控制工程基础ppt课件第六章线性离散系统与Z变换.ppt

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1、9/10/2023,1,第六章 线性离散系统与z变换,二、采样过程与采样定理,三、Z变换与Z反变换,四、脉冲传递函数,五、离散系统的稳定性分析,六、数字控制器与离散PID控制,一、概述,七、小结,9/10/2023,2,第六章 线性离散系统与z变换,一、概述,连续系统与离散系统,连续控制系统系统中各部分传递的信号为随时间连续变化的信号。连续控制系统通常采用微分方程描述。,离散控制系统系统中某一处或多处的信号为脉冲序列或数字量传递的系统。离散控制系统通常采用差分方程描述。,9/10/2023,3,第六章 线性离散系统与z变换,离散控制系统的分类,采样控制系统,间断地对系统中某些变量进行测量和控制

2、。,sa 受某一信号控制，使其短暂接通后立即断开。采样开关接通的时间间隔可以相等，亦可不等，相等时称为均匀采样。,9/10/2023,4,第六章 线性离散系统与z变换,连续信号(t)经采样开关后成为离散信号*p(t)。该过程称为采样，相应离散控制系统称为采样控制系统。,采样控制系统的特点：采样开关闭合时，系统处于闭环工作状态，断开时处于开环状态。,9/10/2023,5,第六章 线性离散系统与z变换,采样控制最早出现于某些大惯性或具有较大滞后特性的对象控制中。,例如，工业炉温度控制系统。工业炉可以视为具有延迟时间 的惯性环节，其延迟时间可长达数秒甚至数十秒，惯性时间常数也相当大，采用常规控制无

3、法解决控制精度与动态性能之间的矛盾，而采用采样控制将取得良好的控制效果：可以取较大的开环增益保证稳态精度，又可抑制系统调节过头产生大幅振荡。,9/10/2023,6,第六章 线性离散系统与z变换,数字控制系统,系统中含有数字计算机或数字编码元件。,图中，A/D：模拟信号至数字信号转换器；D/A：数字信号至模拟信号转换器。,9/10/2023,7,第六章 线性离散系统与z变换,A/D转换,9/10/2023,8,第六章 线性离散系统与z变换,D/A转换,9/10/2023,9,第六章 线性离散系统与z变换,图中，sa 与sb同步开关。保持器：实现信号复现。将离散信号恢 复为模拟信号。,9/10/

4、2023,10,第六章 线性离散系统与z变换,9/10/2023,11,第六章 线性离散系统与z变换,离散控制系统的特点,采样信号特别是数字信号可以有效抑制噪声，从而提高系统抗干扰能力；,由计算机构成的数字控制器，控制规律由软 件实现，易于改变，控制灵活，且效果优于 连续式控制。,允许采用高灵敏度控制元件，提高控制精度。,可实现分时控制若干系统，提高设备利用率。,对大延迟系统可以引入采样方式稳定。,可以实现各种先进控制方式。,9/10/2023,12,第六章 线性离散系统与z变换,离散控制系统的研究方法,差分方程,z变换,经过 z 变换处理后的离散系统，可以将连续系统的分析方法经过适当改变应用

5、于离散系统的分析和设计。,状态空间,虽然采样控制系统和数字控制系统的构成及部件存在基本区别，但其分析和设计方法相同。,9/10/2023,13,第六章 线性离散系统与z变换,二、采样过程与采样定理,采样过程,设 sa 每隔时间T接通一次，接通时间为，并满足T。T 称为采样周期。其倒数称为采样频率。,由于T，故可近似认为在 时间间隔内，输出维持不变。,9/10/2023,14,第六章 线性离散系统与z变换,从而：,当 T，且远远小于离散系统连续部分的时间常数时，可近似认为 0。从而有：,9/10/2023,15,第六章 线性离散系统与z变换,注意到：,从而：,9/10/2023,16,第六章 线

6、性离散系统与z变换,令：,可见，采样过程可理解为脉冲调制过程，即连续输入信号 x(t)对周期的理想脉冲载波信号进行调制，调制后在nT 时刻的脉冲强度为x(nT)。,注意到：,因此，采样开关结构图可表示为：,9/10/2023,17,第六章 线性离散系统与z变换,显然由 X*(s)可以直接看出x*(t)的时间响应。,但须注意，由于 x*(t)只描述了 x(t)在采样瞬时的数值，故 X*(s)不能给出 x(t)在采样间隔之间的信息。此外也不能认为x*(t)在采样间隔内数值为0。,上述分析过程中，假设了：x(t)=0，t 0，该条件对实际控制系统通常都是满足的。,对x*(t)=x(t)T(t)进行拉

