平行向量与解三角形.ppt

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1、文科数学,2009名师面对面系列丛书,(一轮总复习),广州博研图书发展有限公司制作,严禁转载 违者必究,第六章 平行向量与解三角形,6.4 解斜三角形,知识框架,考试要求,6.1 向量的基本概念及基本运算,6.2 平面向量的坐标运算,6.3 平面向量的应用举例,知识框架,向量,解斜三角形,正弦定理,余弦定理,解斜三角形,向量的有关概念,向量的加法与减法,实数与向量的积,向量的坐标运算,线段的定比分点,平面向量的数量积及运算律,平面向量数量积的坐标表示,平移及平移公式,向量的坐标运算,（1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平 面向量和向量相等的含义，

2、理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算 掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量 共线的含义；了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示 了解平面向量的基本定理及其意义；,1.平面向量,考试要求,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义；了解平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运 算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两 个平面

3、向量的垂直关系.,考试要求,（5）向量的应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题.2.解三角形（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度 量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题.,考试要求,6.1 向量的基本概念及其基本运算,知识要点,1.既有大小又有方向的量叫向量，向量的大小叫做向量的长度（或称模）.2.长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的.3.模为1的向量叫做单位向量.4.方向相同或相反的非零向量叫平行向量（或共线向量）.5.规定0与任一向量平行.6.长度相等，方向相同的向量叫相等向量.7

4、.长度相等，方向相反的向量叫相反向量.8.向量加法的法则有平行四边形和三角形法则.9.向量的加法满足结合律和交换律，即（a+b）+c=a+(b+c)及a+b=b+a.,10.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b=a.11.向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角：已知两个非零向量a、b，作OA=a,OB=b,则AOB=(0)叫做a与b的夹角.当=时，a与b垂直，记作ab;当=0时，a与b共线且同向；当=时，a与b共线且反向.（2）a与b的数量积：已知两个非零向量a、b,它们的夹角为，则把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记ab作，即ab=|a|b|cos 规

5、定：零向量与任一向量的数量积为零；,知识要点,|a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.12.向量数量积的性质设a、b都是非零向量，夹角为，则(1)ab ab=0;(2)|ab|a|b|（当且仅当a、b共线时取=号）；(3)aa=|a|2=a2,|a|=;(4)cos=13.向量数量积的运算律(1)ab=ba（交换律）；,知识要点,(2)(a)b=(ab)=a(b)（其中R);(3)(a+b)c=ac+bc14.平面向量数量积的坐标表示设a=（x1,y1）,b(x2,y2)，则(1)ab=x1+x2+y1+y2；(2)|a|=,|a-b|=;(3)a b x1x2

6、+y1,y2=0.,知识要点,例题剖析,例1 已知a=1，b=2，a与b的夹角为60，则（a+b）（a-3b）=.,答案-13,解析（a+b）（a-3b）=a2-2ab-3b2=1-2ab cos60-12=-11-212=-13.,例2 判断下列各命题是否正确？并说明理由.若|a|=|b|,则a=b或a=-b；若，则A、B、C、D是一个平行四边形的两个顶点.若a=b,b=c，则a=c；若ab,bc,则ac.,例题剖析,解析 错.如a、b是两个夹角为60的单位向量，有|a|=|b|=1,但ab,a-b；错.AB=DC得AB与DC共线且|AB|=|DC|，A、B、C、D可能在同一条直线上；l正确

7、；错.如b=0时，ac不一定成立.,例题剖析,点评 零向量在共线向量问题中是一个特例，解概念题时应注意；考查向量应考查其大小和方向，两者缺一不可.,例题剖析,例3如右图所示，已知G是ABC的重心，求证：GA+GB=GC=0,证明法（一）如下图所示，D、E、F为三边中点因为EA+EC=FA+FB=DB+DC=0,所以2(GA+GB+GC)=GE+EA+GF+FA+GD+DB+GF+FB+GD+DC+GE+EC=2(GE+GF+GD)=-(GB+GC+GA)所以3(GA+GB+GC)=0.所以GA+GB+GC=0,(法二)延长BE至H，使EH=EG,连结HC，HA，则四边形AGCH是平行边形，于是

8、GA+GC=GH，而GH=2GE=-GB，所以GA+GC=-GB,所以GA+GB+GC=0.,例题剖析,点评运用三角形法则或平行四形法则将一个向量表示成几个向量的和式，或者将几个向量用和式表示为一个向量，是解决平面图形有关问题的重要手段.,延伸拓展1,如图，已知OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D是OB上，且满足|OB|=3|DB|，DC和OA交于点E.设OA=a,OB=b(1)用a和b表示向量OC和DC(2)若OE=OA，求实数的值.,解析,延伸拓展1,例4已知|a|=4,|b|=3,且a与b不共线，实数k为何值时，向量ka+b与ka-b垂直？,例题剖析,点评两个非零向量互相垂直的充

