数学教学论课件-命题及论证的教学.ppt
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1、二、推理、证明与学习心理,为准确地运用概念和判断进行推理或证明,就必须掌握形式逻辑的基本规律同一律、矛盾律、排中律和充足理由律,(一)形式逻辑的基本规律,1、同一律同一律的内容是:在同一时间,同一地点,同一思维的过程中,所使用的概念和判断必须确定,且前后保持一致同一律的公式是:AA,即A是A根据同一律的内容,它具体有两点要求:一是思维的对象应保持同一(在思维的过程中所考察的对象必须确定,要始终如一,不能中途变更);二是表示同一事物的概念应保持同一(在思维的过程中,要以同一概念表示同一思维对象,不能用不同的概念来表示同一事物,也不能把不同的事物混淆起来用同一个概念来表示)违反同一律的错误,在概念
2、中主要表现为偷换概念或所使用的概念不明确等;在推理中主要是论题不明确或偷换论题等,2、矛盾律,矛盾律的内容是:在同一时间,同一地点,同一思维的过程中,不能既肯定它是什么,又否定它是什么即在同一思维过程中的两个互相矛盾的判断,不能同真,必有一假矛盾律的公式是:即A 不是 矛盾律实为“不矛盾律”,它是同一律的引申,是用否定形式表达同一律内容的矛盾律是否定判断的逻辑基础,其作用是排除思维中的自相矛盾,保持思维的不矛盾性这里所说的思维矛盾,是人们思想陷入混乱状态或故意玩弄诡辩时所产生的逻辑矛盾它与客观事物本身所存在的矛盾是不同的两个矛盾判断不能同真,但可能同假例如,ABC是锐角三角形与ABC是钝角三角
3、形是两个矛盾的判断,其中一个正确,另一个必错误;但其中一个错误,另一个未必正确,这是因为还存在ABC为直角三角形的第三种情况,3、排中律,排中律的内容是:在同一时间,同一地点,同一思维的过程中,对同一对象,必须作出明确的肯定或否定的判断即在同一思维过程中,两个互相矛盾的概念或判断不能同假,必有一真,而排除第三种可能。排中律的公式是:,即 或。排中律要求人们的思维有明确性,它是反证法的逻辑基础。例如,是无理数与 是有理数,这是两个互相矛盾的判断,但不能同时存在,其中必有且只能有一个是正确的。,排中律和矛盾律的关系,排中律和矛盾律既有联系,又有区别其联系在于:它们都是关于两个互相矛盾的判断,都指出
4、两个矛盾判断不能同时并存,其中必有一个是假但如何进一步确定谁真谁假,它们本身都无能为力,只有借助其他知识,进行具体分析,才能正确地予以回答其区别在于:矛盾律指出两个互相矛盾的判断,不能同真,必有一假;排中律则指出两个互相矛盾的判断,不能同假,必有一真矛盾律只能由真推假,不能由假推真;而排中律既能由真推假,也能由假推真,所以,矛盾律是否定判断的逻辑基础,而排中律是反证法的逻辑基础,4、充足理由律,充足理由律的内容是:任何一个真判断,必须有充足理由,即对于任何事物的肯定或否定,都要有充分的理由和根据充足理由律可表示为:若有B,则必有A,使得由A可以推出B充足理由律是进行推理和证明的逻辑基础,它与判
5、断有着密切的联系例如,在数学命题中,充分条件、充要条件都可以作为结论的充足理由,原定理可作为它的逆否命题的充足理由等等。,充足理由律和前面三个规律有着密切的联系,同一律、矛盾律和排中律是为了保持同一判断(或概念)本身的确定性和无矛盾性;充足理由律则是为了保持之间的联系有充分根据和说服力因此,在思维过程中,如果违反了同一律、和排中律,那么就必然导致违反充足理由律总之,数学推理、证明必须要求对象确定(同一律),判断不自相矛盾(矛盾律),不模棱两可(排中律),有充分根据(充足理由律)在数学教学中,我们应注意培养学生严格遵守这些逻辑规律进行思考的习惯,以培养学生的逻辑思维能力。,(二)推理、证明与学习
6、心理,推理是数学的基本思维方法,是数学的灵魂,没有推理就没有数学。推理与证明,是数学的基本思维过程,推理一般包括合情推理和演绎推理。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证,即在前提正确的基础上,通过正确使用推理规则得出结论。,中学阶段对推理、证明的学习要求是:了解合情推理与演绎推理,体会二者之间的关系与差异;体会证明的特点。了解证明的基本方法,包括直接证明和间接证明的方法;感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,通过学习使学生表达清楚、养成言之有理、论证有据的习惯;学会用数学的思维方法解决数学和日常生活中的问题。,1.数学推理,推理:根据判断间的关系,从一