7、氏变换：,9/10/2023,18,第六章 线性离散系统与z变换,采样定理,x*(t)只给出了x(t)在时域的部分信息，为了能从x*(t)不失真地恢复出原始的连续信号x(t)，采样间隔（采样频率）需要满足一定的条件。,9/10/2023,19,第六章 线性离散系统与z变换,由上述时域采样图形分析可见：对单个连续正弦信号进行采样，采样频率不 能低于信号频率的两倍；,对多个正弦信号叠加组成的信号进行采样，采样频率不能低于信号中最高频率的两倍。,9/10/2023,20,第六章 线性离散系统与z变换,工程中的连续信号 x(t)都可以通过傅立叶级数或傅立叶变换展开为多个或无穷个正弦信号分量的叠加，即信

8、号的频域描述(频谱)。,如对周期为T0的信号x(t)，其傅立叶级数展开,9/10/2023,21,第六章 线性离散系统与z变换,如非周期信号x(t)，其傅立叶变换对为,9/10/2023,22,第六章 线性离散系统与z变换,根据前述时域采样的分析，若连续信号 x(t)不包含任何大于 max 的频率分量(带限信号)，则为了能从采样信号x*(t)无失真地恢复出原始的连续信号x(t)，采样频率s必须满足：s 2max（或：fs 2fmax）此即为香农采样定理。,实际采样时，fs常取为信号最高频率的34倍。,9/10/2023,23,第六章 线性离散系统与z变换,信号恢复,9/10/2023,24,第

9、六章 线性离散系统与z变换,由图可见，采样信号x*(t)的频谱X*()是以采样角频率 s 为周期的无穷多个原连续信号x(t)的频谱 X()幅值变化了1/T 倍，并沿频率轴平移了ns后的和。n=0处的频谱称为采样信号频谱的主分量，ns(n 0)处的频谱为采样引起的高频辅助分量。,易见，若采样信号x*(t)满足采样定理，则通过截止频率为s/2的理想低通滤波器可准确地恢复出原始信号x(t)的频谱 X()，即恢复出x(t)。,9/10/2023,25,第六章 线性离散系统与z变换,实际滤波器不可能具有理想的频率截止特性，即理想滤波器是不存在的。工程中通常通过保持器（低通滤波器）来恢复连续信号x(t)。

10、,保持器数学描述,从采样过程可知，在采样时刻上，脉冲序列的脉冲强度等于连续信号的幅值，但在两个相邻的采样时刻之间，连续信号的幅值未知，只能根据采样时刻的脉冲强度进行插值或外推。,9/10/2023,26,第六章 线性离散系统与z变换,保持器就是实现外推功能的一种装置。能够物理实现的保持器只能根据现在时刻和过去时刻的采样值完成外推，而不能根据将来时刻的采样值完成外推。,保持器的外推规律通常用多项式关系描述：,其中，0tT。系数 a0am 由过去m+1个采样值x*(n-m)T x*(nT)确定。m称为保持器的阶次。,9/10/2023,27,第六章 线性离散系统与z变换,零阶保持器,零阶保持器的外

11、推公式为：,即零阶保持器按常值外推，将前一采样时刻nT 的采样值 x*(nT)一直保持到下一采样时刻(n+1)T 到来之前，从而使离散采样信号 x*(t)变成阶梯连续信号xh(t)。,9/10/2023,28,第六章 线性离散系统与z变换,若将上述阶梯信号xh(t)的中点连接起来，即可得到与连续信号 x(t)形状一致但滞后半个采样周期的响应x(t-T/2)。,注意到：,9/10/2023,29,第六章 线性离散系统与z变换,若考虑保持器串接于采样器之后，并考虑保持器的输入为x*(t)，即将采样器中的考虑到保持器中去：,9/10/2023,30,第六章 线性离散系统与z变换,从而由：,可得结合后

12、零阶保持器的传递函数：,因此，分析采样控制系统时，若保持器的传递函数表示为上述形式，则采样信号将直接表示为x*(t)，而不必考虑 的影响。,9/10/2023,31,第六章 线性离散系统与z变换,零阶保持器的频率特性：,9/10/2023,32,第六章 线性离散系统与z变换,零阶保持器的特点：,非理想的低通滤波器。允许部分高频分量 通过，导致恢复出的连续信号存在纹波。,时间延迟特性。延迟时间为 T/2，使系统 相角滞后加大，对稳定性不利。,相位滞后是各阶保持器的共性，与一阶及高阶保持器相比，零阶保持器具有最小的相位滞后，且结构简单，易于实现，因此，实际系统普遍采用零阶保持器。,9/10/202

