应用数学研究中的模型化方法.ppt

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1、应用数学研究中的模型化方法,2、在线文本自动分析,3、血液凝固过程的动力学研究,1、绵纺质量控制问题,模型化方法是数学应用的重心。,介绍应用数学研究中与数学建模密切相关的几个课题：,4、干 预 分 析 模 型 预 测 法,棉条不匀率调控问题,棉片拉出棉条，需要从传感器测出的厚度值适时地计算出棉条的均匀程度，以便从输入端调整输入量，保证棉条的良好均匀度。,专业模型和目标：由台车检测记录了棉条厚度度量数据形成了一段时间内对每车、附带不匀率的时间序列。如何从这些数据提取特征、形成参数，使得可以由参数值适时评判棉条不匀度的合格与不合格。时间序列是数据模型。,数学模型的思路：寻找时间序列数据的特征和对应

2、的参数使得该参数与给出的不匀度是单调相关的。,利用分形理论计算时间序列的分维数，寻找分维数和不匀率的可能的相关性。这是建立唯象模型。,建立棉条不匀率的单一判定指标的数学模型,由于时间系列数据和问题本身显然是一个非线性问题，尝试用分形与频谱分析两种方法。,通过FFT从功率谱没有发现明显的特征。,具体模型建立：,为了研究分维数和不匀率的“二维”关系，需要将时间序列中相同不匀率的棉条厚度数据集中成一定宽度窗口的一个序列，进而寻找不匀率与分维数的二元关系；,在确定了不匀率与分维数的二元关系后，回到原始的时间序列数据中，寻找对应时间序列的不匀率数据和分维数数据关于时间的同步性。,如果不匀率数据和分维数数

3、据关于时间的同步，则分维数可以代替不匀率作为评判棉条均匀性的适时控制参数。,1、分形图的主要特征：分维数,严格的数学定义从Hausdorff测度,Hausdorff维数,应用的计算定义盒维数（box dimension）：,Nr:与E相交的r-网立方体个数,分维数与不匀率的关系,、计算原理,对每个r值计算Nr(E),对于存在盒维数的数据，不同r值的logNr(E)与logr,是线性回归的，因此要计算不同r值的维数，选择最敏感地表现特征的r值。,Nr(E)的计算：,3、计算过程：,、数值实验,A.数据清理：实际数据中非法字符消除，数量很大，随机分布,B.数据整合：对于时间序列的分形维数计算需要足

4、够的数据密度，数据太少则误差很大，在实测数据中，有些车的某些不匀度的数据量太少，最多与最少的数据量可以相差万倍。因此，必须删除数据量太少的（车、不匀率）的数据。结果用于计算分维数的数据，各车不同，计算结果如下：,795k 1145k 884k 559k 351k 210k 104k平均578.3k,号车：横坐标为不匀率，纵坐标为分维数,结论：统计上说，棉条重量分布曲线的分维数与不匀率是正相关的，因此可以作为评价面条质量的自动分析参数。,但是作为控制系统实际可用的参数，还必须证实，具有不同不匀率的随机排列的棉条厚度数据，同样可以用分维数来表示均匀度质量。为此，我们对同一个数据区间计算平均维数和平

5、均不匀率，然后以一个确定的步长h(作为时间单位)移动，得到下图表示的两个时间序列（横坐标为数据区间，纵坐标为平均分维数或平均不匀率）。从下图可以清楚地看出分维数曲线和不匀率曲线具有高度同步性。,通过相同不匀率数据集成后计算，证实整体盒维数与与不匀率成正相关，建立了了棉条厚度时间序列数据的分维数与不匀率的相关性数学模型。,1）棉条厚度数据的盒维数与其不匀率成正相关；2）一定窗口宽度的分维数均值与不匀率正相关；3）棉条厚度的时间序列数据的分维数序列与不匀率序列高度同步。,同样，许多专业中的问题，都可以用分形几何作为合适的数学模型。,数学模型分析的细节：,根据以上三条结论，可以用分维数代替不匀率作为

