应力和应变分析强度理论.ppt

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1、1,材 料 力 学,2023年9月9日,第七章应力和应变分析 强度理论,2,第七章 应力和应变分析 强度理论,本章内容:1 应力状态概述2 二向和三向应力状态的实例3 二向应力状态分析 解析法 4 二向应力状态分析 图解法 5三向应力状态6 位移与应变分量7 平面应变状态分析8广义胡克定律,3,10 强度理论概述11 四种常用强度理论12 莫尔强度理论 13 构件含裂纹时的断裂准则,9复杂应力状态的变形比能,3 二向应力状态分析 解析法 4 二向应力状态分析 图解法 5三向应力状态6 位移与应变分量7 平面应变状态分析8广义胡克定律,4,7.1 应力状态概述,1 问题的提出,低碳钢和铸铁的拉伸

2、实验,低碳钢的拉伸实验,铸铁的拉伸实验,问题：为什么低碳钢拉伸时会出现 45 滑移线？,5,低碳钢和铸铁的扭转实验,低碳钢的扭转实验,铸铁的扭转实验,问题：为什么铸铁扭转时会沿 45 螺旋面断开？,所以，不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。,6,2 应力的三个重要概念,应力的点的概念,应力的面的概念,同一物体内不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,7,应力的面的概念,过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。所以，讲到应力，应指明是哪一点在哪一方向面上的应力。,应力状态的概念,过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。,8,应力状态的概

3、念,过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这一点的应力状态。,9,3 一点应力状态的描述,单元体,单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；,单元体的特点,10,单元体的边长 dx,dy,dz 均为无穷小量；,单元体的特点,单元体的每一个面上，应力均匀分布；单元体中相互平行的两个面上，应力相同。,4 主应力及应力状态的分类,主应力和主平面,切应力全为零时的正应力称为主应力；,11,4 主应力及应力状态的分类,主应力和主平面,切应力全为零时的正应力称为主应力；,主应力所在的平面称为主平面；主平面的外法线方向称为主方向。主应力用1,2,3 表示(1 2 3)。,应力状态分类,单向应力状态,12

4、,应力状态分类,单向应力状态,二向应力状态(平面应力状态),三向应力状态(空间应力状态),简单应力状态,复杂应力状态,13,7.2 二向和三向应力状态的实例,1 二向应力状态的实例,薄壁圆筒,已知：p,D,t。,求,端部总压力,14,求,求,取研究对象如图。,15,求,计算N力,即：内压力在y方向的投影等于内压乘以投影面积。,16,所以,17,可以看出：轴向应力 是环向应力的一半。对于薄壁圆筒，有：,所以，可以忽略内表面受到的内压p和外表面受到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。,18,2 三向应力状态的实例,滚珠轴承,19,例 2(书例8.1),已知：蒸汽锅炉，t=10mm,D=1m,p=

5、3MPa。,解：,求：三个主应力。,前面已得到,20,例 3(书例8.2),已知：球形容器，t,D,p。,解：,求：容器壁内的应力。,取研究对象如图。,与薄壁圆筒的情况类似，有：,所以：,21,7.3 二向应力状态分析 解析法,二向应力状态的表示,应力状态分析,在已知过一点的某些截面上的应力时，求出过该点的任一截面上的应力，从而求出主应力和主平面。,切应力的下标,作用面的法线,切应力的方向,22,二向应力状态的表示,切应力的下标,作用面的法线,切应力的方向,正负号规定,正应力,拉为正,压为负,23,切应力,使单元体顺时针方向转动为正；反之为负。,截面的方向角,由x正向逆时针转到截面的外法线n的

6、正向的角为正;反之为负。,24,方向角为的截面上的应力,以单元体的一部分为研究对象。,由平衡条件,25,26,由切应力互等定理，xy与 yx 大小相等。,27,最大正应力和最小正应力,令：,可以看出：当=0 时，,取极值的正应力为主应力。,28,令：,可以看出：当=0 时，,取极值的正应力为主应力。,若 0 满足上式，则 0+90也满足上式，代入公式可得：,29,若 0 满足上式，则 0+90也满足上式，代入公式可得：,正应力的不变量,30,正应力的不变量,截面上的正应力为:,+90 截面上的正应力为:,任意两个互相垂直的截面上的正应力之和为常数.,31,最大切应力和最小切应力,令：,若 1

7、满足上式，则 1+90也满足上式，代入,公式可得：,32,若 1 满足上式，则 1+90也满足上式，代入,公式可得：,切应力的极值称为主切应力 主切应力所在的平面称为主剪平面 主剪平面上的正应力,33,切应力的极值称为主切应力 主切应力所在的平面称为主剪平面 主剪平面上的正应力,将 1 和 1+90 代入公式可得：,即：主剪平面上的正应力为平均正应力。,34,将 1 和 1+90 代入公式可得：,即：主剪平面上的正应力为平均正应力。,主平面与主剪平面的关系,由 0 和 1 的公式可得：,即：主平面与主剪平面的夹角为45。,35,例 4(书例8.3),已知：圆轴受扭转。,解：,求：应力状态及分析

