数模引言线性非线性.ppt

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1、数 学 建 模,河海大学理学院丁根宏,引 言,本章主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，给读者以建立数学模型初步的了解。,一、从现实对象到数学模型,原型和模型原型（Prototype）指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。模型（Model）指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提练而构造的原型替代物。注意：为了某种目的构造模型，模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。,模型的分类,直观模型（如实物、玩具、照片）物质模型（形象模型）物理模型（为了模拟实验）模型思维模型（经验形式）理想模型（抽象模型）

2、符号模型（如地图、电路图、分子式）数学模型（由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式，图形或算法）,模型的定义,所谓数学模型是指对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。,建立数学模型的过程,数学模型是运用数学的语言和工具，对部分现实世界的信息（现象、数据）加以翻译、归纳的产物，它源于现实，又高于现实。数学模型经过演绎、推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经过解释，回到现实世界，最后，这些分析、预报、决策或控制必须接受实际的检验，完成实践理论实践这一循环，如果检验的结果是正确的或

3、基本正确的，就可以用来指导实际，否则，要重新考虑翻译，归纳的过程，修改数学模型。,数学建模流程图,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答（分析、预报、决策或控制）,表达（归纳）,解释,验证,求解（演绎）,二、国外数学建模情况（国外从70年代初）,1、教学课程、教材1978年由Springer出版，国防科大翻译Modeling in Applied Mathematics共4卷Ellis HarwoodMath and its ApplicationKaporMathematical Modeling数学国际会议，1983年起，会议录由Harwood出版竞赛,国外数学建模情况,

4、2、科研会议 1977数学和计算机建模国际会议期刊Mathematical and computer Modeling年刊Applied Mathematical Modeling SIAM Review、SIAM NewsJ.of Mathematical Modeling for Teacher,三、国内数学建模发展的情况,国内从1983起，先驱有肖树铁、叶其孝、姜启源等我国从1991年在上海等地区开展数学建模竞赛的工作，1992年起由中国工业与应用数学学会主办全国大学生数学建模竞赛，从1994年起由政府国家教委（现为教育部）下达文件在全国高校中开展数学建模竞赛。,我校数学建模发展的情况,

5、我校从1993年起已连续十八年参加了全国大学生数学建模竞赛，并取得了较好的成绩。,四、数学建模发展迅速的主要原因,1、花费少、设备少、周期短2、许多问题的解决只有建模是唯一途径（如太阳表面温度、人体血液总量等）,数学建模发展迅速的主要原因,3、以前发展慢的原因、计算工具（如计算机速度慢、编程的复杂、不能解决符号的运算、图形学的问题），而今高速、小型、智能、廉价计算机的出现使数模发展迅速，注意数学建模的美国五大工业：汽车、计算机、石油、飞机工业、机器制造,五、建立数学模型的方法和步骤,1、方法上大体分为两大类机理分析：是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映机理的规律，建立的模型常有

6、明确的物理或现实意义。测试分析：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可测量系统的输入（出）数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识（System Identification）。,建立数学模型的方法和步骤,2、建立模型的大体过程模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握对象的各种信息和统计数据等，弄清实际对象的特征，由此初步确定用哪一类模型。模型假设：根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的合理的简化，并用精确的语言做出假设，这是关键的一步。,建立数学模型的方法和步骤,模型构成：根据所

7、作假设，利用适当的数学工具，构造各个量之间的关系或其它数学结构，这里除需要上些相关学科的专门知识外，还需要较广阔的应用数学方面的知识。模型求解模型分析模型检验模型应用,建立模型过程,模型准备,模型假设,模型应用,模型建立,模型求解,模型分析,模型检验,六、建模示例,例1：椅子能在不平的地面上放稳吗？现实生活中，把椅子往不平的地面上一放通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。,模型假设：,1、椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形。2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有象台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连