6、检测棉条均匀度的控制参数。,事实上，在纺织行业有大量可测数据，因此有许多利用数据挖掘建立数学模型的研究问题。,在线文本自动分析,原型与目标 在线电子文本的计算机自动分类与辅助理解（理解基于分类，分类是理解的主体）。,原型的结构,文本章节段落语意团句或短语词字符,文本的结构：,文本集的结构：,检索性分类国际图书分类法；,理解性分类基于语意、概念层、主题层的细分类。,专业模型,模型1.以词频为特征的分类模型,词:有语意的初级字符串单位语言的细胞；,词在文本中的频率与不同类文本间频率差别是分类的基本结构和基本结构差别。,模型2.以语意团为特征，重在语意差别的分类。,模型2.混合模型,语言能力模型：乔

7、姆斯基的语法结构模型是另一类语言模型。,模型1的数学模型,根据专业模型，词频及具有分类的信息可以仿照熵的定义：,d(i)j=TFIDF(w(i),dj),文本集合的数学模型文本的特征向量空间。分类问题是N维线性空间的向量的分类问题。,许多方法可以用于求解，例如SVM分类器对于数据压缩很有效。,例如，思想史研究中，“五四”运动的讨论的主要思想是什么？,发现在“自由主义”的特征词所在的子空间中，文本的投影数量最大！,高维问题；训练集的数据量大；理解性细分类的精度低。,主要问题和某些进一步研究课题：,1、SVM的微分几何方法；,2、词频分布特征的研究，用分布特征分类和理解；,3、添加语意的分类模型；

8、,4、大规模数据挖掘方法寻找分类模式与规则。,血液凝结的生理学概述,血浆中的凝血系统；血小板；纤溶系统。,血液凝结动力学研究,人类肌体存在着复杂的凝血、抗凝和纤维蛋白溶解机制，由三个主要的生理系统共同完成：,凝血过程就是这三个生物系统协同作用的动态平衡。,瀑布机制学说与现代观点,19世纪初，Thackrah和de Blainville已经发现组织损伤会引起血液凝固。1982年Schmidt提出，存在凝血活酶（thromboplastin）可以将凝血酶原 转变为凝血酶 1950年，Morawitz提出凝血的两步理论：凝血活酶将凝血酶原变成凝血酶；男系，凝血酶将纤维蛋白原变成纤维蛋白。40年代来，

9、Conley发现血液按接触表面改变可激发血液凝血。,血液凝固过程是由内源性途径和外源性途径共同组成，通过多种酶原被逐级激活而得到加强与放大的连锁反应。其中内源性途径是主要的，外源性途径中起辅助作用。,医学专业模型：瀑布学说的级连反应图,1964年，MacFarlane和Davie分别同时提出了凝血的瀑布学说，形成凝血理论的传统观点：,凝血过程的模型化研究历史与现状,凝血瀑布机制的提出为使用数学方法研究凝血问题提供了良好的生化模型。因此，仅仅在瀑布学说提出两年，Levine就利用酶促动力学，对1964年Davine提出的酶反应模式图建立了线性模型。通过线性微分方程组对凝血机制中各因子的变化作动态

10、描述。进一步结合数学定理分析与计算机数值模拟，对凝血系统的解的局部与全局性态进行研究，并对实验或病理、生理结果进行预测与分析。这一方法已经取得了一系列与实验及临床相符的结论。线性化模型非线性模型与动力学分析计算机模拟工作,外源性凝血瀑布机制非线性动力学模型的建立,针对凝血模式中存在着正反馈环路，而反应的凝血因子常常是多种因子的联合作用，1989年,Khamin,M.A.和Semenov,V.V.首先对外源性凝血的瀑布机制建立了非线性模型，并对该模型进行了定态稳定性分析，得到了与生化理论相一致的外源性凝血的基本特征：外部刺激强度必须超过一个阈值，凝血瀑布机制才能启动且稳定运行。,此模式图与前相比

11、，很重要的一点在于增加了因子II与因子V之间的正反馈环路，对此环路，建立非线性模型如下：,简化的医学专业模型：,其中K4，K，H4为动力学常数。(H4是凝血酶的消散常数).根据同样的假设,描述此外源性途径的微分动力学系统为:,其中Kn是第n步反应速率常数,是第n步反应消散常数,是刺激强度.,数学模型：,生理振荡乃至生理节律对于生命是至关重要的从60年代Reimann和Richter系统地讨论了人类疾病的振荡现象至今，在生命系统的各个层次中均发现了振荡现象以至周期性的节律。生物体中各种振荡现象不仅已经被人们理解为生命过程的必然与本质，而且已经被用于疾病的诊断与治疗，动力学病（dynamical

