快捷准确的几何计算.ppt

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1、第三章 快捷准确的几何计算,几何计算，是几何学中的重要内容；几何计算题，是几何问题的重要组成部分.不仅在工农业生产和科学技术中有大量的几何计算需要研究解决，而且在每年全国各省市的中考试题和部份省市的高考试题中，都有相当数量的几何计算题.在这些试题中，既有基础题，又有综合题或压轴题.因此熟悉几何计算的理论根据，掌握几何计算的思想方法极为重要，它是快捷准确进行几何计算的基础.本章内容将在初中平面几何的基础上，进一步阐述有关度量理论，以及各种几何量的计算方法,3.1 几何计算中常用的定理与公式,为简便起见，我们先约定三角形中一些常用符号：在ABC中，内角A、B、C对应的边分别记为a、b、c，半周长记

2、为p，三条中线记为ma，mb，mc，三条高线记为ha，hb，hc，三内角平分线记为ta，tb，tc，ABC的外接圆半径记为R，内切圆半径记为r，面积记为S.,几何计算中的常用定理,定理1（托勒密（Ptolemy）定理）圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和.注 本定理的证明过程给解决形如ab=cd+ef的问题提供了一个范例用类似的证法，可得到：广义Ptolemy定理：对于一般的四边形ABCD，有ABCD+ADBCACBD当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立,例1(美国)证明：从圆周上一点到圆内接正方形的四个顶点的距离不可能都是有理数,思考：求证：锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等

3、于外心到各边距离的和 若ABC为直角三角形或钝角三角形，上面的结论成立吗？,注：（1）Menelaus定理的逆命题为真，是Menelaus定理的逆定理；（2）本定理可以推广到平面凸四边形、四面体乃至n维欧氏空间中；（3）恰当选取或作出三角形的截线，是应用Menelaus定理的关键，其逆定理常用于证明三点共线问题.,例2 设四边形ABCD两组对边相交于E、F，则AC、BD、EF的中点共线。,注:此结论是一个定理，叫牛顿定理。,注：（1）Ceva定理的逆命题为真，是Ceva定理的逆定理；（2）Ceva定理可以推广到四面体中；（3）同时应用Menelaus定理和Ceva定理，是解决比较复杂的相关问题

4、的有效途径.,例3 以ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，设L、M、N分别为DE、FG、HK的中点求证：AM、BN、CL交于一点,思考：,在ABC中，ABC和ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交于点K求证：AKBC；,定理4（斯特瓦尔特（Stewart）定理）已知ABC及BC边上一点P.求证:AB2PC+AC2BP-AP2BC=BPPCBC.,注:（1）定理的逆命题为真，是斯特瓦尔特定理的逆定理.（2）若将BC边上的三线段看作有向线段，则不论P在直线BC上何处，此定理

5、仍然成立.（3）由本定理易得如下推论：,（4）斯特瓦尔特定理可以推广到四面体中.,定理5（切割线定理）从圆外一点P引圆的切线,切线长PA是这点到割线与圆交点C、D的两条线段长的比例中项.即PA2 PCPD.,推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等.即PAPBPCPD.,定理6（射影定理）,1.直角三角形射影定理（又叫欧几里德定理）直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.2.任意三角形中的射影定理（又称第一余弦定理）设ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有（4）a

6、b cosCc cosB；（5）bc cosAa cosC；（6）cb cosAa cosB.,定理7（张角定理）如图，设P 为ABC的BC边上的点，AB、AC、AP的长分别为a、b、t，则,例4(蝴蝶定理)AB是O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=MQ,定理8（Euler line）三角形的外心、重心、垂心三点共线，且外心与重心的距离等于重心与垂心距离的一半,例5 设A1A2A3A4为O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心