8、续曲面。3、对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。,模型构成：,建立模型的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。注意到椅子四脚连线呈正方形ABCD。中心点为O，椅子绕O点转动时，对角线AC与X轴的夹角来表示椅子的位置，“着地”就是椅脚与地面的距离等于0.,y,x,C A,B,D,A,B,C,D,o,模型构成：,距离是的函数，记A、C两脚与地面距离之和为g()，B、D两脚与地面距离之和为f()，不失一般性，可设g(0)=0，注意到椅子在任何位置总有三只脚可以着地，即对任意，f()和g()中总有

9、一个为零，则“稳定的椅子”可归结为下面的数学问题：,模型构成：,假设：f()、g()是的连续函数，g(0)=0，f(0)0，且对任意，f().g()=0求证：存在0，使f(0)=g(0)=0证：令h()=f()-g()则h(0)0,h(/2)0,由介质定理，存在0（0,/2）,使h(0)=0，即f(0)=g(0)又f(0).g(0)=0，故f(0)=g(0)=0,建模示例,例2：商人们怎样安全过河三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行，随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？,模

10、型构成：,记第k次渡河前此岸的商人数为xk，随从数为yk，k=1,2,xk,yk=0,1,2,3,将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态，安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S，则S=(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,模型构成：,记第k次渡船上的商人数为uk，随从数为vk，将二维向量dk=(uk,vk)定义为决策，允许决策集合记作D，由小船的容量可知D=(u,v)|u+v=1,2,模型构成：,k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时，船从彼岸驶回此岸，从而sk+1=sk+(-1)kdk称该式为状态转移方程。,模型构成：,这样，制订安

11、全渡河方案归结为如下的多步决策问题。求决策dkD(k=1,2,n)使状态skS 按照转移方程，由初始状态s1=(3,3)以有限步n到达状态sn+1=(0,0),模型求解：（图解法）,在xoy平面坐标系上画出方格，方格点表示状态s=(x,y)，允许状态集合S是用圆点标出的10个格子点，允许决策dk是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数时，向右、上方移动，要确定一系列的dk使由s1=(3,3)经过那些圆点最终移至原点(0,0).,模型求解：（图解法）,s1,d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9,d10,d11,0 1 2 3 x,1,2,y3,第3章 线性规则,

12、线性规划（Linear Programming）是最优化方法中理论完整、方法成熟、应用广泛的一个分支。它本身在实际问题中有许多直接应用，而且为某些非线性规划问题的解法起到间接作用。,一、问题的提出,某工厂在计划期内要安排I、I I两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如下表：I II 资源总量设备128台时原料A4016kg原料B0412kg该工厂每生产一个单位产品I可获利2元，每生产一个单位产品II可获利3元。问应如何安排计划，使该工厂获利最多？,二、问题的分析,1、穷举方法（枚举法）生产产品I 2个单位生产产品II 1个单位等方案,二、问题的分析,2、引进变量构

13、造数学模型设x1,x2 分别表示在计划期内产品I、II的产量，则数学模型为目标函数为max z=2x1+3x2满足约束条件x1+2x28 4x116 4x212 x1,x20,这类问题的共同特征：,(1)都有一组决策变量(x1,x2,xn)表示某一方案，一般是非负的(2)存在一定的约束条件，可用线性等式（不等式）来表示(3)都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称目标函数）来表示，按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划（LP）的数学模型。,其一般形式：,三、单纯形算法,线性规划是为解决二次大战中的后勤供应问题而产生的，1947年G.B.

