数据结构教程第6章集合与字典.ppt

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1、集合及其表示并查集与等价类字典跳表散列,第六章 集合与字典,集合基本概念,6.1.1 集合及其表示,集合是成员(对象或元素)的一个群集。集合中的成员可以是原子(单元素)，也可以是集合。集合的成员必须互不相同。在算法与数据结构中所遇到的集合，其单元素通常是整数、字符、字符串或指针，且同一集合中所有成员具有相同的数据类型。,colour=red,orange,yellow,green,black,blue,purple,white name=An,Cao,Liu,Ma,Peng,Wang,zhang 集合中的成员一般是无序的，但在表示它时，常设定集合中的单元素具有线性有序关系，此关系可记作“”，表

2、示“优先于”；整数、字符和字符串都有一个自然线性顺序。指针也可依据其在序列中安排的位置给予一个线性顺序。某些集合保存的是实际数值，某些集合保存的是表示元素是否在集合中的指示信息。要求每个元素在集合中只出现一次，但多种集合允许元素重复出现。,集合(Set)的抽象数据类型,template class Set public:virtual Set()=0;virtual MakeEmpty()=0;virtual bool AddMember(const T x)=0;virtual bool DelMember(const T x)=0;,AB 或 A+B AB 或 AB A-B,A,A,A,B

3、,B,B,virtual Set unionWith const Set,6.1.2 用位向量实现集合抽象数据类型,当集合是全集合 0,1,2,n 的一个子集，且 n是不大的整数时，可用位(0,1)向量来实现集合。当全集合是由有限的可枚举的成员组成的集合时，可建立全集合成员与整数 0,1,2,的一一对应关系，用位向量来表示该集合的子集。,集合的位向量(bit Vector)类的定义#include const int DefaultSize=50;class bitSet private:unsigned short*bitVector;int setSize,vectorSize;publi

4、c:bitSet(int sz=DefaultSize);bitSet()delete bitVector;,void makeEmpty()for(int i=0;i,bool Contains(const T x);bool subSet(bitSet,使用示例bitSet s1,s2,s3,s4,s5;int index,equal;for(int k=0;k 10;k+)/集合赋值 s1.AddMember(k);s2.AddMember(k+7);/s1:0,1,2,9,s2:7,8,9,16,6.1.3 用有序链表实现集合的抽象数据类型,用带表头结点的有序链表表示集合,first,

5、first,08,17,23,35,49,72,用有序链表来表示集合时，链表中的每个结点表示集合的一个成员。各结点所表示的成员 e0,e1,en 在链表中按升序排列，即 e0 e1 en。集合成员可以无限增加。因此，用有序链表可以表示无穷全集合的子集。,template struct SetNode T data;SetNode*link;SetNode(const T,集合的有序链表类的定义,template class LinkedSet private:SetNode*first,*last;/有序链表的表头指针,表尾指针,public:LinkedSet()first=last=new

6、 SetNode;/构造函数 LinkedSet()MakeEmpty();delete first;void MakeEmpty();/置空集合 bool AddMember(const T/判x是否集合的成员,集合的有序链表类的定义,bool operator=(LinkedSet/判this是否R的子集,集合的有序链表类的定义,6.2.1 并查集(Union-Find Sets),并查集支持以下三种操作：Union(Root1,Root2)/并操作 Find(x)/搜索操作 UFSets(s)/构造函数对于并查集来说，每个集合用一棵树表示。为此，采用树的双亲表示作为集合存储表示。集合元素

7、的编号从0到 n-1。其中 n 是最大元素个数。,在双亲表示中，第 i 个数组元素代表包含集合元素 i 的树结点。根结点的双亲为-1，表示集合中的元素个数。在同一棵树上所有结点所代表的集合元素在同一个子集合中。初始时,用构造函数 UFSets(s)构造一个森林,每棵树只有一个结点,表示集合中各元素自成一个子集合。用 Find(i)寻找集合元素 i 的根。如果有两个集合元素 i 和 j,Find(i)=Find(j),表明这两个元素在同一个集合中。如果两个集合元素 i 和 j 不在同一个集合中,可用 Union(i,j)将它们合并到一个集合中。,S1 S2的可能的表示方法,下标parent,集合