8、铸铁件受扭时的破坏现象。,最大切应力,取单元体ABCD,纯切应力状态,36,取单元体ABCD,纯切应力状态,主应力,主方向,或,37,主应力,主方向,或,主应力排序,铸铁件破坏现象,38,例 5(书例8.4),已知:A点应力=-70MPa,=50MPa。,解：,求：A点主应力和主平面，及其它点的应力状态。,A点单元体,取x轴向上为正,39,取x轴向上为正,主应力,40,主应力,主方向,或,其它几点的应力状态,41,单向拉伸,其它几点的应力状态,单向压缩,纯剪切,42,主拉应力1迹线,主应力迹线,主压应力3迹线,43,7.4 二向应力状态分析 图解法,1 应力圆(莫尔圆)方程,由公式,平方相加，

9、得,44,这是以、为变量的圆的方程。,45,2 应力圆的画法,D,D,C,46,3 应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系,(1)点面对应,应力圆上某一点的坐标值对应着,单元体某一方向面上的正应力和切应力;,47,(2)基准相当,(3)转向一致,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,D点和x面是基准;,48,(3)转向一致,半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,(4)角度成双,半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍。,49,4 应力圆的应用,确定主应力、主方向,应力圆与横轴的交点 A1、B1处，剪应力为零。它们的横坐标即为主应力。从半径CD转到CA1的角度即为从x轴转到主平面的角度的两

10、倍。,50,主应力即为A1,B1处的正应力。,圆心坐标,应力圆半径,51,主方向,52,确定面内最大切应力,主剪面对应于应力圆上的G1和G2点。面内最大切应力的值等于应力圆的半径。,53,d,a,c,单向应力状态的应力圆,54,55,B,E,纯切应力状态的应力圆,56,例 3(书例8.5),已知：x=80MPa,y=-40MPa,xy=-60MPa,yx=60MPa。,解：,求：用应力圆求主应力和主方向。,作应力圆:,由,D点,由,D点,画出应力圆,57,由,D点,由,D点,画出应力圆,58,圆心坐标,半径,59,主平面,从D点(x轴)逆时针转45至A1点，,圆心坐标,半径,E,由几何关系,6

11、0,E,主平面,从D点(x轴)逆时针转45至A1点，,由几何关系,61,例 4(书例8.6),已知：x=0,y=-40MPa,xy=0。,解：,求：斜截面de上的正应力和切应力。,作应力圆:,由,O点,由,B1点,画出应力圆,62,由,O点,由,B1点,画出应力圆,圆心坐标,半径,63,圆心坐标,半径,单元体上0=-60的面所对应的点为E点,D,64,7.5 三向应力状态,三向应力状态,三个主应力均不为零的应力状态。,65,特例,至少有一个主应力的大小方向为已知。,平面应力状态即为这种特例之一。,66,三向应力状态的应力圆,设三个主应力均已知。,平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s

12、2、s3可作出应力圆 I,平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆 II,平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1、s2可作出应力圆 III,任一方向面上的应力位于阴影区内。,67,最大切应力,t,在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：,68,200,300,50,tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,69,平面应力状态作为三向应力状态的特例，应注意：,(1),可能是1,也可能是2或3.,(2),按三个主应力的代数值排序确定1,2,3。,(3),70,7.6 位移与应变分量,任一方向的应变,比较,7.7 平面应变状态分析,71,主要结论,

13、主应变方向与主应力方向相同 主应变 e1、e2、e3与主应力 s1、s2、s3 一一对应 与应力圆类似，存在应变圆，与应力圆有相同的特点，不同点是g 的坐标有系数 1/2,72,实验应力分析：应变片与应变花,73,7.8 广义胡克定律,单向应力状态下的胡克定律,或,纯剪切应力状态下的剪切胡克定律,或,横向变形与泊松比,74,广义胡克定律,三向应力状态,可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。,叠加原理,用叠加原理的条件：,(1)各向同性材料；,(2)小变形；,(3)变形在线弹性范围内。,x方向的线应变 x,x引起的部分:,75,x方向的线应变 x,x引起的部分:,y引起的部分:,z引起的部

14、分:,叠加得：,76,叠加得：,同理可得：,剪应变为：,这六个公式即为广义胡克定律。,77,用主应力表示的广义胡克定律,从前三式中可解出三个主应力,78,从前三式中可解出三个主应力,79,例 5,已知:受扭圆轴，d,E,测得 45。,解：,求：外加扭矩的值。,在测点取单元体,纯切应力状态,切应力为,要求出45方向的应变，需先求出 45方向的应力。,45方向为主应力方向,80,切应力为,45方向为主应力方向,由广义胡克定律,测扭矩的方法,81,体积胡克定律,单元体,变形前体积,变形后体积,略去高阶微量,单位体积的改变,82,变形前体积,变形后体积,略去高阶微量,单位体积的改变,体积应变,将广义胡