14、Dantzig单纯形方法的提出及其在初期成功的应用，使得能用线性规划解决的问题的类型先是缓慢地，但接着就是急速地增加，线性规划成为几乎所有的商业活动、工业生产和军事行动的一个组成部分。,1、LP的标准形式,c-价值系数b-资源约束向量A-资源消耗矩阵x-决策变量向量注：一般线性规划问题的标准化,（1）,2、两个变量线性规划问题的图解法,A点为最优解，其坐标为（1，4）f(1,4)=-1+4=3为最大值,例1,x1,x2,o,x1-2x2=2,x1+x2=5,线性规划问题的图解法,A（1，4），B（0，2）的连线都为最优解max z=4,例2,A,B,R,x1,x2,o,-2x1+x2=2,x1

15、-2x2=2,x1+x2=5,线性规划问题的图解法,说明f=-2x1+x2在集合R上无下界,例3,x,y,o,R,x1+x2=1,x1-3x3=-3,线性规划问题的图解法,例4这组约束条件所决定的4个半平面的交集是空集，没有可行解,0 x1,x2,图解法的一些结论,由以上例子的讨论可以看出：两个变量的线性规划问题的解可能有以下4种情况1）有唯一最优解，且是可行解集合R的一个顶点2）有最优解，但不唯一，且是可行解集合R的一条边（线段）3）有可行解，但没有最优解4）没有可行解（可行域是空集）一般线性规划问题也有上述类似的结论。,3、解的概念,1）可行解 满足约束条件的解。2）最优解 使目标函数达到

16、最小（或最大）值的可行解。,解的概念,3）基本解 考虑Ax=b 其中A是mn维系数矩阵，R(A)=m，设A=(P1,P2,Pn)Ax=b可写为在A中选m个线性无关的列向量，不妨设P1,P2,Pm线性无关，称它们是线性规划的一组基，基对应的变量x1,x2,xm称为基变量，其它的变量则称为非基变量。在选定一组基后，令非基变量都取零，则方程可唯一确定基变量的值，将此解x称为基本解。,解的概念,4）基本可行解 既是基本解又是可行解。5）最优基可行解 使目标函数达到最小（或最大）值的基本可行解。,可行解,基本解,基可行解,En,600!/(300!*300!),4、基本理论,定理1 若LP（1）有可行解

17、，则一定有基可行解定理2 若LP（1）有最优解，则一定存在一个基可行解是最优解,5、最优解的判定准则,最优解判定定理,若x=(x1,x2,xn)是LP（1）的一个基可行解，当其检验数 时，则x是LP（1）的最优解。,6 单纯形法（Simplex Method）,1.分析一个例子,分析一个例子,B=(P3P4P5)x3=8-x1-2x2x4=16-4x1(1)x5=12-4x2代入目标函数得f=0-2x1-3x2基可行解x(1)=(0,0,8,16,12)T,f=0选x1为换入变量，令x2=0,得x3=8-x10 x4=16-4x10 x5=120,从而x1=min8/1,16/4,-=4变换(

18、1)得x3=4-2x2+x4/4x1=4-x4/4(2)x5=12-4x2f=-8-3x2+(1/2)x4对应于基B=(P3,P1,P5)，令非基变量等于零，得基可行解x(2)=(4,0,4,0,12)T,f=-8,分析一个例子,选x2为换入变量，令x4=0,得x3=4-2x20 x1=40 x5=12-4x20从而x2=min4/2,-,12/4=2变换(2)得x2=2-x3/2+x4/8x1=4-x4/4(3)x5=4+2x3-x4/2f=-14+(3/2)x3+(1/8)x4,对应于基B=(P2,P1,P5)，令非基变量等于零，得基可行解 x(3)=(4,2,0,0,4)T,f=-14其

19、中X(3)为最优解。,单纯形表,生产计划安排的标准形,单纯形表,单纯形表(续),7、单纯形法的进一步讨论,初始基可行解的求法，如何确定初始基？若标准形没有初始基，则通过引入人工变量构造初始基。人工变量没有实际意义，只是数学上的需要；主要有下列两个目的。1）从人工变量经基变换到普通变量，实现基的转换 2）若人工变量不能从基变量中换出，则原问题无可行解（无解）,两阶段法,用两阶段法求解,两阶段法求解（1）,第一阶段引入人工变量x4，并构造下述线性规划问题,单纯形表,两阶段法求解（2）,第二阶段（已不含人工变量）,单纯形表（续）,投资的收益和风险,二、基本假设和符号规定,三、模型的建立与分析,1.总