8、 S1,S2 和 S3 的双亲表示,-1 4-1 2-1 2 0 0 0 4,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0,7,6,8,4,1,9,4,1,9,0,8,7,6,const int DefaultSize=10;class UFSetspublic:UFSets(int sz=DefaultSize);UFSets()delete parent;void Union(int Root1,int Root2);int Find(int x);void WeightedUnion(int Root1,int Root2);private:int*parent;int size;,并查集

9、类的定义,UFSets:UFSets(int sz)size=sz;parent=new intsize;for(int i=0;isize;i+)parenti=-1;void UFSets:Union(int Root1,int Root2)/求两个不相交集合Root1与Root2的并 parentRoot1+=parentRoot2;parentRoot2=Root1;/将Root2连接到Root1下面,成员函数的实现,-5 0 1 2 3,parent,Parent4=3,Parent3=2,Parent2=1,Parent1=0,Parent0=-5,0 1 2 3 4,int UF

10、Sets:Find(int x)if(parent x 0)return x;else return Find(parent x);,6.3 字典(Dictionary),以集合为基础，支持Member、Insert、Remove三种运算的抽象数据类型叫做字典。字典的概念：字典是一些元素的集合，每个元素有一个称作关键码的域。在讨论字典抽象数据类型时，把字典定义为对的集合。字典的操作：确定一个指定的名字是否在字典中；搜索出该名字的属性；修改该名字的的属性；插入一个新的名字及其属性；删除一个名字及其属性。,字典的抽象数据类型const int DefaultSize=26;templateclas

11、s Dictionary public:Dictionary(int size=DefaultSize);bool Member(Name name);Attribute*Search(Name name);void Insert(Name name,Attribute attr);void Remove(Name name);,在字典的所有操作中，最基本的只有 3 种：Search(搜索)、Insert(插入)、Remove(删除)。在选择字典的表示时，必须确保这几个操作的实现。,考虑到搜索效率,可以用顺序表方式、二叉搜索树或多路搜索树方式组织字典。本章介绍3种字典的组织方式：线性表、跳表和

12、散列表。,字典的线性表描述,线性表描述：字典可以保存在线性序列(e1,e2,)中，其中ei是字典中的元素，其关键码从左到右依次增大。对于这种描述方式，有有序顺序表和有序链表。,有序链表的类定义templatestruct ChainNode E data;ChainNode*link;ChainNode():link(NULL);ChainNode(E,有序链表的类定义 ChainNode*Search(const K k1)const;void Insert(const K k1,E,在有n个结点的有序链表中，搜索、插入、删除操作的 时间复杂性均为O(n)。,6.4 跳表(Skip List

13、),在链表的中部结点增加一个指针，以减少搜索时的比较次数。,6.5 散列(Hashing),散列表是表示集合和字典的另一种有效方法，它提供了一种完全不同的存储和搜索方式，通过将关键码映射到表中某个位置上来存储元素，然后根据关键码用用样的方式直接访问。,散列方法,散列方法在元素存储位置与其关键码之间建立一个确定的对应函数关系Hash()，使每个关键码与结构中一个唯一存储位置相对应：Address Hash(key)在搜索时,先对元素的关键码进行函数计算,把函数值当做元素的存储位置,在结构中按此位置取元素比较。若关键码相等,则搜索成功。在存放元素时,依相同函数计算存储位置,并按此位置存放。这种方法

14、就是散列方法。,在散列方法中使用的转换函数叫做散列函数。按此方法构造出来的表或结构就叫做散列表。使用散列方法进行搜索不必进行多次关键码的比较,搜索速度比较快,可以直接到达或逼近具有此关键码的元素的实际存放地址。散列函数是一个压缩映象函数。关键码集合比散列表地址集合大得多。因此有可能经过散列函数的计算，把不同的关键码映射到同一个散列地址上，这就产生了冲突。,示例：有一组元素，其关键码分别是 12361,07251,03309,30976 采用的散列函数是 hash(x)=x%73 其中，“%”是除法取余操作。则有：hash(12361)=hash(07251)=hash(03309)=hash(