13、3,33,第六章 线性离散系统与z变换,Z变换,三、Z变换与Z反变换,考虑连续信号x(t)(x(t)=0，t0)，其采样后的离散信号：,显然，离散信号x*(t)的拉氏变换为s的超越函数。,令：或,9/10/2023,34,第六章 线性离散系统与z变换,显然，z是复变量，通常称为z变换算子。,采样信号x*(t)的z变换定义为：,记作：,注意：上式中，Z x(t)只是为了书写方便，并不是指连续信号x(t)的z变换。z变换又称为采样拉氏变换。,9/10/2023,35,第六章 线性离散系统与z变换,z变换的方法,根据定义求解 级数求和法,例1 求单位阶跃函数1(t)的z变换。,解：,注意到：,9/1

14、0/2023,36,第六章 线性离散系统与z变换,例2 求理想脉冲序列T(t)的z变换。,由例1、例2 可见相同的z 变换对应于相同的采样信号x*(t)，但不一定对应于相同的原始连续信号x(t)。,9/10/2023,37,第六章 线性离散系统与z变换,例3 求指数函数x(t)=e-at(a0)的z变换。,解：,根据定义求得的z变换为无穷级数形式，对于常用函数z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。,9/10/2023,38,第六章 线性离散系统与z变换,z变换的无穷级数形式具有明显的物理意义：z-n(n=0,1,2,)的系数直接表示连续时间函数在各采样时刻上的采样值，而指数n表示从t=0开始

15、，以采样周期T为间隔的各个采样时刻nT。,因此，z变换含有时间的概念，可由连续函数z变换的无穷级数形式清楚地看出其在各采样时刻上的采样序列的分布情况。,9/10/2023,39,第六章 线性离散系统与z变换,部分分式法,步骤：求已知连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)；,将X(s)展开为部分分式形式，使每一部分 分式对应简单的时间函数，求得其相应的 z 变换；,将各部分的z 变换相加获得x(t)的z变换。,9/10/2023,40,第六章 线性离散系统与z变换,例4 已知连续函数的拉氏变换：求相应的z变换。,9/10/2023,41,第六章 线性离散系统与z变换,例5 求 x(t)=sint

16、 的z变换。,解：,9/10/2023,42,第六章 线性离散系统与z变换,留数计算法,若已知：,则：,9/10/2023,43,第六章 线性离散系统与z变换,例6 求单位速度函数x(t)=t(t 0)的z变换。,9/10/2023,44,第六章 线性离散系统与z变换,其它方法,例7 求 x(t)=cost 的z变换。,解：,9/10/2023,45,第六章 线性离散系统与z变换,例8 求单位阶跃函数的z变换。,解：由于,9/10/2023,46,第六章 线性离散系统与z变换,z变换的性质,线性性 Zax1(t)+bx2(t)=aZx1(t)+bZx2(t)其中a、b为常数。,时域位移定理,其

17、中k为正整数。,滞后定理,超前定理,9/10/2023,47,第六章 线性离散系统与z变换,证明：,当m0时，x(mT)=0,9/10/2023,48,第六章 线性离散系统与z变换,9/10/2023,49,第六章 线性离散系统与z变换,复域位移定理,初值定理,终值定理,若x(nT)(n=0,1,2,)均为有限值，则：,x(nT)(n=0,1,2,)均为有限值也可表述为：(z-1)X(z)的全部极点位于z平面的单位圆内。,9/10/2023,50,第六章 线性离散系统与z变换,证明：,又由时域位移定理：,即：,因此：,9/10/2023,51,第六章 线性离散系统与z变换,注意到：,所以：,9

18、/10/2023,52,第六章 线性离散系统与z变换,卷积定理,x(nT)与y(nT)离散卷积定义为：,则：,9/10/2023,53,第六章 线性离散系统与z变换,证明：,9/10/2023,54,第六章 线性离散系统与z变换,Z反变换,x(nT)=Z-1X(z),Z反变换的信号序列仍是单边的，即当n0时，x(nT)=0。,Z反变换的方法,幂级数展开法 长除法,将X(z)展开为z-1的幂级数。,通常X(z)可表示为按z-1升幂排列的有理分式：,9/10/2023,55,第六章 线性离散系统与z变换,通过长除法可得到按z-1升幂排列的展开式：,若上式幂级数收敛，则按Z变换的定义，式中的系数cn

19、(n=0,1,2,)即为采样序列x*(t)在各采样时刻的脉冲强度，即：,实际应用中，一般只需计算有限几项cn。,9/10/2023,56,第六章 线性离散系统与z变换,解：将X(z)表示为：,9/10/2023,57,第六章 线性离散系统与z变换,9/10/2023,58,第六章 线性离散系统与z变换,即：,由此可得：,幂级数展开法简单易行，但一般很难得到x(nT)的通式表达。,9/10/2023,59,第六章 线性离散系统与z变换,部分分式法 查表法,将X(z)表示为部分分式，再查表获得x*(t)。,由于X(z)的分子中通常含有因子z，因此实际运算时，将X(z)/z展开为部分分式，即：,从而

