象或随机现象,即使条件一定，结果也不可预测,如 掷一枚硬币，出现正面或反面？,买一张彩票，是否中奖？,是否会发生水灾？,第一章 随机事件与概率1 随机事件,要面对随机现象进行研究，还有一些要求。,二、随机试验与随机事件,随机试验是对随机现象进行试验或观察,1、相同的条件下可以重复进行,2、每次试验有多种可能的结果，而且在试验之前即可明确有几种可能。,3、每次试验不能预知哪一结果会发生。,当目的不同时，结

2、果也会有不同。,如天气：下雨或不下雨。,晴、多云、阴、小雨、大雨等。,随机试验的每个结果称为随机事件，简称事件。,一般用大写英文字母A、B、C等表示。,例如在0、1、2、9中任取一数。,A表示取到0，B表示取到5，,C表示取到奇数，D表示取到3的倍数。,它们都是随机事件。,不能分解为其它事件的事件称为基本事件。,如A,B,能分解为其它事件的事件称为复合事件。,如C,D,每次试验一定发生的事件称为必然事件。,如点数大于0,一般用表示必然事件。,每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。,如点数大于9,一般用表示不可能事件,它们是随机事件的特例。,为了研究的方便，可以用点集来表示事件，,也可以用文氏

3、图表示。,基本事件用只包含一个元素的单点集表示。,复合事件用包含若干个元素的集合表示。,例如掷一颗骰子，,A表示点数为4，即为单点集4,B表示点数为偶数，即为点集2,4,6,点数为正数，是必然事件，即为全集1,2,3,4,5,6,点数为负数，是不可能事件，即为空集,所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间。,每个基本事件对应的元素称为一个样本点。,三、事件间的关系及运算,1、事件的包含,若事件A发生必然导致事件B发生，即属于A的每个样本点也属于B,则称事件B包含事件A。,等价的说法是：B不发生，则A也不发生。,例如A=4,B=2,4,6,则A B,记作B A或A B,对任何事件A,有 A,

4、2、事件的相等,若A B且B A，称事件A与B相等。,即A与B中的样本点完全相同。,记作A=B,掷一颗骰子,A表示点数小于3，B表示点数为1或2,则A=B,3、事件的并（和）,两个事件A，B中至少有一个发生，即“A或B”，是一个事件，称为A与B的并（和）。,它是由A与B的所有样本点构成的集合。,记作A+B或AB,掷骰子之例中，若,A=1,2,3,B=1,3,5,则AB=1,2,3,5,集合的运算规律对事件也成立，如,AB=BA,(AB)C=A(BC),AB A,AB B,A=A,A=,n个事件A1,An中至少有一个发生，是一个事件。,称为事件A1,An的和。,记作A1+An或A1An,可列个事

5、件A1,A2,An,中至少有一个发生,称为事件A1,A2,An,的和,若A=1,2,3,B=1,3,5,C=1,3,4,则A+B+C=1,2,3,4,5,4、事件的交（积）,两个事件A与B同时发生，即“A且B”,是一个事件。,称为事件A与B的交（积）。,它是由A与B的公共样本点构成的集合。,记作AB或AB,如A=1,2,3,B=1,3,5,则AB=1,3,它也有运算律：,AB=BA(AB)C=A(BC),AB A AB B,A=A=A,也可定义多个事件的交。,交与并运算还满足分配律：,(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC),用不同的记号，可写为,(A+B)C=AC+BC,(

6、AB)+C=(A+C)(B+C),5、事件的差,事件A发生而事件B不发生，是一个事件，,称为事件A与B的差。,它由属于A但不属于B的所有样本点组成。,记作A-B,如：A=1,2,3,B=1,3,5,则A-B=2,B-A=5,6、互不相容事件（互斥事件）,若A与B不能同时发生，即AB=,称事件A与B互不相容或互斥。,互斥事件没有公共的样本点。,基本事件间是互不相容的。,如A=1,2,3,B=1,3,5,C=4,5,A与C是互不相容的。,A与B是相容的。,7、对立事件,事件“非A”,即A不发生，称为A的对立事件。,也称为A的逆事件。,它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成。,记作,如A=1,2,

7、3,=4,5,6,易见A=,A+=,=-A=A,8、完备事件组,若事件A1,An两两互不相容，,并且A1+An,称A1,An构成一个完备事件组。,A与构成一个完备事件组。,若1，2，3，4，5，6,则A1=1,2,3,A2=4,6,A3=5,是一个完备事件组。,例1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验，事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)用事件的运算表示下列事件：三次都取到合格品，三次中至少有一次取到合格品，三次中恰有两次取到合格品，三次中最多有一次取到合格品。,解：三次全部取到合格品：A1A2A3,三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3,三次中恰有两次取到合格品,三次中至多有