15、30976)=24。就是说,对不同的关键码,通过散列函数的计算,得到了同一散列地址。我们称这些产生冲突的散列地址相同的不同关键码为同义词。由于关键码集合比地址集合大得多,冲突很难避免。所以对于散列方法,需要讨论以下两个问题：对于给定的一个关键码集合,选择一个计算简单且地址分布比较均匀的散列函数,避免或尽量减少冲突；拟订解决冲突的方案。,构造散列函数时的几点要求：散列函数的定义域必须包括需要存储的全部 关键码,如果散列表允许有 m 个地址时,其 值域必须在 0 到 m-1 之间；散列函数计算出来的地址应能均匀分布在整个地址空间中；散列函数应是简单的，能在较短的时间内计 算出结果。,散列函数,除留

16、余数法设散列表中允许地址数为 m,取一个不大于 m,但最接近于或等于 m 的质数 p 作为除数,利用以下函数把关键码转换成散列地址：hash(key)=key%p p m其中,“%”是整数除法取余的运算，要求这时的质数 p 不是接近2的幂。示例:有一个关键码 key=962148,散列表大小 m=25,即 HT25。取质数 p=23。散列函数 hash(key)=key%p。则散列地址为hash(962148)=962148%23=12。可以按计算出的地址存放记录。需要注意的是,使用上面的散列函数计算出来的地址范围是 0到 22,因此,从23到24这几个散列地址实际上在一开始是不可能用散列函数

17、计算出来的,只可能在处理溢出时达到这些地址。,散列函数,数字分析法 设有 n 个 d 位数,每一位可能有 r 种不同的符号。这 r 种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同。可根据散列表的大小,选取其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。计算各位数字中符号分布均匀度 k 的公式：其中，表示第 i 个符号在第 k 位上出现的次数，n/r 表示各种符号在 n 个数中均匀出现的期望值。计算出的 k 值越小，表明在该位(第 k 位)各种符号分布得越均匀。数字分析法仅适用于事先明确知道表中所有关键码每一位数值的分布情况，它完全依赖于关键码集合。如果换一个关键码集合，选择哪几位要重新决定。,散列函数,9

18、 4 2 1 4 8位，1=57.60 9 4 1 2 6 9位，2=57.60 9 4 0 5 2 7位，3=17.60 9 4 1 6 3 0位，4=5.60 9 4 1 8 0 5位，5=5.60 9 4 1 5 5 8位，6=5.60 9 4 2 0 4 7 9 4 0 0 0 1,若散列表地址范围有 3 位数字,取各关键码的 位做为记录的散列地址。也可以把第，,和第位相加,舍去进位位,变成一位数,与第,位合起来作为散列地址。,平方取中法此方法在字典处理中使用十分广泛。它先计算构成关键码的标识符的内码的平方,然后按照散列表的大小取中间的若干位作为散列地址。设标识符可以用一个计算机字长的

19、内码表示。因为内码平方数的中间几位一般是由标识符所有字符决定,所以对不同的标识符计算出的散列地址大多不相同,即使其中有些字符相同。在平方取中法中,一般取散列地址为 2 的某次幂。例如,若散列地址总数取为 m=2r，则对内码的平方数取中间的 r 位。如果 r=3，所取得的散列地址参看图的最右一列。,散列函数,标识符 内码 内码的平方 散列地址A 01 01 001A1 0134 20420 042A9 0144 23420 342 B 02 4 004 DMAX 04150130 21526443617100 443DMAX1 0415013034 5264473522151420 352 AM

20、AX 01150130 135423617100 236AMAX1 0115013034 3454246522151420 652,标识符的八进制内码表示及其平方值,折叠法此方法把关键码自左到右分成位数相等的几部分,每一部分的位数应与散列表地址位数相同,只有最后一部分的位数可以短一些。把这些部分的数据叠加起来,就可以得到具有该关键码的记录的散列地址。有两种叠加方法：移位法 把各部分的最后一位对齐相加；分界法 各部分不折断,沿各部分的分界来回折叠,然后对齐相加,将相加的结果当做散列地址。示例:设给定的关键码为 key=23938587841,若存储空间限定 3 位,则划分结果为每段 3 位.上述