20、：,无重极点,9/10/2023,60,第六章 线性离散系统与z变换,例2 已知：求X(z)的Z反变换。,解：,9/10/2023,61,第六章 线性离散系统与z变换,留数计算法,两端同时乘以z n-1，得：,上式为罗朗级数，x(nT)为z-1项系数。根据复变函数中求罗朗级数系数的公式，得：,其中，为z平面上包围X(z)z n-1全部极点的封闭曲线。,9/10/2023,62,第六章 线性离散系统与z变换,根据柯西留数定理，有：,即x(nT)等于X(z)z n-1在其所有极点zi上的留数之和。,若zi为X(z)z n-1的ri阶重极点，则：,9/10/2023,63,第六章 线性离散系统与z变

21、换,解：,例3 已知：求X(z)的反变换。,9/10/2023,64,第六章 线性离散系统与z变换,所以：,9/10/2023,65,第六章 线性离散系统与z变换,解：,例4 已知：求X(z)的反变换。,注意到上式当n=0时，存在z0的极点，而当n0后，该极点消失。,当n=0时：,9/10/2023,66,第六章 线性离散系统与z变换,9/10/2023,67,第六章 线性离散系统与z变换,所以：,9/10/2023,68,第六章 线性离散系统与z变换,Z变换及反变换只反映X(z)与x*(t)间的关系；,关于Z变换与反变换的说明,对于连续时间函数而言，Z变换及Z 反变换都不是唯一的。,为了全面

22、描述 Z 反变换后x*(t)的函数特性，可以令采样周期T0。,9/10/2023,69,第六章 线性离散系统与z变换,采样系统的数学模型差分方程,微分与差分,微分：dx(t)=x(t)dt,一阶前向差分：x(n)=x(n+1)-x(n),一阶后向差分：x(n)=x(n)-x(n-1),省略采样周期T,9/10/2023,70,第六章 线性离散系统与z变换,高阶差分,二阶前向差分：2x(n)=x(n)=x(n+1)-x(n)=x(n+2)-2x(n+1)+x(n),二阶后向差分：2x(n)=x(n)=x(n)-x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2),k阶前向差分：kx(n)=k-1

23、x(n+1)-k-1x(n),k阶后向差分：kx(n)=k-1x(n)-k-1x(n-1),9/10/2023,71,第六章 线性离散系统与z变换,前向差分,差分的Z变换,Zx(n)=Zx(n+1)-x(n)=(z-1)X(z)-zx(0),Z2x(n)=(z-1)2X(z)-z(z-1)x(0)-zx(0),其中：,Z变换中因子(z-1)与拉氏变换中s的作用相同。,9/10/2023,72,第六章 线性离散系统与z变换,后向差分,9/10/2023,73,第六章 线性离散系统与z变换,采样系统的数学模型差分方程,微分与差分,微分：dx(t)=x(t)dt,一阶前向差分：x(n)=x(n+1)

24、-x(n),一阶后向差分：x(n)=x(n)-x(n-1),省略采样周期T,9/10/2023,74,第六章 线性离散系统与z变换,高阶差分,二阶前向差分：2x(n)=x(n)=x(n+1)-x(n)=x(n+2)-2x(n+1)+x(n),二阶后向差分：2x(n)=x(n)=x(n)-x(n-1)=x(n)-2x(n-1)+x(n-2),k阶前向差分：kx(n)=k-1x(n+1)-k-1x(n),k阶后向差分：kx(n)=k-1x(n)-k-1x(n-1),9/10/2023,75,第六章 线性离散系统与z变换,前向差分,差分的Z变换,Zx(n)=Zx(n+1)-x(n)=(z-1)X(z

25、)-zx(0),Z2x(n)=(z-1)2X(z)-z(z-1)x(0)-zx(0),其中：,Z变换中因子(z-1)与拉氏变换中s的作用相同。,9/10/2023,76,第六章 线性离散系统与z变换,后向差分,9/10/2023,77,第六章 线性离散系统与z变换,差分方程,例：微分方程的离散化,差分方程,9/10/2023,78,第六章 线性离散系统与z变换,一般，n阶离散系统的前向差分方程为：,初始条件为：y(i)=yi(i=0 n-1)x(i)=xi(i=0 m-1),n阶离散系统的后向差分方程为：,初始条件为：y(k)=x(k)=0(k0)。,9/10/2023,79,第六章 线性离散

