数学建模-如何提出假设.ppt
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1、3.如何作好建模过程中的假设,根据实际问题需要提出新的不同假设,实例 席位分配问题:甲,乙,丙三个公司各投资 103万元,63万元,34 万元组建联合企业集团。为了成立由 20 人组成的集团董事会,按 投资数比例分配 董事席位如下:甲公司 10人(20(103/(103+63+34)=2051.5%=10.3人),乙公司 6人(20(63/(103+63+34)=2031.5%=6.3人),丙公司 4人(20(34/(103+63+34)=2017%=3.4人)。,经一段时间后,委员会需要增加一个代表席位,变为 21人董事会,根据投资数比例分配办法,重新计算如下:甲公司 11人(2151.5%
2、=10.8 人),乙公司 7人(2131.5%=6.61 人),丙公司 3人(2117%=3.57 人)。,问题分析:“按投资数比例分配席位是科学合理”的说法,在增加 席位这一新问题上,显然是一个不成功的假设。需提出新的 假设,并建立新的席位分配模型,以期解决在增加代表人数时,某个单位不仅得不到代表增加数,反而减少原有代表数的问题。,出现 反常现象(Alabama Paradox)!,分配席位过程中,“公平”是一个原则。“公平”的数量化度量方法是考虑代表率。但由于人数需取整原因,不可能做到绝对公平,即绝对按代表率数值来分配整数席位是无法实施的,因此在评价两种都不是绝对公平的方案时,要对不公平程
3、度作出数量化度量,以不公平程度最小为取舍原则。,什么是一个方案的 不公平程度的数量度量?先研究只有两个公司的情况。如果已有分配方案:,公司 投资数 席位 代表率甲公司 p1 n1 p1/n1乙公司 p2 n2 p2/n2,假定 p1/n1 p2/n2,即对甲公司存在 不公平因素。借用数学中的有关概念,引入该方案的相对不公平值 r 来量化这个 不公平因素:,这时,若再增加一席,有两种方案:,甲 p1 n1+1 p1/(n1+1)乙 p2 n2 p2/n2 和 甲 p1 n1 p1/n1 乙 p2 n2+1 p2/(n2+1),它们各自有两个相对不公平值 r1 和 r2:,我们现在为了解决两公司情
4、况中增席而不发生反常现象(Alabama Paradox)的问题,认为“取相对不公平值为最小的方案来操作”是能够建立科学合理的席位分配模型的(一种新假设)。在这种最合理的假设下,我们的操作过程(建立模型过程)为比较 r1 和 r2 的大小:,如果 r1 r2,则给乙公司增席;如果 r 2 r1,则给甲公司增席。,若记,则“给甲公司增席”r1 r2,Q1 Q2.,称之为 Q 值(Quota),,上述建模方法因此称为“比较 Q 值大小法”,简称“Q值法”,,具体地说,就是在现有的席位分配状态下,各自计算Q值,哪个 Q 值大,就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案,可以 均取为一席,然后用上述Q值
5、法从第三席起进行增席操作,直止 所有席位分配完毕。这样建立的席位分配模型,显然能够解决 问题而不出现 Alabama Paradox。,这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。,例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题:,公司(投资数)席位数(Q值)甲公司(103万元)1(5304.5)2(1768.2)2(1768.2)乙公司(63万元)1(1984.5)1(1984.5)2(661.5)丙公司(34万元)1(578)1(578)1(578)3(884.1)4(530.5)4(530.5)4(530.5)2(661.5)2(661.5)3(330.8)3(330.8)1(578
6、)1(578)1(578)2(192.7)5(353.6)6(252.6)6(252.6)7(189.4)3(330.8)3(330.8)4(198.5)4(198.5)2(192.7)2(192.7)2(192.7)2(192.7)7(189.4)7(189.4)8(147.3)9(117.9)5(132.3)5(132.3)5(132.3)5(132.3)2(192.7)3(96.3)3(96.3)3(96.3)9(117.9)10(96.4)11(80.4)116(94.5)6(94.5)6(94.5)6 3(96.3)3(96.3)3(96.3)4,问题的最后答案是:甲公司 11席,乙
7、公司 6席,丙公司 4席。,从分配过程中可看到,实际上总共20个席位时,分配方案是(11,6,3),而不是(10,6,4),在此基础上再增一席,就变成了(11,6,4),我们称 Q值法,即分配方案的相对不公平值应最小,是建立 席位分配模型的一种 假设,而不是一种真理,这表明还可以提 出另外种种假设,从而可能得到席位分配模型的另外的解答方案。答案不唯一!这就是数学建模的魅力所在!,例如,在多公司席位分配问题中,有人认为衡量各种方案中不公 平程度最小的数量指标(建模的不同假设)是 rmax 最小值,从而得到一种称之为 rmax 最小法 的数学模型。,这种方法的操作过程是:设想将增加一席分别给某公司
8、,共有 若干个(n 个)方案,每个方案中公司与公司之间都可以算出 一个相对不公平值 r,一共可得到 n(n+1)/2 个 r 值,其中 最大的一个 r 值称为该方案的 rmax 值,在 n 个 rmax 值中最小 的值,称为 rmax 最小值(两极分化最小的模型是好模型),它所对应的分配方案就认为是相对而言最为公平合理的方案。,考察以下分配 13 个席位后,再增加一席时的操作实例:公司 投资数 已分配席位数 甲公司 25 2 乙公司 100 10 丙公司 14 1,p n p/n 25 3 8.33(1)100 10 10 rmax=(14-8.33)/8.33=0.68 14 1 14 p