12、diseases）就是一个典型事例。在血液学领域中，最早用模型化方法研究振荡现象的当属70年代Macke，Class白细胞生成控制的研究 周期解与凝血动力学病的预测,首次发现在凝血系统中的振荡现象,并且利用非线性动力学模型化方法的数值模拟,发现存在周期性的稳态解.其中一种高维动力系统极限环的存在性已经得到数学证明.,凝血过程中存在生物节律现象的启示,启示高凝态病理现象的存在,对数学模型进行“动力系统”的理论分析，也就是用微分方程解的长时间动态变化分析，发现了正常凝血过程中存在处于高凝态状态的未发病的人群的可能性。这一结果和医学中的潜在病人的现象完全符合，并且给出理论解释。,进一步的研究问题：,

13、1、目前只对于十分简化的45个因子的中心环路进行了模型化研究，对于外源性、内源性以及完全性的完整模型几乎还没有研究，主要困难是高维动力系统理论的工具很少。但是数值方法应该有效。,2、血小板的作用目前几乎没有加入到模型中，这是凝血过程的主要部分。如果加入，实际上是在凝血系统中假如反应扩散模型，将十分有趣并且贴近实际。,3、完整的凝血动力系统应该还包括纤溶系统在内，这类完整的模型没有文献报道。,4、药物对凝血动力系统的影响是十分重要的问题，例如蛇毒对于凝血系统的影响，对心血管医学的作用是很大的。,4.1 干预分析模型概述 4.2 单变量干预分析模型的识别与估计 4.3 干预分析模型的应用实例,4.

14、1 干预分析模型概述,一、干预模型简介 干预的含义：时间序列经常会受到特殊事件及态势的影响，称这类外部事件为干预。研究干预分析的目的：从定量分析的角度来评估政策干预或突发事件对经济环境和经济过程的具体影响。,回总目录,回本章目录,二、干预分析模型的基本形式 干预变量的形式：干预分析模型的基本变量是干预变量，有两种常见的干预变量。一种是持续性的干预变量，表示T 时刻发生以后,一直有影响，这时可以用阶跃函数表示，形式是：,回总目录,回本章目录,第二种是短暂性的干预变量，表示在某时刻发生,仅对该时刻有影响,用单位脉冲函数表示，形式是：干预事件的形式：干预事件虽然多种多样，但按其影响的形式，归纳起来基

15、本上有四种类型：,其他时间,回总目录,回本章目录,a.干预事件的影响突然开始，长期持续下去 设干预对因变量的影响是固定的，从某一时刻T开始，但影响的程度是未知的，即因变量的大小是未知的。这种影响的干预模型可写为：,回总目录,回本章目录,表示干预影响强度的未知参数。Yt 不平稳时可以通过差分化为平稳序列，则干预模型可调整为：其中B为后移算子。如果干预事件要滞后若干个时期才产生影响，如b个时期，那么干预模型可进一步调整为：,回总目录,回本章目录,b.干预事件的影响逐渐开始，长期持续下去 有时候干预事件突然发生，并不能立刻产生完全的影响，而是随着时间的推移，逐渐地感到这种影响的存在。这种形式的最简单

16、情形的模型方程为：更一般的模型是：,回总目录,回本章目录,c.干预事件突然开始，产生暂时的影响 这类干预现象可以用数学模型描述如下：当 时，干预的影响只存在一个时期，当 时，干预的影响将长期存在。,回总目录,回本章目录,d.干预事件逐渐开始，产生暂时的影响 干预的影响逐渐增加，在某个时刻到达高峰，然后又逐渐减弱以至消失。这类干预现象可用以下模型描绘：,回总目录,回本章目录,4.2 单变量干预分析模型的识别与估计,一、干预模型的构造与干预效应的识别 单变量时间序列的干预模型，就是在时间序列模型中加进各种干预变量的影响。设平稳化后的单变量序列满足下述模型：,回总目录,回本章目录,又设干预事件的影响