26、系统与z变换,差分方程的求解,迭代法,根据给定的初值，利用差分方程的递推关系，迭代求出输出序列。,例1 已知差分方程 y(k)5y(k-1)+6y(k-2)=x(k)输入序列x(k)1，初始条件为y(k)=0(k 0)，求输出y(k)(k05)。,9/10/2023,80,第六章 线性离散系统与z变换,解：y(k)x(k)+5y(k-1)-6y(k-2),y(0)x(0)+5y(-1)-6y(-2)=1,y(1)x(1)+5y(0)-6y(-1)=6,y(2)x(2)+5y(1)-6y(0)=25,y(3)x(3)+5y(2)-6y(1)=90,y(4)x(4)+5y(3)-6y(2)=301

27、,y(5)x(5)+5y(4)-6y(3)=966,9/10/2023,81,第六章 线性离散系统与z变换,Z变换法,对差分方程两端取Z变换，利用时域位移定理，得到关于z 的代数方程，求得Y(z)后，通过Z反变换得到输出序列y(k)。,例2 已知差分方程 y(k)5y(k-1)+6y(k-2)=x(k)输入序列x(k)1，初始条件为y(k)=0(k 0)，求输出y(k)。,9/10/2023,82,第六章 线性离散系统与z变换,解：对方程两端进行Z变换：,Zy(k)5y(k-1)+6y(k-2)=Zx(k),Y(z)5z-1Y(z)+6z-2Y(z)=X(z),9/10/2023,83,第六章

28、 线性离散系统与z变换,例3 已知差分方程 y(k+2)5y(k+1)+6y(k)=0初始条件为y(0)=0，y(1)=1，求输出y(k)。,解：对方程两端进行Z变换：,Zy(k+2)5y(k+1)+6y(k)=0,9/10/2023,84,第六章 线性离散系统与z变换,四、脉冲传递函数,脉冲传递函数的定义,脉冲传递函数：零初始条件下，输出采样信号xo*(t)的z变换与输入采样信号xi*(t)的z变换之比。记为：,9/10/2023,85,第六章 线性离散系统与z变换,零初始条件：xo(t)=xi(t)=0(t0)或：xo(kT)=xi(kT)=0(k0),实际系统的输出往往是连续信号，即采样

29、开关s2不存在，此时，可以在输出端虚设一采样开关，并使其与输入采样开关s1同步，以考察连续输出在各采样时刻的状态。,9/10/2023,86,第六章 线性离散系统与z变换,脉冲传递函数的意义,前述已知，对线性连续系统，输出y(t)与输入x(t)之间满足：,式中，当t 0时，g(t)=x(t)=0。g(t)L-1G(s)为系统的脉冲响应函数。,9/10/2023,87,第六章 线性离散系统与z变换,对图示采样系统，直接作用于系统连续部分的信号为：,从而：,9/10/2023,88,第六章 线性离散系统与z变换,因此，输出量在采样时刻的值为：,即：,g(t)=0,if t0,9/10/2023,8

30、9,第六章 线性离散系统与z变换,即脉冲传递函数为系统单位脉冲响应序列g(kT)的z变换。通常简记为：,从而：,G(z)=Zg(t)=ZL-1G(s)=ZG(s),需注意：,9/10/2023,90,第六章 线性离散系统与z变换,若系统差分方程为：,则当y(k)=x(k)=0(k0)时，两端进行z变换可得：,由于：,即xo(kT)为不同时刻的输入脉冲通过g(k-n)T加权后的和，因此，g(kT)通常称为加权序列。,9/10/2023,91,第六章 线性离散系统与z变换,若系统差分方程为：,当y(0)=y(1)=y(n-1)=0，x(0)=x(1)=x(m-1)=0时，两端进行z变换可得：,9/

31、10/2023,92,第六章 线性离散系统与z变换,环节串联时的脉冲传递函数,离散系统中环节相互串联时，由于采样开关的位置和数目不同，求得的等效脉冲传递函数也不相同。,串联环节之间有采样器,9/10/2023,93,第六章 线性离散系统与z变换,因此：,即当两环节之间存在采样开关时，等效脉冲传递函数等于两环节脉冲传递函数的乘积。,同理：n 个环节相串联时，若相邻环节间均存在同步采样器，则等效脉冲传递函数等于 n 个环节脉冲传递函数的乘积。,9/10/2023,94,第六章 线性离散系统与z变换,串联环节之间无采样器,与G1(z)G2(z)相区别,即当两环节之间无采样开关时，等效脉冲传递函数等于