20、体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max qixi|i=1，2,n,4.模型简化：,四、模型1的求解,由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：,a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;

21、x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q),To Matlab（xxgh5）,计算结果：,五、结果分析,4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长 很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和 收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:风险度 收益 x0 x1 x2

22、 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212,3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。,2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。,1.风险大，收益也大。,实验作业,某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过

23、8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料多获利1万元,问应否改变生产计划.,第5章 无约束优化,3.1预备知识一、问题的提出例 选址问题：某市燃气公司计划要建一个煤气供应站，该站要向城市中有固定位置的m个用户供货。对于选定的坐标系而言，煤气供应站与煤气厂其坐标为(0,0)相距不能超过20km，已知第i个用户的位置（坐标）为（ai,bi），i=1,m，如果只考虑直线距离，问如何确定这个煤气站的位置，才能使总的运输距离最短？,问题的提出,解：设煤气站的位置为（x1,x2）即求：,一般形式：,其

24、中R=gj(X)0,j=1,2,m分类：线性规划，二次规划，非线性规划等非线性规划又可分为无约束非线性规划，有约束非线性规划。,标准形式：,求解无约束最优化问题的基本思想,求解的基本思想(以二元函数为例),5,3,1,连续可微,多局部极小,唯一极小(全局极小),二、非线性规划的图示,例1,三、极值问题,局部极小点，全局极小点,四、极值点存在的条件,定理1（必要条件）定理2（充分条件）则x*为f(x)的严格局部极小点。,五、凸规划,其中R=gj(X)0,j=1,2,m，这里f(X)为凸函数，gj(X)为凹函数。可以证明：上述R为凸集，其局部最优解X*即为全局最优解，而且其最优解的集合形成一个凸集

25、，当凸规划的目标函数f(X)为严格凸函数时，其最优解必定唯一。,3.2无约束非线性规划,一、下降算法先给定一个初始估计X(0)，找X(1)，使f(X(1)f(X(0)，得X(k)，若这个 序列有极限X*，即 则称它收敛于X*.,下降迭代算法步骤：,(1)选定初始点X(0)，令k=0(2)选一个搜索方向S(k)，使沿S(k)方向，f(x)的值可下降(3)从X(k)出发，沿方向S(k)求步长k，以产生下一个迭代点X(k+1)=X(k)+kS(k)(4)检查得到的新点X(k+1)是否为（近似）极小点，若是，则停止。否则，令k=k+1，转(2)检查方法：,搜索过程,最优点(1 1)初始点(-1 1),

26、-1,1,4.00,-0.79,0.58,3.39,-0.53,0.23,2.60,-0.18,0.00,1.50,0.09,-0.03,0.98,0.37,0.11,0.47,0.59,0.33,0.20,0.80,0.63,0.05,0.95,0.90,0.003,0.99,0.99,1E-4,0.999,0.998,1E-5,0.9997,0.9998,1E-8,二、一维搜索法,常用的有驻点法，二分法，Fibonacci法，0.618法（黄金分割法），牛顿法，二次插值法等下面介绍0.618法（Golden Ratio Method）,0.618法,0.618法是一种等速对称试探法，可描述

27、为：,步骤如下：,(1)设初始区间为a0,b0，允许误差0，取=0.618，k=0(2)若，则停止，x*ak,bk；否则转(3)(3)计算sk=ak+(1-)(bk-ak)tk=ak+(bk-ak)及f(sk),f(tk)(4)若f(sk)f(tk)，取ak+1=sk,bk+1=bk,sk+1=tk,f(sk+1)=f(tk),求tk+1=ak+1+(bk+1-ak+1)及f(tk+1)若f(sk)f(tk)，取ak+1=ak,bk+1=tk,tk+1=sk,f(tk+1)=f(sk),求sk+1=ak+1+(1-)(bk+1-ak+1)及f(sk+1)(5)令k=k+1转(2),0.618法