21、关键码可划分为 4段：239 385 878 41,散列函数,把超出地址位数的最高位删去,仅保留最低的3位，做为可用的散列地址。一般当关键码的位数很多，而且关键码每一位上数字的分布大致比较均匀时，可用这种方法得到散列地址。,移位法,385,878,41,1543,41,239,239,385,878,1714,分界法,以上介绍了几种常用的散列函数。在实际工作中应根据关键码的特点，选用适当的方法。有人曾用“轮盘赌”的统计分析方法对它们进行了模拟分析，结论是平方取中法最接近于“随机化”。,散列函数,处理冲突的闭散列方法,因为任一种散列函数也不能避免产生冲突，因此选择好的解决冲突的方法十分重要。为了

22、减少冲突，对散列表加以改造。若设散列表 HT 有 m 个地址,将其改为 m 个桶。其桶号与散列地址一一对应,第 i(0 i m)个桶的桶号即为第 i 个散列地址。每个桶可存放 s 个表项,这些表项的关键码互为同义词。如果对两个不同表项的关键码用散列函数计算得到同一个散列地址，就产生了冲突，它们可以放在同一个桶内的不同位置。,只有当桶内所有 s 个表项位置都放满元素后再加入表项才会产生溢出。通常桶的大小 s 取的比较小,因此在桶内大多采用顺序搜索。闭散列也叫做开地址法。在闭散列情形,所有的桶都直接放在散列表数组中。因此每个桶只有一个元素(s=1)。若设散列表中各桶的编址为 0 到 m-1,当要加

23、入一个表项 R2时,用它的关键码 R2.key,通过散列函数 hash(R2.key)的计算，得到它的存放桶号 j。但在存放时发现此桶已被另一个表项 R1 占据,发生了冲突,必须处理冲突。为此,需把 R2 存放到表中“下一个”空桶中。如果表未被装满,则在允许的范围内必定还有空桶。,处理冲突的闭散列方法,线性探查法(Linear Probing),假设给出一组元素，它们的关键码为 37，25，14，36，49，68，57，11，散列表HT12，表的大小m=12，采用的散列函数是：Hash(x)=x%11/11是小于等于m，又最接近m的质数则上述关键码在散列表中散列位置如下图所示：找下一个空桶Hi

24、的公式：Hi(Hi-1 1)%m 或 Hi=(H0+i)%m,处理冲突的闭散列方法,当发生冲突时,探查下一个桶。当循环 m-1次后就会回到开始探查时的位置,说明待查关键码不在表内,而且表已满,不能再插入新关键码。用平均搜索长度ASL(Averagy Search Length)衡量散列方法的搜索性能。根据搜索成功与否，它又有搜索成功的平均搜索长度ASLsucc和搜索不成功的平均搜索长度ASLunsucc之分。搜索成功的平均搜索长度 ASLsucc 是指搜索到表中已有元素的平均探查次数。它是找到表中各个已有元素的探查次数的平均值。,搜索不成功的平均搜索长度 ASLunsucc 是指在表中搜索不到

25、待查的元素，但找到插入位置的平均探查次数。它是表中所有可能散列到的位置上要插入新元素时为找到空桶的探查次数的平均值。在使用线性探查法对示例进行搜索时，搜索成功的平均搜索长度为：搜索不成功的平均搜索长度为：,在闭散列的情形下不能随便物理删除表中已有的元素。因为若删除元素会影响其他元素的搜索。若想删除一个表项,只能给它做一个删除标记deleted进行逻辑删除,不能把它真正删去。逻辑删除的副作用是：在执行多次删除后,表面上看起来散列表很满,实际上有许多位置没有利用。线性探查方法容易产生“堆积”,不同探查序列的关键码占据可用的空桶,为寻找某一关键码需要经历不同的探查序列,导致搜索时间增加。如寻找57比

26、较了7次。,注意：,算法分析,设散列表的装填因子为=n/(s*m)，其中 n 是表中已有的元素个数，s 是每个桶中最多可容纳元素个数，m 是表中的桶数。可用 表明散列表的装满程度。越大,表中元素数越多,表装得越满,发生冲突可能性越大。通过对线性探查法的分析可知,为搜索一个关键码所需进行的探查次数的期望值 P 大约是(2-)/(2-2)。虽然平均探查次数较小,但在最坏情况下的探查次数会相当大。,二次探查法(quadratic probing),为改善“堆积”问题,减少为完成搜索所需的平均探查次数,可使用二次探查法。通过某一个散列函数对表项的关键码 x 进行计算,得到桶号,它是一个非负整数。H0=