32、两环节传递函数相乘后相应的脉冲响应函数的z变换。,9/10/2023,95,第六章 线性离散系统与z变换,例1 已知采样系统方框图如下：,其中：,比较有s2与无s2时，系统的脉冲传递函数。,9/10/2023,96,第六章 线性离散系统与z变换,解：1）有s2时,9/10/2023,97,第六章 线性离散系统与z变换,2）无s2时,显然，G1(z)G2(z)G1G2(z)。尽管如此，易见采样开关只影响脉冲传递函数的零点。,9/10/2023,98,第六章 线性离散系统与z变换,例2 已知采样系统方框图如下：,其中：,求系统的脉冲传递函数。,9/10/2023,99,第六章 线性离散系统与z变换

33、,解：此系统为有零阶保持器的系统。,由于e-sT为延迟一个采样周期的延迟环节，因此，e-sTG1(s)/s对应的时域输出比 G1(s)/s 对应的时域输出延迟了一个采样周期。,9/10/2023,100,第六章 线性离散系统与z变换,根据z变换的时域滞后定理，有：,9/10/2023,101,第六章 线性离散系统与z变换,闭环系统的脉冲传递函数,由于采样器位置可变，因此闭环离散系统没有唯一的结构图形式。,考虑常见的偏差采样闭环离散系统：,9/10/2023,102,第六章 线性离散系统与z变换,由图可知：Xo(s)G(s)*(s),B(s)H(s)Xo(s),(s)Xi(s)-B(s)=Xi(

34、s)-H(s)G(s)*(s),两边取z变换：,(z)Xi(z)-HG(z)(z),因此：,9/10/2023,103,第六章 线性离散系统与z变换,输入作用下的偏差脉冲传递函数为：,与连续系统类似，闭环离散系统的特征方程定义为：D(z)1+GH(z)=0,其中，GH(z)为该闭环离散系统的开环脉冲传递函数。,所以，闭环脉冲传递函数为：,9/10/2023,104,第六章 线性离散系统与z变换,需注意：,采用上述类似分析方法，可求得采样器位于其它位置时系统的闭环脉冲传递函数。,但只要偏差信号(t)处无采样开关，则输入信号xi*(t)(包括虚构的xi*(t)便无法获得，从而不可能获得闭环离散系统

35、对输入量的脉冲传递函数，尽管如此，仍有可能求出输出采样信号的 z 变换Xo(z)。,9/10/2023,105,第六章 线性离散系统与z变换,例如 考虑如下闭环离散系统：,Xo(s)G(s)Xi(s)-G(s)H(s)Xo*(s),Xo(z)XiG(z)-GH(z)Xo(z),9/10/2023,106,第六章 线性离散系统与z变换,离散系统的过渡过程分析,基本方法：z反变换法求输出序列xo*(t)。,单位阶跃响应,9/10/2023,107,第六章 线性离散系统与z变换,解：,9/10/2023,108,第六章 线性离散系统与z变换,按照采样点估算的近似性能指标：tr2stp4sts12sM

36、p40%,9/10/2023,109,第六章 线性离散系统与z变换,采样器与保持器对动态性能的影响,考虑上例，若无采样器与保持器，则系统为连续二阶系统，闭环传递函数为：,若无采样器，只有保持器，闭环传递函数为：,9/10/2023,110,第六章 线性离散系统与z变换,若只有采样器，无保持器，闭环脉冲传递函数为：,9/10/2023,111,第六章 线性离散系统与z变换,采样器使系 统快速性提 高，稳定性 降低；但对 大延迟系统，适当选择采 样周期可提 高稳定性。,保持器使系统快速性和稳定性均降低。,9/10/2023,112,第六章 线性离散系统与z变换,采样周期对动态性能的影响,采样周期越

37、大，快速性改善越好，但超调越大。,9/10/2023,113,第六章 线性离散系统与z变换,离散系统的稳态误差,离散系统没有唯一的典型结构，给不出统一的误差脉冲传递函数形式，因而，其稳态误差需要针对不同形式的离散系统进行求取。,离散系统的稳态误差通常利用 z 变换的终值定理进行求解，所获得的误差是离散系统在采样瞬时的误差。,离散系统稳态误差除与系统本身的结构、参数及输入形式有关外，还与采样周期 T 有关。,9/10/2023,114,第六章 线性离散系统与z变换,例1：求图示系统在单位阶跃、单位速度以及单位加速度输入下的稳态误差，其中采样周期T=1s。,9/10/2023,115,第六章 线性