8、一次取得合格品,例2 设x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置，试说明下列各事件的关系：A=x|x20 B=x|x3 C=x|x9D=x|x-5 E=x|x9,解：A C D,B E,D与B,D与E互不相容,C与E为对应事件。,B与C，B与A，E与A相容,A与C,A与D,C与D,B与E也是相容的。,符号集合含义事件含义,全集样本空间，必然事件,空集不可能事件,集合的元素样本点,单点集基本事件,A 一个集合一个事件,A B A的元素在B中A发生导致B发生,A=B 集合A与B相等事件A与B相等,AB A与B的所有元素A与B至少有一个发生,AB A与B的共同元素A与B同时发生,A的补集A的对立事件,

9、A-B 在A中而不在B中的元素A发生而B不发生,AB=A与B无公共元素A与B互斥,2 概率,概率是事件发生可能性的数量指标。,即在多次重复后，某结果出现的比率。,概率应有如下特征：,(1)是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。,(2)符合一般常情，可能性大时，概率也大。,一般叙述可能性时用百分比。,以后为方便更多地用0到1之间的小数。,即0P(A)1,且P()=1P()=0,1、古典概型,要计算事件发生的可能性，对随机试验有一定要求。,(1)每次试验只有有限个可能的试验结果。,(2)每次试验中，各基本事件发生的可能性相同。,这种试验称为古典概型试验。,定义1 若试验结果一共有n个基本事件组成

10、，且这些事件的出现具有相同的可能性，且事件A由其中某m个基本事件组成，则事件A的概率为,例1 掷一枚硬币，出现正面的概率,解：设硬币是均匀的,只有正、反面两个基本事件。,若A表示出现正面。,解：为简便，每位数字有10种选择。,基本事件总数是106。,事件A表示找到张某，则A只有一个基本事件。,例2 随意拨一个六位电话号码，正好找到朋友张某的概率。,例3 袋中装有5个白球，3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。,解：组成试验的基本事件总数,事件A表示取到两个白球，基本事件数,故,另解：若认为取出的两个球有先后次序，,则基本事件总数为,注意，若认为是取出一个，放回去后再取一个。

11、,则基本事件总数是88，A的事件数为66,例4 福利彩票35选7中特等奖的概率。,解：不论是号码是自选还是机选，,基本事件总数为,A表示中特等奖，则A只含一个基本事件，,若B表示中一等奖(对6个号码),B的基本事件数为,2、统计概率,古典概率要求很严格，特别是基本事件等可能，,这一点很难做到。,如硬币真的是均匀的吗？,随机事件在一次试验中是否发生不确定，,但在大量重复试验中，它的发生却具有统计规律性。,在n次重复试验中，若事件A发生了m次，,则m/n称为事件A发生的频率。,不可能事件的频率一定为0。,必然事件的频率一定为1。,关于掷硬币，前人做过试验。,试验者掷的次数正面次数正面频率,Buff

12、on404020480.5069,Pearson24000120120.5005,Kerrich1000050670.5067,可见，掷的次数越多，频率越接近0.5,如上表说明硬币出现正面的概率为0.5。,概率是事件本身固有的，试验只是帮助我们了解它。,定义2 在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且n越大，摆动幅度越小。则称这常数P为事件A的概率，记为P(A)。,年份 新生儿总数 男婴儿数 女婴儿数 男婴频率 女婴儿概率,1977 3670 1883 1787 51.31 48.69,1978 4250 2177 2073 51.22 48.78,19

13、79 4055 2138 1917 52.73 47.27,1980 5844 2955 2889 50.56 49.44,1981 6344 3271 3073 51.56 48.44,1982 7231 3722 3509 51.47 48.53,6年总计 31394 16146 15248 51.48 48.52,可以认为生男孩的概率近似值为0.515,这种概率只能通过统计得出。,又如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：,3、几何概型,考虑一个点随机落在0,1区间。,1,若问事件A:点落在0.5处的概率。,显然 P(A)=0,但A不是不可能事件。,而问事件B：点落在0与0.3之间的概率

14、。,则 P(B)=0.3,这种与几何形状有关的概率称为几何概率。,4、关于概率的一些解释。,(1)硬币出现正面的概率为,(2)概率不会自动“平衡”,是指多次试验中正面出现的频率接近,而不是多次试验中正面出现的次数接近一半。,如总次数100正面55,总次数10000正面5050,硬币连在10个正面，下一次是什么？,打牌手风很顺，该继续还是停止？,连生几个女孩，想生男孩，该继续生吗？,(3)对概率的错误估计,a、你认为自己买彩票会中奖吗？,b、你害怕SARS吗？,对可怕后果的担忧使人过高估计概率。,c、一对夫妇要去买点东西，该把婴儿单独留在家中？,还是带在汽车上和自己一起去？,因为不可控制而错估概率。,d、你认为自己买彩票会赚钱吗？,过度自信使人低估了风险。,