17、为：其中 为干预变量，它等于 或，则单变量序列的干预模型为：,，,这里：,回总目录,回本章目录,二、干预效应的识别 在对实际数据进行干预分析的过程中，一个主要的困难是，观察到的序列现实值是受到了干预变量影响的数据，不能保证自相关函数与偏自相关函数所反映的ARIMA模型是真实的。下面我们介绍两种应对方法。,回总目录,回本章目录,（1）根据序列的具体情况和干预变量的性质进 行识别 确定干预变量的影响是短暂的还是长期的，需要进行具体的识别工作。它是利用干预变量产生影响之前或干预影响过后，也就是消除了干预影响或没有干预影响的净化数据，计算出自相关函数与偏自相关函数。首先识别ARIMA模型中的p和q，然

18、后估计出，中的参数。,回总目录,回本章目录,假定 假定干预模型的模式为：,回总目录,回本章目录,那么组合这两个模型，便得到单变量序列的干预分析模型：或：,回总目录,回本章目录,（2）已知干预影响的情形 假定在模型识别之前，对干预的影响已很清楚，以至于通过数据分析，能够确定干预变 量的影响部分 并估计出这部分的参数，然后计算出残差序列：这个序列 是一个消除了干预变量影响的序列，可计算出它的自相关与偏自相关函数，从而识别出ARIMA模型的阶数。,回总目录,回本章目录,三、干预模型建模的思路和具体步骤 干预模型建模的思路：利用干预影响产生前的数据，建立一个单变量的时间序列模型。然后利用此模型进行外推

19、预测，得到的预测值，作为不受干预影响的数值。最后将实际值减去预测值，得到的是受干预影响的具体结果，利用这些结果可以求估干预模型的参数。,回总目录,回本章目录,干预分析模型建模的步骤：a.利用干预影响产生前的数据，建立单变量的时间序列模型。然后利用此模型进行外推预测，得到的预测值，作为不受干预影响的数值。b.将实际值减去预测值，得到受干预影响的具体结果，利用这些结果求估干预影响的参数。c.利用排除干预影响后的全部数据，识别与估计出一个单变量的时间序列模型。d.求出总的干预分析模型。,回总目录,回本章目录,4.3 干预分析模型的应用实例,例 1 我国国民收入增长的政策干预分析:现在采用按可比价格计

20、算的国民收入指数来反映国民收入，研究其在19521993年间的增长模型。由于国民收入的增长一方面源于政策干预调节的影响，另一方面又包含自然增长的趋势，因此,把干预分析模型和一般的时间序列增长模型结合起来进行研究。已知1978年是我国一系列改革开放政策措施出台的开始，之后中国经济出现了呈加快增长的新形势，可以确定1978年为干预事件发生的开始时间，在建模中纳入政策变化等干预变量的影响。试确定干预分析模型。,回总目录,回本章目录,回总目录,回本章目录,解答:,（1）根据19521977年的数据建立一个时间序列模型如下：其中，t为自变量，xt表示时间，Zt为因变量，表示干预事件对因变量的影响，它的确

21、定是整个模型的关键。由于改革的影响是逐渐加强的，其作用又是长期深远的，因而干预变量可选取如下的形式：其中：,回总目录,回本章目录,先对19521977年的国民收入指数建立时间增长模型，结果如下：该模型拟合度较好，可以通过参数的显著性检验和整个回归方程的显著性检验。,回总目录,回本章目录,（2）在此基础上分离出干预影响的具体数值，求估干预模型的参数。用刚才的模型进行19781993年的国民收入指数的预测，然后用实际值减去预测值得到的差值就是改革所产生的干预值,记为Zt。求得具体数值见下表：,回总目录,回本章目录,利用上表数据可以估计出干预模型:的参数 与，实际上是自回归方程:的参数：,回总目录,回本章目录,（3）计算净化序列，对 建立时间增 长模型，结果为：该模型拟合度较好，可以通过参数的显著性检验和整个回归方程的显著性检验，因此模型是合理的。经过以上各步的参数估计，可以组建最终的干预分析如下：其中：,回总目录,回本章目录,网上分形图 1-2,