平面与平面垂直的判定定理.ppt

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1、2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a/a，b/b，我们把相交直线a 和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.,在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：(0o,90o,范围：0o,90o,问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？,结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。,空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究

2、，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的,我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？,(1)半平面的定义,一、二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2)二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立

3、式：,(3)二面角的画法和记法：,面1棱面2,点1棱点2,二面角 l,二面角AB,二面角CAB D,A,O,l,B,(4)二面角的平面角,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图，则AOB成为二面角 的平面角.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,9,在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？,=,等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）,A,B,A,B,二面角的平面角大小与点

4、O在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。,结论：二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。,.,二面角的取值范围一般规定为：0o,180o,二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度,二面角的两个面重合：0o；,4二面角的大小,二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度,二面角的两个面重合：0o；,二面角的两个面合成一个平面：180o；,4二面角的大小,二面角的大小可以用它的平面角来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度,二面角的范围：0o,180o,

5、二面角的两个面重合：0o；,二面角的两个面合成一个平面：180o；,4二面角的大小,平面角是直角的二面角叫直二面角,计算二面角的关键是作出二面角的平面角，是通过二面角的平面角大小来刻画二面角的大小的。作二面角的平面角的方法一般有:定义法，三垂线法，垂面法以及射影面积法 求二面角的思路：“一作、二证、三算”,（1）、定义法 根据定义作出来,（2）、垂面法 作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到,5.二面角的平面角的作法,（3）、三垂线法,（4）射影面积法,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-

6、BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的 平面角,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,寻找二面角的平面角,在正方体ABCD-ABCD中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D-AB-D和A-AB-D；（2）二面角C-BD-C和C-BD-A.,例1：已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为3，求（1）斜高与底面所成的角的大小（2）二面

7、角P-AB-C的大小,A.,O,解：,则AD l.,sinADO=,ADO=60.,即二面角 l 的大小为60.,在RtADO中，,AOAD,练1：已知二面角 l，A为面内一点，A到 的距离为，到l的距离为 4.求二面角 l 的大小.,D,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，,就是二面角 l 的平面角.,back,练 在锐二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它与棱 l 所成的角为45，与平面所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45,例2：如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB的中点，求二面角A1MCA的正切值,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA

8、1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A1H,平面ABCD,解：作AHCM交CM的延长线于H，连 结A1HA1A平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，A1HCM，,A1HA为二面角A1CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在直角AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=,back,变式：(2011南通模拟)如图942所示，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求证：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的正切值,图942,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,

9、取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB2=AC2+BC2，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA=PB=PC，PAMPCMPMAM，PMCM，PM平面ABC,连结CM，AM=BM=CM，,4.已知ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC 外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角PACB的平面角的正切值.,back,C,D,H,G,600,300,练：如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,一、计算二面角

10、的关键是作出二面角的平面角，其作法主要有：(1)利用二面角平面角的定义，即在棱上任取一点，然后分别在两个面内作棱的垂线，则两垂线所成的角为二面角的平面角(2)利用棱的垂面，即棱的垂面与两个半平面的交线所成的角是二面角的平面角二、求二面角的思路是“一作、二证、三算”,作业：1、已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所成二面角的大小.,2、已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且ABAC，BC2，求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？,3、在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的平面角

11、的正切值,3：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E为D1C1的中点，求二面角EBDC的平面角的正切值,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC=1，CD=2，,而EF=1，在EFG中,ABCDA1B1C1D1是长方体，EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD,M,练习,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,二、平面与平面垂直的判定,证明：,C,D,A,B,在平面内过B点作直线BECD，则AB

12、E就是二面角-CD-的平面角，,设=CD，AB在上，则BCD.,a,back,文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直,面面垂直的判定定理,符号语言：,A,B,图形语言：,该定理作用：“线面垂直面面垂直”,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,证明：由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例1:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.求证：平面PAC平面PBC,练习,例2：ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO平面ABCD，E是PC的中点，求证:平面PACBDE.,P,O,A,B

13、,C,D,E,探究：,2.如图所示：在RtABC中，ABC=900,P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？,1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G-SEF，则四面体SEFG中必有().(A)SGEFG所在平面(B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平面(D)GDSEF所在平面,S,G1,G2,G3,E,F,D,S,G1,G2,G3,E,F,D,SGEFG所在平面.故选A.,例3：如下图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.（1）求证：ABBC；（2）若设二面角SBCA为45，SA=BC，求二面角ASCB的大小.,