数理方程5贝塞尔函数.ppt

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1、数 学 物 理 方 程,主讲：周澜,E_mail:zhoul答疑：周三中午11：3013：00，教2103室,南京邮电大学、理学院、应用物理系,讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程。,5.1 贝塞尔方程的引入,设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。,第五章 贝塞尔函数,稳恒状态热传导问题欧拉方程。,瞬时状态圆盘上的热传导问题贝塞尔方程。,讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.,问题归结为求解如下定解问题：,令，代入方程得,进而得,求V改用极坐标，在极坐标系下，V的问题可以写成,再次分离变量,令，代入化简得,亥姆霍

2、兹方程（Helmholtz）,引入参数,本征值，,本征值问题,本征函数,将 代入另一方程得:,n 阶贝塞尔方程.,由条件 得:,由温度是有限的，得:,原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数.,做代换,并记,这是n阶贝塞尔方程的标准形式.,方程转化为,5.2 贝塞尔方程的求解,用 x 表示自变量,y=y(x)表示未知函数,则n阶贝塞尔方程为,其中n为任意实数或者复数,我们仅讨论 的情形.,方程有如下形式的级数解：,其中 为常数。,逐项求导,有,代入方程确定系数 和：,要使上式恒成立，各项x的幂的系数必须全为0,将此级数解代入原方程中可得到：,由于a1=0,则,选取,情形1 n不为

3、整数,（由分部积分公式可证）：,因此,这样，得到方程的一个特解,称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0).,当 n 不为整数时,和 线性无关,所以方程的通解可以表示为,结论：,如果选取,得到,当 n 不为整数时,和 线性无关,称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者钮曼函数,方程的通解也可表示为,订正书上126页,2.当p为正整数时，有,Gamma函数的定义与性质(见附录A),5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解,1.递推公式：,（）取n=N,在 中,由于mN时，,所以级数从m=N开始,当n为整数时，有：,所以，当n为整数时,与 线性相关,此时定义第二类贝塞尔函数为,不为整数.可以证明 和 线性无关，通解

4、可写为,由于，故（*）式右端的极限为形式，使用洛必塔法则最后可得到：,其中C为欧拉常数 C=0.577216,于是，此时n阶贝塞尔方程的通解为：,贝塞尔函数的性质与递推公式,性质1 有界性,n为偶数时，为偶函数,n为奇数时，为奇函数,性质2 奇偶性,当n为正整数时,性质3 递推性,一般的,有,上面两式左边的导数求出来,并经过化简,则得,贝塞尔函数的递推公式,只要已有零阶和一阶贝塞尔函数表，,对于第二类贝塞尔函数,也有相应的递推公式.,例1 求下列微积分,解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得,同理，可求得另外一个特解：,因此方程的通解为,根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Be

5、ssel函数。,根据递推公式：,可得：,由此可递推出：,性质5 初值,性质6 零点,5.1节中，通过两次分离变量，我们已将求解圆盘的温度分布问题转化为求解贝塞尔函数的特征值问题：,由5.3节可得，贝塞尔方程的通解为：,（n为正整数时，Jn与J-n线性相关，不能组成方程的通解。）,根据自然边界条件：,可得 中，B=0.,故：,再根据 可得：,因此，必须要计算Jn(x)的零点。,性质6 零点,有无穷多个关于原点对称分布的零点；,的零点趋于周期分布，,几乎是以 为周期的周期函数。,根据零点的结论，方程 的解为：,故贝塞尔方程的本征值为：,与本征值对应的本征函数为：,性质7、贝塞尔函数的正交关系,n阶

6、Bessel函数序列在区间 上带权 正交，即,称,其中,为n阶贝塞尔函数的第m个零点，即,为n阶贝塞尔函数 的模。,取其解的两个值,分别代入原方程得,正交性的证明：先将n阶贝塞尔方程写成如下形式,两式相减，并对 从0到 积分，得,上面两式分别乘,贝塞尔函数模方的证明：,由公式,可得：,当 时，上式右端的极限为0/0，利用洛必达法则可计算该极限：,根据递推公式,以及 得:,故,称为贝塞尔函数的模。,47,在区间，R上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数 f(r),如果在 r=0 处有界,在 r=R 处等于零,则它必可以展开为如下形式的一致收敛的级数：,性质8、傅立叶-贝塞尔级数,利用贝塞

7、尔函数系的正交性可确定,50,解,，其中,令，则：,从而,于是有,51,解,，其中,由于,从而,于是有,例1:求解圆形薄盘上的热传导问题,5.5 贝塞尔函数的应用,设有半径为1的圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零，且圆盘上的初始温度分布为，其中r为圆盘内任一点的极半径，求圆盘内的瞬时温度分布规律。,令：,54,设有半径为R的圆形薄膜，圆周沿垂直于薄膜所在平面自由移动，薄膜初始位移为零，初始速度为，试求该薄膜的振动规律。,问题归结为求解如下定解问题：,例2:求解圆形薄膜轴对称振动问题,令,从而，原问题有形式级数解,58,令,设,为1阶贝塞尔函数的非负零点，即,则有,Thanks for your attention!,