数学物理方法第12章-格林函数.ppt
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1、第十二章 格林函数 解的积分公式,这一章讲解三类定解问题的另一种求解法方法格林函数法格林函数,又称点源影响函数。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。本章中的点电荷电量是-,本章总共五小节内容,可分为三部分。前两节是一部分,讲解泊松方程解其解的问题,三四节讲解波动和输运方程及其解的问题。第五小节是对前面的推广。在第一节里,写出泊松方程的格林函数积分公式,没有说出格林函数的形式,接下来在第二节就具体求格林函数的形式,然后代入第一节的积分公式中,就把定解问题全部求完了。第三节讲的是波动和输运问题(即含时间t)写出积分公式,第四节具体求格林函数,然后代回。这样就求出了波动和输运
2、问题了。,12.1,泊松方程的格林函数法,有源问题,定解通解边界条件,求通解积分,定解积分边界条件(格林函数法),1.源问题,例 静电场,处静电场,a.无界空间,b.有界空间,边界上可能出现感应电荷,处静电场是源电荷与感应电荷的电势之和。,感应电荷是源电荷的结果。,计算变成,由,计算感应电荷,然后,是否能一次解决,定解通解边界条件,求通解积分,定解积分边界条件(格林函数法),2.格林公式,第一格林公式:,区域 T,边界,T,设 和 在 T 中具有连续二阶导数,在 上有连续一阶导数。由高斯定理,感应电荷是边界问题,第二格林公式:,交换 和:,与上式相减,即,法向导数,3.边值问题,泊松方程,边界
3、条件,定义在,第一类边界条件,第二类边界条件,第三类边界条件,泊松方程与第一类边界条件,构成第一边值问题(狄里希利问题),泊松方程与第二类边界条件,构成第二边值问题(诺依曼问题),泊松方程与第三类边界条件,构成第三边值问题,4.泊松方程的基本积分公式,点源泊松方程,单位负电荷在,奇异,不能化为,面积分。在 T 中挖掉半径,在 的小球。小球边界。,边界条件无法带入积分之中!,在,。,和,连续。,这样,边界条件进入积分之中!泊松方程的基本积分公式。,解 在区域 T 中一点 的值 通过上面积分,由源项对区域的积分(右第一项),和边值得积分(右第二项)给出。,格林函数:,将冲量定理法扩展到空间坐标,对
4、两端固定的弦,问题变成,5.边值问题的格林函数,还需知道点源泊松方程度解的边界条件。,第一边值问题(狄里希利问题),第三边值问题,第一边值问题格林函数,第三边值问题格林函数,在,,在物理上是不合理的。考虑它是偶函数,,具有同一个解,可作变换:,12.2,电像法求格林函数,第一边值问题格林函数,导体球内有一个点电荷,导体接地。求球内电势。电荷的存在,在导体上感应了电荷。球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。,将感应电荷的电势由一“电像电荷”的电势表示,如右图,当导体外 M1 处有电荷 时,镜像电荷将在球内M0 处。,现在,问题反过来,在 r0 处有电荷-0,求r1,和镜像电荷。,例1,球内第一
5、边值问题,在球面上,例2,半空间第一边值问题,解,按电磁学思维模式,应当引入镜像电荷表示平面(z=0)上的感应电荷。,计算格林函数:,镜像电荷的作用为使平面(z=0)上的电势为零。显然,这个电荷位于相对于平面(z=0)对称的几何点,且有相反的电量。,法线方向与z轴方向相反,12.3 含时间的格林函数,12.112.2讨论的是稳定场问题的格林函数方法.至于波动与输运这类含时间的问题,同样可以运用格林函数方法求解.本节以波动问题为例介绍含时间的格林函数,并导出波动方程定解问题解的积分形式;对于输运问题,亦给出相应的结果.,一般强迫振动的定解问题是,(12.3.1)(12.3.2)(12.3.3)持
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- 数学 物理 方法 12 格林 函数
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