15、克定律,代入上式得,83,单位体积的改变,体积应变,将广义胡克定律代入上式得,又可写成,记,体积弹性模量,体积胡克定律,84,例,已知:受扭圆轴，d,E,测得 45。,解：,求：外加扭矩的值。,在测点取单元体,纯切应力状态,切应力为,要求出45方向的应变，需先求出 45方向的应力。,45方向为主应力方向,85,切应力为,45方向为主应力方向,由广义胡克定律,测扭矩的方法,86,例1(书例7.9),已知:孔:d1=50.01mm柱:d2=50mm,P=300kN,钢块不变形。E=200GPa,=0.3。,解：,求：圆柱的主应力。,柱受到的压应力,87,径向的应变,由广义胡克定律,可得,88,圆柱

16、的主应力为：,89,7.9 复杂应力状态的变形比能,1 单向应力状态下的比能,功能原理,2 三向应力状态下的比能,变形能与加载方式无关,为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律,90,2 三向应力状态下的比能,为将变形能用主应力表示，将广义胡克定律,代入上式，化简得,91,3 体积改变比能和形状改变比能,+,体积改变,形状不变；,体积不变,形状改变,92,3 体积改变比能和形状改变比能,+,体积改变,形状不变；,体积不变,形状改变,因体积改变而贮存的变形能,体积改变比能,因形状改变而贮存的变形能,形状改变比能,93,体积改变比能,94,形状改变比能,或,95,例 2(书例8.10),已知:纯剪切

17、应力状态。,解：,求：导出E,G,之间的关系。,第3章已求出纯剪切时,用本节公式求纯剪时的应变能,纯剪切时,96,用本节公式求纯剪时的应变能,纯剪切时,第3章已求出纯剪切时,97,强度理论研究材料失效的判据，从而建立强度条件。,7.10 强度理论概述,不同材料在相同的加载情况下，破坏(失效),的形式不同。,塑性材料：,屈服失效。,脆性材料：,断裂失效。,98,相同材料在不同的加载情况下，破坏(失效),的形式不同。,塑性材料：,当有深切槽时，发生断裂。应力集中导致根部出现三向应力状态。,99,脆性材料：,100,对单向应力状态和纯剪切通过实验建立强度条件,对复杂应力状态无法通过实验建立强度条件,

18、强度理论 根据部分实验结果，提出的假说。从而可根据单向应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件。,101,强度理论分为两类：,7.11 四种常用的强度理论,1 最大拉应力理论(第一强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,适用于断裂失效情况,适用于屈服失效情况,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,102,1 最大拉应力理论(第一强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,强度条件,相当应力,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,103,相当应力,适用对象,脆性材料受拉

19、，塑性材料受三向拉伸且 s1、s2、s3 相近。,缺点,没有考虑 s2 和 s3 的影响，且无法应用于,没有拉应力的情况。,2 最大伸长线应变理论(第二强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,强度条件,104,2 最大伸长线应变理论(第二强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大伸长线应变达到材料的某一极限，就发生脆性断裂。,失效准则,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,105,适用对象,脆性材料受压。,失效准则,强度条件,相当应力,缺点,对脆性材料受拉与试验符合不好。,单向拉伸失效时,复杂应力状态时，令,106,3 最大切应力

20、理论(第三强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸失效时,复杂应力状态时,强度条件,107,失效准则,强度条件,适用对象,塑性材料的一般受力状态。,相当应力,缺点,偏于安全；没有考虑 s2 的影响。,4 形状改变比能理论(第四强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,108,4 形状改变比能理论(第四强度理论),基本观点,不论是什么应力状态，只要形状改变比能达到材料的某一极限，就发生塑性屈服。,失效准则,单向拉伸失效时,代入上式得,109,失效准则,单向拉伸失

21、效时,代入上式得,复杂应力状态时,令上式在复杂应力状态时成立，得,110,失效准则,复杂应力状态时,令上式在复杂应力状态时成立，得,强度条件,相当应力,111,适用对象,塑性材料的一般受力状态。,缺点,计算相当应力较麻烦。,强度条件,相当应力,第三强度理论和第四强度理论的图形,112,第三强度理论和第四强度理论的图形,在二向应力状态下，第三强度理论和第四强度理论的图形为,113,5 小结,强度条件可统一写为,第一强度理论和第二强度理论适用于脆性材料.,脆性材料受拉,第三强度理论和第四强度理论适用于塑性材料.,脆性材料受压,114,6 几种常见应力状态的相当应力,(1)单向拉伸,即：在单向拉伸应力状态下，各相当应力相同。,115,(2)纯剪切,这就是书例8.12的主要内容。,116,(3)弯曲时一般位置处的应力状态,117,118,谢 谢 大 家!,