28、,P69例3用0.618法求fplot(x2+2*x,-3,5)grid,0.618法,k ak bk sk tk f(sk)f(tk)1-3.000 5.000 0.056 1.944 0.115 7.6672-3.000 1.944-1.112 0.056-0.987 0.115 3-3.000 0.056-1.832-1.112-0.308-0.987 4-1.832 0.056-1.112-0.664-0.987-0.8875-1.832-0.664-1.384-1.112-0.853-0.9876-1.384-0.664-1.112-0.936-0.987-0.9967-1.384-

29、0.936-1.208-1.112-0.957-0.9878-1.208-0.936-1.112-1.032-0.987-0.9999-1.112-0.936x*=(-1.112-0.936)/2=-1.024,三、无约束非线性规划,1.梯度法（最速下降法）（Steepest Descent Method）1)梯度法的基本原理设无约束极值问题中的函数f(X)有一阶连续编导数，具有极小点X*寻找X(k)X*在点X(k)沿方向S(k)作射线X=X(k)+S(k),梯度法,f(X)在X(k)处展成Taylor级数对于充分小的，只要 f(X(k)TS(k)0可保证f(X(k)+S(k)f(X(k)可取

30、X(k+1)=X(k)+S(k),梯度法,设|S(k)|一定，则 f(X(k)TS(k)=|f(X(k)|.|S(k)|cos取极小值时，cos=-1,=180此时S(k)=-f(X(k)为负梯度方向在负梯度方向，确定一维搜索的最佳步长k最速下降性。,2)最速下降法的迭代步骤,(1)给定初始近似点X(0)及精度0，k=0(2)计算 f(X(k)，若|f(X(k)|，则停止，X*X(k)，否则转下一步(3)令S(k)=-f(X(k)，从X(k)出发，沿S(k)进行一维搜索，求最佳步长k(4)令X(k+1)=X(k)+kS(k)，k=k+1,转(2),注：求最佳步长的三种方法,(1)一维搜索法（如

31、0.618法）(2)解析法（驻点法）(3)公式法,公式法,若f(X)具有二阶连续偏导数，在X(k)处作f(X(k)-f(X(k)的Taylor展式对求导，并令其等于0，得近似最佳步长,梯度法,例4 试用梯度法求f(X)=(x1-1)2+(x2-1)2的极小点，=0.1,2.牛顿法,设X(k)是f(X)的近似点，将f(X)在X(k)点作二阶Taylor展开，得记右端=(X)令(X)=0得此即为Newton迭代公式。,牛顿法算法步骤：,如果f是对称正定矩阵A的二次函数，则用牛顿法经过一次迭代就可达到最优点,如不是二次函数，则牛顿法不能一步达到极值点，但由于这种函数在极值点附近和二次函数很近似,因此

32、牛顿法的收敛速度还是很快的.,牛顿法的收敛速度虽然较快，但要求Hessian矩阵要可逆，要计算二阶导数和逆矩阵，就加大了计算机计算量和存储量.,3.拟牛顿法（DFP）（Davidon-Fletcher-Powell）,方法：用Hk+1近似代替H(X(k)-1，不需要求逆矩阵公式见P73。,第6章 约束非线性规划,一、基本概念 非线性规划的数学模型可行下降方向的概念,二、最优性条件,定理(Kuhn-Tucker条件)设X*是NLP的可行解，f,gi（iI起作用约束下标集）在X*可微，gi（i不属于I）在X*连续，hj（j=1,2,l）在X*连续可微，再假设 gi(X*)（iI）和 hj(X*)（