9、要条件是数量积为零，已知条件有互相垂直时，一般直接运用此结论.,例5已知e1、e2是两个夹角为的单位向量，a=e1+2e2,b=2e1+e2当=60时，求|a+b|；当分别为何值时，|a+b|取得最大值和最小值.,例题剖析,当cos=1即=0时，|a+b|取得最大值6；当cos=-1时，即=时，|a+b|取得最小值0.,解析 a+b=3e1+3e2=3(e1+e2),点评求模|a|时，通常运用|a|=进行运算.,（2006全国）已知向量a=(sin，1)，b=(1,cos）,(1)求ab，求;(2)求|a+b|的最大值,延伸拓展2,(2)(a+b)2=a2+2ab+b2=(sin2+1)+2(

10、sin+cos)+(1+cos2),解析（1）若ab，则ab=0,即sin+cos=0sin=-cos,cos0,延伸拓展2,6.2 平面向量的坐标运算,知识要点,如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2使a=1e1+2e2.(1)其中e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的经一组基底；(2)平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量之和，并且这一分解是唯一的，这说明a=1e1+2e2,又a=1e1+2e2，那么1=1,2=2.(3)当e1、e2是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平

11、面向量坐标表示的基础.在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位量i、j作为基底，对任一向量a,有且只有一对实数x，y使得a=xi+yj，则实数对(x,y)叫做a的直角坐标，记作a=(x,y),其中x,y分,1.平面向量的基本定理,2.平面向量的坐标表示,别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a=(x，y)叫做向量a的坐标表示，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=(x1 x2,y1 y2);(2)如果A(x1,y1)，B(x2,y2)；则AB=(x2-x1,y2-y1)，这就是平面内两点间的距离公式；(3)若a=(x

12、,y),则a=(x,y)；(4)若a=(x1,y1)，b=(x2,y2),b0,则ab x1 y1-x2 y1=0;(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,3.平面向量的坐标运算,知识要点,例题剖析,例1已知向量OA=（-1，2）,OB=(3,m),若OAAB,则m=.,答案 4,例2已知单位向量e与向量a=(7,1),b=(1,-7)的夹角相等，求e.,点评求向量的坐标，可设其坐标为(x,y)，由已知条件设法求两个含x、y的方程，解方程组即可得，本题若能想到数形结构合，则更容易，可设e=(a+b)，马上可得.,解析 设e=(x,y),则x2+y2=1,例

13、题剖析,例题剖析,例3（2007广东文）已知ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c,0)(1)若c=5,求sinA 的值;(2)若ABAC=0，求c的值.,例题剖析,延伸拓展1,已知ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c,8).(1)若ABC为以A为直角顶点的直角三角形，求c的值；(2)若角A为锐角，求c的取值范围.,点A、B、C不共线得,例题剖析,例4如右图所示，已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB交点P的坐标.,解析（法一）设OP=OB=(4,4),则P（4，4）AP=（4 4，4），又AC=（2-4，6-0）=（-2，6）

14、AP与AC共线6(4-4)-4（-2）=0得P(3,3)(法二)设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4)OPOB 4x-4y=0,即x=y,例题剖析,点评本例法（二）给出了已知四边形四顶点的坐标，求其对角线交点的一般解法利用向量共线的充要条件.,例5已知向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR；函数f(x)=ab的图象经点（，2）（其中0 x).(1)求实数m的值；(2)求f(x)的单调增区间.,解析（1）f(x)=ab=m(1+sin2x)+cos2x=msin2x+cos2x+m.,例题剖析,例题剖析,延伸拓展2,解析,延伸拓展2,6.3 平面向量的应用举例

15、,知识要点,1.运用向量的合成和分解、数量积解决平面几何问题.2.运用向量解决实际应用题,例题剖析,例1若点A（1，2），B（2，6），C（3，m)共线，则m=.,答案 6,例题剖析,点评解决此类与方向、大小都有关关系的应用题，关键是建模，以有向线段表示题中有关的向量，利用图形及向量的合成与分解，使得问题转化为熟悉的问题予以解决.,例2一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的速度.,延伸拓展1,已知某人在静水中游泳的速度为 km/h.如果他径直（即与河岸线垂直的方向）游向对岸，水流速度为4km/h,问此人的实际前进方向如何，速度