9、n p/n 25 2 12.5(2)100 11 9.09 rmax=(14-9.09)/9.09=0.54 14 1 14 p n p/n 25 2 12.5(3)100 10 10 rmax=(12.5-7)/7=0.785 14 2 7,根据 rmax最小法,应取方案(2),即(2,11,1)为相对而言 最为“公平合理”的增席方案。,在此(2,10,1)的基础上,如果要增加一席有三种方案:,故根据 Q 值法,在(2,10,1)时,相应的 Q 值 分别为(104.1,90.9,98),故增一席时应取方案(1),即(3,10,1);而根据 按投资数比例法(140.179=2.506 3;14
10、0.719=10.07 10;140.101=1.41 1),也应取方案(1),即(3,10,1)!,该问题产生了两个相互矛盾但都为“正确”的解答!,应该注意到,,投资数比例值 此时 Q 值25/139=0.179 104.16100/139=0.719 90.914/139=0.101 98,在数学模型(高教出版社)第 55页习题 1中,还介绍了一种比利时大学生 Victor Dhondt 提出的 DHondt 法,请分析一下 他提出的方案公平(不公平)程度数量化方法(建模新假设)是 什么?这种方法是否可以解决增席问题?它与这里介绍的 Q值法 和 rmax最小法 在具体操作中是否会有不一样的
11、结果?如果有不一样的情况,则可以说明 Q值法、rmax最小 和 DHondt 法 是不一样的三种方法。(提示:考察三公司投资数分别为25,100,14;席位总数为 8 的 分配问题。Q 值法 结果是:1,6,1;rmax 最小法 结果是:2,5,1;DHondt 法 结果是:1,7,0。),你能提出第四种解决增席问题的方法吗?,2.模型假设的逐步完善与修改,实例 电饭锅销售量预测问题:根据某些统计数据寻求销售量 x 随时间 t 变化的曲线 x=x(t),从而给决策部门提供 销售预测信息,以便在最佳时间点 上推出新一代的产品。,假设:新产品面世一段时间内,任何时刻销售量关于时间的 增长率 是一常
12、数 r。,建模:记 x(t)为销售量,t 为时间。在某时刻起的某段时间间隔 内,由假设可得:,销售量 x 的 增长量 为 x(t+t)-x(t)=x(t);,单位时间的增长量为 单位时间的增长量为,这段时间间隔内平均增长率为,t 时刻的(瞬时)增长率为,由假设得模型:.,这里 x(0)=x0 为面世时的销售基数(可认为是为作广告的赠送 品数目)。,求解:x(t)=x0ert.,分析:将 t 离散化:t=1,2,3,4,.,记 er=q 1,则 x=x0 qn(n=1.2,3,).说明该模型曲线是一条几何增长曲线.在新产品面世初期,模型经检验有效.但持续一段时间后,显见不再有合理性.如销售量不能
13、无限制地增加,市场应有一个饱和度。如何修改模型使得销售中后期情况也能在模型里得到反映?,检视建模过程可以看出,应该修改假设的不合理处:当销售量增 加到一定量后,增长率不应该为常数,而应该逐渐减少。,假设的完善修改:假定任何时刻销售量对时间的增长率 r 是销售量 x(t)的递 减函数 r=r(x)。,这里 r0 为当x=0 的增长率(常数),称为固有增长率。k为待定常数。如设销售量的最大极限数为 xm(常数),则当 x=xm 时,r(xm)=0.由此,,这样,假设的数学表示式可写为:,再建模:,再求解:,为简单计,设增长率 r(x)是 x(t)的 线性减函数:r(x)=r0-kx,销售量 x(t
14、)随时间 t 变化的曲线,销售速度 x(t)随时间 t 变化的曲线,再分析:,由上面两图可知,(1)当 时,;,(2)当 t t*时,销售速度 x(t)不断递减;当 t=t*时,此时 x(t*)=xm/2,销售速度 x(t)达到最大值.,这个模型,可以适用于许多实际应用问题,数学上称它为 Logistic 模型。,3.模型假设的公理性,实例 多人合作所得合作效益的合理分配问题,问题:沿江有三个城市,相距分别为20公里和38公里。现在三个城市须建立污水处理厂,可各自单独建立,也可联合建立。为了讨论问题方便,规定只能将污水由上游送至下游。假定建厂费c1与管道费c2分别有经验核算公式:c1=73Q0
15、.712(千元),c2=0.66 Q0.51L(千元).其中Q(吨/秒)为污水排放速度;L(公里)为管道长。已知三城镇污水量为Q1=吨/秒,Q2=吨/秒,Q3=吨/秒,L的数值如图所示。试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案。如果联合建厂,各城镇如何分担费用?,河流,20km 38km,城 2的意见是:同意城3的建厂费分摊意见,但城 2 至城 3 的管道费 应按城 1 和城 2 的污水排放量比例 5:3 分摊,城 1至城 2 的管道费 应由城 1 单独承担.,城 1提不出什麽反对意见,但仔细算了一下,按此方案,自己要承担,建厂费 73(5+3+5)0.7125/13=174.2;,城 1
16、 至城 2 管道费 0.6650.5120=30;,城 2 至城 3 管道费 0.66(5+3)0.51385/8=42.55;,总计 需支出 174.2+30+42.55=246.7.,这个费用要大于自己单独建厂费用:7350.712=230.,管道费 应由城 1 和城 2 分摊(城3由于没有使用管道,不应分摊管道费);,城 3的意见是:建厂费 按各城污水排放量的比例 5:3:5 分摊,为了把解决问题的 原理 说清,不妨先看一个提法简单一些 的问题.,问题:甲乙丙三人经商。在单干时,每人各获利1元。甲乙合作,可获利7元;甲丙合作,可获利5元;乙丙合作,可获利4元。当甲 乙丙三人合作时,则可获
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