38、离散系统与z变换,解：图示系统为单位反馈系统，误差信号等于偏差信号，从而，可求得输入作用下的误差脉冲传递函数为：,9/10/2023,116,第六章 线性离散系统与z变换,1）单位阶跃输入时,9/10/2023,117,第六章 线性离散系统与z变换,2）单位速度输入时,9/10/2023,118,第六章 线性离散系统与z变换,3）单位加速度输入时,9/10/2023,119,第六章 线性离散系统与z变换,离散系统的型别与静态误差系数,离散系统的型别按照开环脉冲传递函数所具有的 z1的极点数v 进行划分。与连续系统类似，v0，1，2，的系统分别称为0型、I型、II型系统等。,9/10/2023,

39、120,第六章 线性离散系统与z变换,稳态位置误差系数,9/10/2023,121,第六章 线性离散系统与z变换,稳态速度误差系数,9/10/2023,122,第六章 线性离散系统与z变换,稳态加速度误差系数,9/10/2023,123,第六章 线性离散系统与z变换,五、离散系统的稳定性分析,s平面到z平面的映射,显然：,即z平面上的单位圆对应s平面的虚轴，单位圆内部对应左半s平面，外部对应右半s平面。,9/10/2023,124,第六章 线性离散系统与z变换,9/10/2023,125,第六章 线性离散系统与z变换,注意到argz=T，若=0，当由-/T至/T变化时，z平面上的相应点从-逆时

40、针变换到(逆时针转一圈)。,通常将-/T/T称为主频带。,当由/T至3/T变化时，z平面上相应点再次逆时针转过一圈。,因此，由-至变化时，z平面上的相应点沿单位圆转过无穷圈。,9/10/2023,126,第六章 线性离散系统与z变换,离散系统稳定的充要条件,离散系统稳定的充要条件：离散系统闭环特征方程的所有特征根 zi 1(i=1,2,3,n)均位于 z 平面的单位圆内，即|zi|1。,应用劳斯判据判别离散系统的稳定性,劳斯判据只能用来判别复变量 s 的代数方程的根是否在虚轴的左面，不能判别特征根的模是否小于 1。,9/10/2023,127,第六章 线性离散系统与z变换,考虑如下的双线性变换

41、（w变换）,为此，需要对离散系统的特征方程进行坐标变换，将 z 平面的单位圆映射为另一复平面的虚轴，单位圆内部映射到该平面虚轴的左面。,令z=x+jy，w=u+jv，则：,9/10/2023,128,第六章 线性离散系统与z变换,显然：,注意到：,9/10/2023,129,第六章 线性离散系统与z变换,即双线性变换将 z 平面的单位圆映射到 w 平面的虚轴，单位圆内部映射到 w 平面虚轴的左面。,9/10/2023,130,第六章 线性离散系统与z变换,双线性变换（w变换）也可采用：,9/10/2023,131,第六章 线性离散系统与z变换,解：由系统结构图有：,9/10/2023,132,

42、第六章 线性离散系统与z变换,系统特征方程为：1G(z)=0,即：,T=1s时，,令：,得：,9/10/2023,133,第六章 线性离散系统与z变换,根据劳斯判据，易知系统稳定时，要求：,即当 0 K 5.82 时，系统稳定。,此例对应的连续系统为二阶系统，对任意K值，连续系统均稳定，但离散化后，系统可能会成为不稳定系统。,9/10/2023,134,第六章 线性离散系统与z变换,例2：分析采样周期T对图示系统稳定性的影响。,解：由系统结构图有：,9/10/2023,135,第六章 线性离散系统与z变换,系统特征方程为：1G(z)=0,即：,令：,得：,9/10/2023,136,第六章 线

43、性离散系统与z变换,若T2s，得：0 K 1.45,系统稳定时，要求：,若T0s，系统变为连续系统，对任意K系统均稳定。,若T1s，得：0 K 2.39,若T0.5s，得：0 K 4.36,结论：增大采样周期将降低系统的稳定性。,9/10/2023,137,第六章 线性离散系统与z变换,六、数字控制器与离散PID控制,离散控制系统的设计方法,采用连续系统的设计方法 根据数字部分的等效连续环节，应用连续 系统理论设计校正装置，再将校正装置离 散化。如在s域或w域应用对数频率特性法 设计、在z域应用根轨迹法设计等。,直接数字设计法,如最少拍系统的设计。,9/10/2023,138,第六章 线性离散

44、系统与z变换,采样周期T的确定,采样周期 T 对离散控制系统的稳定性和稳态精度均有影响。由采样定理，T 越小越利于采样信号的恢复，此时，系统的稳定性和稳态精度也越好，但数字控制器的计算量和存储量也相应加大。,采样周期T的选择还应考虑下述因素：,T 应远小于受控对象的时间常数以保证采 样信号较好地反映系统地瞬态过程；,9/10/2023,139,第六章 线性离散系统与z变换,具有纯时间延迟环节的系统，当延迟时间 较大时，一般应取：T=(1/41/8)；,若系统执行器的响应速度较慢，则无必要 选择较短的采样周期；,性能价格比的因素。较短的采样周期要求 较高的计算机运算速度和 A/D、D/A 转换

