数学分析第四章课件微商与微分.ppt
《数学分析第四章课件微商与微分.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学分析第四章课件微商与微分.ppt(71页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、第四章 微商与微分,微商概念来自一个连续量随另一个速度量变化的“瞬时”变化率。,1 微商的概念及其计算,例1,变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,自由落体运动,求非均匀棒的密度(一点的线密度,这段的质量,这段上的平均密度,因而,例 2,说明,微商是一种特殊的极限,1 微商的定义,上面两个例子:虽然问题的具体意义不同,但仅从数量方面来看,它们都是利用函数的改变量与自变量的改变量之比(即函数的平均变化速度)的极限来刻画这个函数在一点的变化速度,抽象化的。,它们之比为,例3,的微商。,时,函数有改变量,它们之比为,注意到第三章第三节讲到的两个
2、重要的极限之一,就是,因此,当给自变量以改变量,例4,为曲线,上点,在,处的,法线方程为,处切线(如果存在)的斜率。,由此:曲线,切线方程为,2 微商的几何意义,开始,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,割线的极限位置切线位置,切 线:,求曲线,在对应于,处的切线方程和法线方程,例5,在上面的定
3、义4.1中,考虑,和,便有定义:,或写成,和,!给出了证不可导的有效方法,注:,3.可导与连续的关系,定理4.1,证:,设,在点 x 处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,4.微商的计算,原料,加工,产品,基本初等函数的微商公式,四则运算,复合运算,微商法则,初等函数的微商,(1)常值函数,(2),其中,是正整数,(3),正弦函数,与余弦函数,特别,(4)对数函数,基本初等函数的微商公式,微商的四则运算法则,由定理4.2可得,定理4.2,反函数微商法则,证明:由,在,附近连续且严格单调,则反
4、函数,在,点附近连续且严格单调。因此,若,则,,且当,时有,故由复合函数求极限法则得,。,定理4.3,(5),指数函数,:为,的反函数 而,(6)反三角函数,到此:第一步基本上完成(还差一点),核心,最重要:,链式法则:推广到多个。,复合函数求导法则,(7)幂函数,的微商,特别:,总结:,98页 微商公式表和运算法则。要求:熟记,设,(x-1),求,两边取对数得,解,上式两边对x求导得,例10,因此,设,,求,解 两边取对数,再两边对x求导得,故,例11,例10 和 例11 采用的方法也称为对数求导法,它简化求导运算。例11也可用链式法则求得。因为,,所以,函数,是初等函数,故在定义域内连续,
5、但,故,点不可导。当,时有,几何上表示曲线在x=1处的切线平行于y轴。,下面再举两个说明函数在一点连续但并不可导的例子。,例12,设,当,时,函数,是可导的:,显然,在,连续。由于极限,不存在,故,在,点不可导。我们知道,当,时,,不断地在1和-1之间摆动。从图形上看就是当Q点沿曲线趋于原点时,割线OQ在直线,之间摆动。,例13,注意,并不是割线不断摆动就无切线。例如函数,有,故,可见,在,点可导,事实上在0点割线的斜率,也是不断摆动的,但它有个极限位置 y=0.,2、微分概念及其计算,复习,1、可导和导数(微商)的概念,2、无穷小的比较,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学分析 第四 课件 微分

链接地址:https://www.31ppt.com/p-5985029.html