7、个或几个已有的判断作出一个新的判断的思维过程叫做推理推理结构:包括前提和结论两部分;所根据的已有判断叫做推理的前提,作出的新判断叫做推理的结论正确的推理要求合乎逻辑形式,遵守推理规则推理作用:在实践中有两方面的作用,一是帮助人们从已知的知识推出新的知识;二是证明的工具;,推理的形式:由于划分的标准不同,推理可以分成许多种类。直接推理与间接推理直接推理的前提只有一个,比较简单;间接推理则是由两个或两个以上前提组成的推理,它又可分为归纳推理、类比推理和演绎推理三类数学推理:是指从数学的已知事实或假设事实出发,依据数学逻辑引出结论的过程。数学推理包括合情推理与演绎推理。例1 角平分线上任一点到这个角
8、两边的距离相等,因此,到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。例2 矩形的对角线平分且相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线平分且相等。,合情推理:是根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)以及个人的经验和直觉等推测某些结果和推理过程,归纳、类比是合情推理常用的思维方法在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养例如 工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯子;人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.演绎推理:是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程合情推理和演
9、绎推理之间联系紧密,相辅相成,(1)合情推理,归纳推理归纳推理是一种由特殊到一般的推理,即从个别或特殊的事物所作判断扩大为同类一般事物的判断的思维过程,且根据前提与结论所作判断的范围是否相同,又分为完全归纳法与不完全归纳法如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和等于结论中判断的范围,这种归纳推理叫做完全归纳法就是根据对某类事物的全部对象的考察而进行的归纳推理。,完全归纳法:,S1、S2、Sn是A类事物中所有的对象 S1 具有(或不具有)P S2 具有(或不具有)P Sn 具有(或不具有)P-A类事物具有(或不具有)P例如,分别考察某班每一个同学,确认全班五十位同学在期终考试中每门功课都及格
10、,从而推出结论,该班全体同学在期终考试中全部过关。,其表示形式是:,完全归纳推理的特点:1、前提完备:前提应包括某类事物的全部对象。2、结论可靠:结论的断定范围没有超出前提的断定范围,所以它确实可靠。由于完全归纳法在前提判断中已对结论的判断范围作出了判断,如果皆是真实的,则所得结论是完全可靠的,所以完全归纳法可作为数学上的一种严格推理方法但在应用时,须注意前提的判断范围既不能重复,也不能遗漏,即前提判断范围的总和不能小于结论判断的范围,如果归纳推理的前提判断范围的总和小于结论判断的范围,这种归纳推理叫做不完全归纳法是从一个或几个(但不是全部)特殊情况作出一般性结论的归纳推理。其表示形式是:、是
11、A类事物中部分的对象 具有(或不具有)P 具有(或不具有)P 具有(或不具有)P A类事物具有(或不具有)P,不完全归纳法:,例如,中学数学中从具体实数的运算概括出实数的运算律以及指数运算性质等的推理都是不完全归纳法,一些气象谚语、农业谚语、人们的养生之道等也是根据不完全归纳法得到的归纳推理的作用:数学学习中归纳的作用主要表现在启发解题思路,预测解题答案利用归纳法考察原问题的特殊情形,为我们提供信息,帮助从特殊性到普遍性的认识,指明探索方向,发现解题途径,类比推理类比推理是一种由特殊到特殊的推理,即根据两个(或两类)事物的某些相同或相似的性质,判断它们在别的性质上也可能相同或相似称为类比推理.
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- 数学 教学 课件 命题 论证
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