45、速度；,数据采集通道或控制回路较多时，采样周 期应稍长。,9/10/2023,140,第六章 线性离散系统与z变换,对工业过程控制系统，采样周期常按下表的经验值选取：,9/10/2023,141,第六章 线性离散系统与z变换,对随动（伺服）系统，采样周期除要满足采样定理外，主要根据系统的闭环带宽频率选择b(c)，通常取采样频率 s 20b。,若系统有零阶保持器，还应考虑其相角滞后对系统稳定性的影响。此时采样频率可取：,零阶保持器在系统带宽内造成的最大相角滞后为：-T/2，即：-9-18,9/10/2023,142,第六章 线性离散系统与z变换,数字控制器的脉冲传递函数,9/10/2023,14

46、3,第六章 线性离散系统与z变换,对单位反馈系统：,或,显然，此时：,若已知G(z)，并由系统性能指标要求确定出希望的闭环脉冲传递函数(z)或(z)，则可根据上式确定出数字控制器的脉冲传递函数D(z)。,9/10/2023,144,第六章 线性离散系统与z变换,数字控制器的物理可实现条件,数字控制器的输出只与现在时刻和(或)过去时刻的输入信号及输出信号有关，而与未来的输入信号无关。,对于采用后向差分方程描述的数字控制器：,即：,显然，上式满足物理可实现条件。,9/10/2023,145,第六章 线性离散系统与z变换,此时：,D(z)表达式分子和分母中z 的最高阶次相等。,而采用前向差分方程描述

47、的数字控制器：,即：,9/10/2023,146,第六章 线性离散系统与z变换,上式当m n时：,显然物理可实现的数字控制器要求：n m。,此时：,9/10/2023,147,第六章 线性离散系统与z变换,离散PID控制器,PID控制规律的离散化,PID控制规律：,PID控制的传递函数：,9/10/2023,148,第六章 线性离散系统与z变换,设采样周期 T 远小于信号变化的周期，应用矩形面积求和法近似积分作用，用后向差分法近似微分作用，即：,位置式PID控制算法,9/10/2023,149,第六章 线性离散系统与z变换,从而：,其中：,由于控制器直接输出至执行机构，控制量u(k)的值与执行

48、机构的输出位置一一对应，因此，上式通常称为位置式PID控制算法。,9/10/2023,150,第六章 线性离散系统与z变换,增量式PID控制算法,上式实现了控制量u(k)的递推运算，与直接运算相比可极大地降低运算量和存储要求，使得实时控制成为可能。,9/10/2023,151,第六章 线性离散系统与z变换,若控制系统的执行机构具有记忆功能，如步进电机可以保持其历史位置，此时，控制器需要输出增量信号u(k)，使得执行器以原来位置为起点移动至新的位置。即采用增量式PID控制算法：,9/10/2023,152,第六章 线性离散系统与z变换,其中：,位置式算法与增量式算法从输出控制量的角度看并无本质区

49、别，但增量式算法在应用中却具有不少优点。,9/10/2023,153,第六章 线性离散系统与z变换,增量式输出控制的优点：,控制器只输出增量，误动作时影响小，必 要时可通过逻辑判断的方法消除；,运算时仅与最近几次的采样值有关，无需 累加；,由于利用了执行元件的记忆功能，易于实 现手动/自动的无扰动切换。,9/10/2023,154,第六章 线性离散系统与z变换,离散PID控制器的脉冲传递函数,令：,9/10/2023,155,第六章 线性离散系统与z变换,x(k)的一阶前向差分为：,注意到：,因此：,9/10/2023,156,第六章 线性离散系统与z变换,于是：,从而离散PID控制器的脉冲传

50、递函数为：,D(z)也可直接由增量算式获得。,9/10/2023,157,第六章 线性离散系统与z变换,离散PID控制器的脉冲传递函数也可由z 变换方法获得，但需注意的是采用z变换法时需要考虑零阶保持器。即：,9/10/2023,158,第六章 线性离散系统与z变换,其中：,注意：采用z 变换法获得的脉冲传递函数与近似法获得的脉冲传递函数零点不同。,9/10/2023,159,第六章 线性离散系统与z变换,离散P控制器的脉冲传递函数,当Td=0，Ti=时，,离散PI控制器的脉冲传递函数,当Td=0时，,9/10/2023,160,第六章 线性离散系统与z变换,离散PD控制器的脉冲传递函数,当T