16、大小为多少？,例3 O是正六边形ABCDEF的中心，则FA+AB+2BO+ED等于（）A.FE B.AC C.DC D.FC,例题剖析,答案 B,点评在平面图形中的“向量合成与分解”问题入手方法首先是尽量将向量往原图形中的线段或含有已知信息的线段方向转化，其次是尽量将能合成的向量尽可能合成。以减少向量个数，另外还应注意图中的相等向量的转化,正六边形ABCDEF的中心为O，设OA=a,OB=b,试将CE表示为a、b的式子,延伸拓展2,例4 ABCD是平行四边形，若点A（3，-1），C（2，-3），点D在直线3x-y+1=0上移动，求点B的轨迹方程；,例题剖析,例题剖析,解析求动点的轨迹方程时，一

17、般设要求的动点坐标为（x,y)，若有另外的动点在已知曲线上移动，同可设为（x0,y0）,再利用已知条件得出x0、y0，再利用已知条件得出x0、y0与x、y的关系，代入已知曲线的方向，整理即得.,例题剖析,例5已知两点M（-1，0），N（1，0），点P使是MPMN、PMPN、NMNP成公差小于零的等差数列.(1)求点P的轨迹方程.(2)若P的坐标为（x0,y0)，PM与PN的夹角为,求tan.,且2x+2(x2-1+y2)（-2x+2）即x0P的轨迹方程为x2+y2=3(x0）(2)点P（x0,y0)PMPN=x20+y02-1=3-1=2.,例题剖析,0 x0,例题剖析,点评（1）求动点的轨迹

18、方程是一般是设该动点坐标为（x,y），利用已知条件求出一个含x、y的关系式即可，但应注意x,y是否有范围限制.(2)求两向量a、b的夹角一般是运用夹角公式，利用已知条件求出ab和|a|b|或ab与|a|b|的比例关系.,6.4 解斜三角形,知识要点,其中R为ABC外接圆半径）；,S,2.余弦定理：a2=b2+c2-2bcosA=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC,3.解斜三角形的类型（1）已知三边求三角；（2）已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角；（3）已知两角及任一边，求另一角和两边；（4）已知两边及其中一边的对角，求另一边及另两角.,例题剖析,例1 ABC三

19、角内A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=2,b=,B=60，则角A=，边c=.,答案 90，1,解析,例题剖析,例2 在ABC中，已知a=,b=,B=45，求A、C及边c,B=4590，b a.A=60或120.当A=60时，C=180-（A+B）=75,点评已知两边及其中一边的对角斜三角形时，必须首先判断是否有解，若有解，是一解还是两解.,解析,例题剖析,例3已知圆的内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4，求圆的半径及四国形ABCD的面积.,解析如右图，连结BD，由ABCD内接于圆，故A+C=180sinA=sinC,cosA=-cosC.ABD中，BD2=AB2+

20、AD2-2AB ADcosA=20-16cosABCD中，BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC=52-48cosC20-16cosA=52-48cosC=52+48cosAcosA=-,A=120 BD2=28即BD=2RsinA R=,例题剖析,四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=ABADsin120+BC CDsin60=16sinA=16=,点评应充分挖掘隐含条件，本题中“圆内接四边形”能挖掘出“对角互补”这个条件，利用cosA=-cosC，构造余弦定理，从而使问题得到解决.,例4 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cos2（A+）+cosA=,b+c=,求

21、角A、B、C.,解析,例题剖析,例题剖析,B+30=60 或120 B=30 或90.当B=30时，C=90，当B=90 时，C=30 A=60,B=30,C=90，A=60，B=30，C=90 或A=60，B=90,C=30.,例题剖析,点评解与三角形有关问题时，应注意“内角和=180”这个条件，条件有关于边的一次关系时，通常利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系.,延伸拓展1,设a、b、c分别是ABC三内角A、B、C的对边.(1)若cosB=,cosC=，求sinA;(2)若,试判断ABC的形状，说明理由.,解析,延伸拓展1,ABC为直角三角形.,例题剖析,例5如右图，海中两座小岛P、

22、Q间没法直接测量，只能在海岸线上利用仪器进行测量，再利用测量得到的数据进行计算.试写出一种测量方法，并依测量结果，计算出P、Q间的距离.,解析测量方法如下：可先在岸边取一段基线AB，如右图，量得AB的长，再测出PAB、QAB、PBA、QBA的大小，这样就可以求出两小岛间的距离PQ了，设AB=a,PAB=,PBA=，QAB=，QBA=r.则：PAB中，PA=，QAB中，AQ=PQA中，PAQ=PAB-QAB=-,例题剖析,点评测量不能直达的两点距离，利用解斜三角形是一个重要方法，解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，利用正、余弦定理进行计算.,延伸拓展2,如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD=,BDC=，CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.,解析 在BCD中，CBD=-,谢谢使用本课件,