7、位置,定理9（三角形内心性质定理）如图，设I为ABC的内心，A的平分线与ABC的外接圆交于点P，则PB=PC=PI,例6(Euler定理)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2-2Rr,3.1.2 几何计算中的常用公式,1.已知三边求中线定理10 三角形中锐（钝）角对边的平方，等于其他两边的平方和减去（加上）这两边中一边与另一边在它上面的射影之积的两倍（这两个定理合起来相当于余弦定理）由此，我们可以得到三角形中线的常用公式：,2.已知三边求高和面积,实际上，这个计算三角形面积的公式是我国南宋数学家秦九韶三斜求积公式（已知三边求三角形的面积）的变形.推广：圆

8、内接四边形ABCD中，,3.已知三边求外接圆半径,4已知三边求内切圆半径,5已知三边求角平分线,6异面直线所成的角设AB、CD为异面直线，则它们所成的角满足,9拟柱体体积公式,所有的顶点都在两个称为底的平行平面上的多面体，叫做拟柱体.两底间的距离叫做高，与两底平行且等距的截面称为中截面.设拟柱体两底面积为S和S1，中截面面积为M，高为h，则拟柱体的体积为:,10.球类体积,如果几何体是球体，则,作业：P86 1，3，4，8，14,3.2 面积方法与面积计算,3.2.1 面积概念所谓平面多边形的面积，是指使每一多边形跟满足下列条件的一个量相对应：（1）两个全等的多边形有相同的面积，不论它们在空间

9、所占的位置为何；（不变性）（2）两多边形P、P之和P的面积，等于P、P面积的和.（可加性）,3.2.2 面积计算,1.几个重要的结论（1）如图1，在ABC中，有（2）如图2，在梯形ABCD中，有S1=S2；S1S2=S3S4.（3）如图3，四边形DEFB是平行四边形，则有S1=S2；S1S2=S3S4.,2.常用方法,（1）直接计算法 根据几何图形的特点，选用有关面积公式直接进行计算.它是最基本的方法，这种方法又叫公式法运用这种方法，一般要用几何知识进行一些推理和论证，有时还涉及到代数和三角的运算,例1 一个凸五边形，以每相邻三个顶点为顶点的三角形的面积都等于1，求这个五边形的面积.,（2）相

10、对计算法,不直接计算所求几何图形的面积，而是通过计算其它一些几何图形的面积，得到要求的面积这种方法叫做相对计算法例2（阿基米德问题鞋匠的刀）过半圆ABC的直径AC上一点D引AC的垂线交半圆于B，再分别以AD、DC为直径作半圆AFD 和DHC.求证 SAFDHCB等于以BD为直径的圆的面积.,（3）等积变换法,将欲计算面积的图形，变换为另外与之等积的图形，再计算面积，叫做等积变换法从现行初中教材看，等积变换主要根据“同底等高的两个三角形等积”等定理,例3 已知E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、CD上的点，EFBD，SADF=5,求SABE.,（4）分割补法它包括分割法、割补法和补充法三种基

11、本方法（5）定积分法当平面图形边界曲线较复杂时，我们可以建立直角坐标系，求出边界曲线的方程，利用定积分来计算面积一般地讲，计算平面图形的面积常把几种方法结合起来使用举例如下：,例4 设P、Q、R、S分别是正方形ABCD各边的中点，AP、BQ、CR、DS围成一个四边形EFGH，试求四边形EFGH与正方形ABCD的面积之比,H,3.2.3 面积方法,所谓面积方法，就是在处理一些数学问题时，以面积的有关知识为论证或计算的依据，通过适当的变换，从而导出所求的量与其它相关的量之间的关系，使问题得以解决.这里值得一提的是，有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，但若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制

12、胜，事半功倍,例1 G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD=5，求FG.,例2 ABC面积为1，在其内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z求ax+by+cz的值,例3 如图，设P是ABC内任一点，AD，BE，CF过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F求.,注 本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决相关问题,F,例4 如图，已知D，E，F分别是锐角ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xyyz+zx=28，求xyz的值,F,作业：P87 10,12,16,