27、hash(x)二次探查法在表中寻找“下一个”空桶的公式：Hi=(H0+i 2)%m,Hi=(H0-i 2)%m,i=1,2,(m-1)/2式中的 m 是表的大小，它应是一个值为 4k+3 的质数，其中 k 是一个整数。如 3,7,11,19,23,31,43,59,127,251,503,。,处理冲突的闭散列方法,探查序列如 H0,H0+1,H0-1,H0+4,H0-4,。在做(H0-i2)%m 的运算时,当 H0-i2 0 时,运算结果也是负数。实际算式可改为 j=(H0-i2)%m,if(j 0)j+=m示例：给出一组关键码 37,25,14,36,49,68,57,11。散列函数为：Ha

28、sh(x)x%19用它计算可得 Hash(37)=18 Hash(25)=6 Hash(14)=14 Hash(36)=17 Hash(49)=11 Hash(68)=11 Hash(57)=0 Hash(11)=11,使用二次探查法处理冲突时的搜索成功的平均搜索长度为：搜索不成功的平均搜索长度为：,设散列表桶数为 m,待查关键码为 x,第一次通过散列函数计算出的桶号为 H0=hash(x)。当发生冲突时，第 i-1 次和第 i 次计算出来的“下 一个”桶号分别为：,相减，可以得到：,从而,只要知道上一次的桶号 和,当 i 增加 1 时可以从 和 简单地导出 和，不需要每次计算 i 的平方。在

29、冲突处理算法 Find 中,首先求出 H0 作为当前桶号CurrentPos,当发生冲突时求“下一个”桶号，i=1。此时用一个标志 odd 控制是加 i2 还是减 i2。若 odd=0 加 i 2，并置 odd=1；若 odd=1 减 i 2，并置 odd=0。下次 i 进一后，又可由 odd 控制先加后减。可以证明,当表的长度TableSize为质数且表的装填因子 不超过 0.5 时,新的表项 e 一定能够插入,且任何一个位置不会被探查两次。因此，只要表中至少有一半空，就不会有表满问题。删除也只能进行逻辑删除。,双散列法,使用双散列方法时,需要两个散列函数。第一个散列函数 Hash()按元素

30、的关键码 key 计算元素所在的桶号 H0=Hash(key)。一旦发生冲突，利用第二个散列函数ReHash()计算“下一个”桶的移位量。它的取值应当是小于地址空间大小TableSize，且与TableSize互质的正整数。寻找“下一个”桶的公式为：j=H0=Hash(key)p=ReHash(key)j=(j+p)%m或 Hi=(H0+i*ReHash(key)%m,处理冲突的闭散列方法,示例：给出一组元素关键码 22,41,53,46,30,13,01,67。散列函数为：Hash(x)(3x)%11。散列表为 HT11，m=11。因此，再散列函数为 ReHash(x)=(7x)%10+1。

31、H0(22)=0 H0(41)=2 H0(53)=5 H0(46)=6 H0(30)=2 冲突 H1=(2+1)=3 H0(13)=6 冲突 H1=(6+2)=8 H0(01)=3 冲突 H1=(3+8)=0 冲突 H2=(0+8)=8 冲突 H3=(8+8)=5 冲突 H4=(5+8)=2 冲突 H5=(2+8)=10 H0(67)=3 冲突 H1=(3+10)=2 冲突 H2=(2+10)=1,22 67 41 30 53 46 13 01,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,搜索成功的平均搜索长度搜索不成功的平均搜索长度每一散列位置的移位量有10种：1,2,10。先计算每一散列

32、位置各种移位量情形下找到下一个空位的比较次数,求出平均值；再计算各个位置的平均比较次数的总平均值。Rehash()的取法很多。例如,当m是质数时,可定义 ReHash(key)=key%(m-2)+1 ReHash(key)=key/m%(m-2)+1当 m 是 2 的方幂时，ReHash(key)可取从 0 到 m-1 中的任意一个奇数。,处理冲突的开散列方法 链地址法,开散列方法首先对关键码集合用某一个散列函数计算它们的存放位置。若设散列表地址空间的所有位置是从 0 到 m-1,则关键码集合中的所有关键码被划分为m个子集,具有相同地址的关键码归于同一子集。我们称同一子集中的关键码互为同义词