33、j=1,2,l）线性无关。如果X*是NLP的局部最优解，则存在i（iI）和j（j=1,2,l）使得,定理(Kuhn-Tucker条件),如果设gi（i不属于I）在X*也可微，则上述条件可改为：称X*为K-T点。,三、约束非线性规划问题的求解方法,1.非线性规划的线性逼近2制约函数方法（SUMT）（Sequential Unconstrained Minimization Technique）(1)SUMT外点法（罚函数法）对minf(X)s.t.hj(X)=0,j=1,2,l 可转化为求：其中M是一个较大的正数。,SUMT外点法,对不等式约束，由于gi(X)0等价于min(0,gi(X)=0,

34、故一般非线性规划问题可转化为求：,SUMT外点法,例1 用外点法求min(x-1)2s.t.x-20解：构造罚函数,SUMT外点法,例2 用外点法求minf(X)=x1+x2g1(X)=-x12+x20g2(X)=x10,SUMT外点法,解：构造罚函数,(2)SUMT内点法(障碍函数法),对minf(X)s.t.gi(X)0,i=1,2,m构造或,SUMT内点法,例3 用内点法求minf(X)=(1/12)(x1+1)3+x2g1(X)=x1-10g2(X)=x20,SUMT内点法,解：构造障碍函数,四、建模案例：飞行管理问题（95A）,1.问题的提出2.问题分析3.模型假设4.模型建立,模型

35、建立,从形式上看，本题属于最优控制问题（实际是一个一般优化问题），而且有6个可控制对象，相当复杂，因为可以在第6架飞机进入该正方形区域起至碰撞发生前任一时刻调整6架飞机中任一架、任二架、甚至六架飞机的飞行方向，可以一次、二次、多次甚至不断地调整飞机的飞行方向角，因而调整方案太多了，要进行优化，无疑似大海捞针，所以首先要简化方案。,1）两条结论,结论1：如果会发生碰撞，尽早调整一定优于晚调整。（这一结论大大缩小了优化范围，原来可在一段时间的任一时刻进行调整，而根据这一结论，仅需考虑开始采取行动就可以了。）结论2：如果会发生碰撞，则多次调整不如在第一次调整时调整到位好（在不超过调整幅度限制条件下）

36、。（根据这一结论优化范围进一步缩小了，原来的二次、三次、多次甚至不断调整的方案都可以不予考虑了。因为它们肯定不是问题的最优解。）,2)关于目标函数的讨论,i表示第i架飞机飞行方向角的调整值，逆时针为正，顺时针为负。考虑在时刻t=0一次性改变飞行方向角。第一种目标函数：使被调整飞机的架次达到最少，同时在满足调整架次最小的前提下，再使所调整幅度和达到最小。,关于目标函数的讨论,第二种目标函数：调整幅度和达到最小。第三种目标函数：使飞机调整幅度的最大值达到最小。,第四种目标函数：目标函数可连续可微，便于数学处理。,关于目标函数的讨论,上面四种目标函数的约束条件为：(xi(t)-xj(t)2+(yi(

37、t)-yj(t)2 64,1in-1i+1jn,0tminTi,Tj,Ti,Tj分别表示两架飞机飞出区域边界的时刻。|i|/6,i=1,2,6xi(t)=xi(0)+800cosi,i=1,2,6yi(t)=yi(0)+800sini,i=1,2,6i=i0+i,i=1,2,6,关于目标函数的讨论,第五种目标函数：(P.57)将第四种目标函数的i变量换为Ci,i0,Si,i0，约束条件中变量也作相应改变。其目的也是便于计算。,3)模型的求解,方法一：直接搜索法（多重循环迭代）方法二：用SUMT 算法方法三：非线性模型化为线性模型方法四：由多维问题转化为一维优化问题,飞行管理问题（95A）,5.模型的检验及误差分析几个模型的结果比较，确定一种方法简便，精度高的模型作为最佳模型。6.模型的推广及进一步讨论7.结论阐述结果及有待改进的地方。,