数值分析第5章1-3节.ppt
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1、1,第5章 解线性方程组的直接方法,2,5.1 引言与预备知识,引言,线性方程组的数值解法一般有两类:,1.直接法,经过有限步算术运算,可求得方程组精确解的方法(若计算过程中没有舍入误差).,但实际计算中由于舍入误差的存在和影响,这种方法也只能求得线性方程组的近似解.,3,2.迭代法,是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法.,4,向量和矩阵,用 表示全部 实矩阵的向量空间,表示全部 复矩阵的向量空间.,这种实数排成的矩形表,称为 行 列矩阵.,称为 维列向量.,5,其中 为 的第 列.,其中 为 的第 行.,也可写成行向量的形式,写成列向量的形式,6,(5)单位矩阵,矩阵的基本运算:
2、,(1)矩阵加法,(2)矩阵与标量的乘法,(3)矩阵与矩阵乘法,(4)转置矩阵,7,(6)非奇异矩阵,设,如果 存在,,则称 为非奇异矩阵.,如果 均为非奇异矩阵,,其中,如果,记为,且,则,(7)矩阵的行列式,设,则 的行列式可按任一行(或列)展开,,8,其中 为 的代数余子式,,行列式性质:,即,9,特殊矩阵,设,(1)对角矩阵,(2)三对角矩阵,(3)上三角矩阵,(4)上海森伯格(Hessenberg)阵,(5)对称矩阵,10,(6)埃尔米特矩阵,(7)对称正定矩阵,(8)正交矩阵,(9)酉矩阵,(10)初等置换阵,由单位矩阵 交换第 行与第 行(或交换第 列与第 列),得到的矩阵记为,
3、且,11,(11)置换阵,定理1,设,,(1)对任何 方程组 有惟一解.,(为交换 第 行与第 行得到的矩阵);,(为交换 第 列与第 列得到的矩阵);,由初等置换阵的乘积得到的矩阵.,则下述命题等价:,(2)齐次方程组 只有惟一解.,(4)存在.,(5)的秩,(3),12,定理2,设 为对称正定阵,则,(1)为非奇异矩阵,且 亦是对称正定阵.,(2)记 为 的顺序主子阵,则,亦是对称正定矩阵,,其中,(3)的特征值,(4)的顺序主子式都大于零,即,13,定理3,设 为对称矩阵.,或 的特征值,定理4(Jordan标准型),设 为 阶矩阵,则存在一个,非奇异矩阵 使得,如果,14,其中,为若当
4、(Jordan)块.,(1)当 的若当标准型中所有若当块 均为一阶时,,此标准型变成对角矩阵.,15,16,5.2 高斯消去法,17,高斯消去法,设有线性方程组,(2.1),或写为矩阵形式,18,简记为,例1,解,消去(2.4)中的未知数 得到,将方程(2.2)乘上 加到方程(2.4)上去,,第2步.,用消去法解方程组,第1步.,19,得到与原方程组等价的三角形方程组,显然,方程组(2.6)是容易求解的,解为,上述过程相当于,20,其中用 表示矩阵的第 行.,由此看出,用消去法解方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原方程组 化为与其等价的三角形方程组,而求解三角形方程组可用回代的方法.,
5、上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式(上三角矩阵),从而将求解原方程组(2.1)的问题转化为求解简单方程组的问题.,21,或者说,对系数矩阵 施行一些左变换(用一些简单矩阵)将其约化为上三角矩阵.,下面讨论求解一般线性方程组的高斯消去法.,将(2.1)记为,(1)第1步,设 首先计算乘数,其中,22,得到与(2.1)等价的方程组,(2.7),简记为,其中 的元素计算公式为,23,(2)第 次消元,设上述第1步,第 步消元过程计算已经完成,,(2.8),即已计算好与(2.1)等价的方程组,简记为,24,设 计算乘数,加到第 个方程,用 乘(2.8)的第 个方程,,消去从第 个
6、方程到第 个方程中的未知数 得到与,元素的计算公式为,显然 中从第1行到第 行与 相同.,(2.1)等价的方程组,(2.9),25,(3)继续上述过程,且设,直到完成第 步消元计算.,最后得到与原方程组等价的简单方程组,其中 为上梯形.,特别当 时,与原方程组等价的方程组为,即,(2.10),26,如果 是非奇异矩阵,且,由(2.1)约化为(2.10)的过程称为消元过程.,求解三角形方程组(2.10),得到求解公式,(2.11),(2.10)的求解过程(2.11)称为回代.,如果 由于 为非奇异矩阵,所以 的第一列一定有元素不等于零.,27,例如 于是交换两行元素(即),将 调到(1,1)位置
7、,然后进行消元计算,这时 右下角矩阵为 阶非奇异矩阵.,继续这过程,高斯消去法照样可进行计算.,28,定理5,设 其中,(a)消元计算,且计算公式如下:,29,(b)回代计算,(2)如果 为非奇异矩阵,则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组 约化为(2.10).,30,算法1(高斯算法),对于,(1)如果 则计算停止,(2)对于,(a),(b)对于,31,当 时,总共大约需要 次乘法运算.,数 称为约化的主元素.,算法2(回代算法),本算法计算 的解.,对于,(1),算法1第 步需要作 次除法,次乘法,因此,本算法(从第1步到第 步消元计算总的计算量)大约需要 次乘法(对相当大的)
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