33、。每一个子集称为一个桶。通常各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，称之为同义词子表。所有桶号相同的元素都链接在同一个同义词子表中，各链表的表头结点组成一个向量。向量的元素个数与桶数一致。桶号为 i 的同义词子表的表头结点是向量中的第 i 个元素。,示例：给出一组表项关键码 37,25,14,36,49,68,57,11。散列函数为：Hash(x)x%11，m=12。用它计算可得：Hash(37)=4 Hash(25)=3 Hash(14)=3 Hash(36)=3 Hash(49)=5 Hash(68)=2 Hash(57)=2 Hash(11)=0,012345611,通常，每个桶中的同义词

34、子表都很短，设有n 个关键码通过某一个散列函数，存放到散列表中的 m 个桶中。那么每一个桶中的同义词子表的平均长度为 n/m。以搜索平均长度为 n/m 的同义词子表代替了搜索长度为 n 的顺序表，搜索速度快得多。应用开散列法处理冲突,需要增设链接指针,似乎增加了存储开销。事实上,由于闭散列 法必须保持大量的空闲空间以确保搜索效率，如二次探查法要求装填因子 0.5，而表项所占空间又比指针大得多，所以使用开散列法反而比闭散列法节省存储空间。,散列表分析散列表是一种直接计算记录存放地址的方法，它在关键码与存储位置之间直接建立了映象。当选择的散列函数能够得到均匀的地址分布时,在搜索过程中可以不做多次探

35、查。由于很难避免冲突,增加了搜索时间。冲突的出现,与散列函数的选取(地址分布是否均匀),处理冲突的方法(是否产生堆积)有关。在实际应用中使用关键码进行散列时,如在用作关键码的许多标识符具有相同的前缀或后缀，或者是相同字符的不同排列的场合，不同的散列函数往往导致散列表具有不同的搜索性能。下图给出一些实验结果。,搜索关键码时所需对桶的平均访问次数,从图中可以看出，开散列法优于闭散列法；在散列函数中，用除留余数法作散列函数优于其它类型的散列函数，最差的是折叠法。,当装填因子 较高时,选择的散列函数不同,散列表的搜索性能差别很大。在一般情况下多选用除留余数法,其中的除数在实用上应选择不含有20以下的质

36、因数的质数。对散列表技术进行的实验评估表明,它具有很好的平均性能,优于一些传统的技术,如平衡树。但散列表在最坏情况下性能很不好。如果对一 个有 n 个关键码的散列表执行一次搜索或插入操作，最坏情况下需要 O(n)的时间。Knuth对不同的冲突处理方法进行了概率分析。,若设 是散列表的装填因子：用地址分布均匀的散列函数Hash()计算桶号。Sn 是搜索一个随机选择的关键码 xi(1 i n)所需的关键码比较次数的期望值Un 是在长度为 m 的散列表中 n 个桶已装入表项的情况下，装入第 n+1 项所需执行的关键码比较次数期望值。前者称为在=n/m 时的搜索成功的平均搜索长度，后者称为在=n/m时

37、的搜索不成功的平均搜索长度。,用不同的方法溢出处理冲突时散列表的平均搜索长度如图所示。,散列表的装填因子 表明了表中的装满程度。越大,说明表越满,再插入新元素时发生冲突的可能性就越大。散列表的搜索性能,即平均搜索长度依赖于散列表的装填因子,不直接依赖于 n 或 m。不论表的长度有多大,我们总能选择一个合适的装填因子,以把平均搜索长度限制在一定范围内。,例 求散列表大小并设计散列函数,设有一个含200个元素的散列表，用二次探查法解决冲突，按关键码查询时找到一个新元素插入位置的平均探查次数不超过1.5，则散列表项应能够至少容纳多少个元素。再设计散列函数（设搜索不成功的平均搜索长度为 Un1/(1-),其中 为装填因子）解答：设表中元素个数 n=200，搜索不成功的平均搜索长度 Un1/(1-)1.5 1/3 n/m=200/m=1/3 m 600,