工程数学(近世代数).ppt

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1、近世代数,高等工程数学,2,代数结构部分,第4章 知识准备第5章 群第6章 环和域,3,第4章 知识准备,二元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质交换律、结合律、消去律分配律 二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元,4,二元运算的定义及其实例,定义 设 S 为集合,映射 f：SSS 称为 S 上的二 元运算,简称为二元运算.也称 S 对 f 封闭.例1(1)N 上的加法、乘法.(2)Z 上：加法、减法、乘法.(3)非零实数集 R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设 S=a1,a2,an,ai aj=ai，为 S 上二 元运算.,5,二元运算的实例（续）,(5)设 Mn(R)表示所

2、有 n 阶(n2)实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算.(6)幂集 P(S)上的二元运算：,.(7)SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算.,6,二元运算的表示,算符：,等符号 表示二元运算 对二元运算，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy=z；表示二元或一元运算的方法：公式、运算表,7,公式表示 例2 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算：x,yR,x y=x.那么 3 4=3 0.5(-3)=0.5运算表（表示有穷集上的二元运算）,二元运算的表示（续）,8,运算表的形式,9,运算表的实例（续）,例3 Z5=0,1,2,3,4,模 5 加法的运

3、算表,10,二元运算的性质,定义 设 为 S 上的二元运算,(1)如果对于任意的 x,y S 有 x y=y x,则称运算在 S 上满足交换律.(2)如果对于任意的 x,y,z S 有(x y)z=x(y z),则称运算在 S 上满足结合律.,(3)如果对于任意的 x,y,zS，若 x y=x z，则 y=z 若 y x=z x,则 y=z 那么称 运算满足 消去律.,11,消去律,实例:Z,Q,R 关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵乘法不满足消去律.Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于模 n乘法满足消去律.当 n 为合数时关于模 n

4、乘法不满足消去律.,12,二元运算的性质（续）,定义 设 和 为 S 上两个不同的二元运算,如果 x,y,zS 有(x y)z=(x z)(y z)z(x y)=(z x)(z y)则称 运算对 运算满足分配律.,13,实例分析,Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实矩阵集合,n2；,14,二元运算的特异元素,单位元定义 设为S上的二元运算,如果存在eS，使得对任意 xS 都有 e x=x e=x，则称 e是 S 中关于 运算的 单位元.单位元也叫做 幺元.,定理 若 S 中关于运算存在单位元，则 单位元是唯一的.,15,二元运算的特异元素（续）,零元设 为 S 上的二元

5、运算,如果存在S，使得对任意 xS 都有 x=x=)，则称是S 中关于 运算的 零元.,定理 若 S 中关于运算存在零元，则 零元是唯一的.,16,二元运算的特异元素（续）,可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算的单位元.对于 xS，如果存在yS 使得 y x=x y=e，则称 y是 x 的 逆元.如果 x 的逆元存在，则唯一，记为x-1,称 x 是可逆的.,17,实例分析,18,例题分析,解(1)运算可交换，可结合.任取x,yQ,x y=x+y+2xy=y+x+2yx=y x,任取x,y,zQ,(x y)z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2

6、yz+4xyz x(y z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz,例4 设 运算为 Q 上的二元运算，x,yQ,xy=x+y+2xy,(1)运算是否满足交换和结合律?说明理由.(2)求 运算的单位元、零元和所有可逆元.,19,给定 x，设 x 的逆元为 y,则有 x y=0 成立，即 x+y+2xy=0(x=1/2)因此当 x 1/2时，是 x 的逆元.,例题分析（续）,(2)设运算的单位元和零元分别为 e 和，则对于任意 x 有 xe=x 成立，即 x+e+2xe=x e=0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元.,对于任意 x 有 x=

7、成立，即 x+2 x=x+2 x=0=1/2,20,代数系统定义与实例,定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1,f2,fk 组成的系统称为一个代数系统,简称代数，记做 V=.,21,实例,是代数系统，+和 分别表示普通加法和乘法.是代数系统，+和 分别表示n 阶(n2)实矩阵的加法和乘法.是代数系统，Zn0,1,n-1，和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,yZn，xy=(xy)mod n，xy=(xy)mod n 也是代数系统，和为并和交，为绝对补,22,5.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群,第5章 群,23,5.1 群的定义及性质,群的定义群中

8、的相关概念有限群、无限群与群的阶Abel群群中元素的幂元素的阶群的性质幂运算规则、群方程的解消去律群的运算表的排列,24,群的定义,定义 设G是非空集合，为G上的二元运算.如果(1)此运算是封闭的；（2）此运算满足结合律；（3）存在单位元 eG，即对任意x G，有 e x=x e=x（4）对 G 中的任何元素 x 都有 x1G，即 x1 x=x x1=e则称 G 关于是 群.有时也记作,25,群的实例,是群；,不是群.(2)是群，而不是群.(3)是群.Zn=0,1,n1，为模 n 加.,26,Klein四元群,设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为 Klein四元群,运算表特征：对称

9、性-运算可交换 主对角线元素都是幺元-每个元素是自己的逆元 a,b,c 中任两个元素运算 都等于第三个元素.,27,二、群中的相关概念,若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称为无限群.群 G 的所含元素的个数称为群G的 阶有限群 G 的阶记作|G|.若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群 或 阿贝尔(Abel)群.,28,实例,和 是无限群 是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群 G=e,a,b,c是 4 阶群 上述群都是交换群 n 阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.,29,实例 在中有 23=(21)3=13=111=0 在 中有(2)3=23=2+2

10、+2=6,定义 设G是群，xG，nZ，则 x 的 n 次幂 xn 定义为,二、群中的相关概念,30,设G是群，xG，使得等式 xk=e 成立的最小正整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作|x|=k，称 x为 k 阶元.若不存在这样的正整数 k，则称 x 为无限阶元.,在中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在.,二、群中的相关概念,31,三、群的性质-幂运算规则,定理1 设 G 为群,则 G 中的幂运算满足：(1)xG，(x1)1=x.(2)x,yG，(xy)1=y1x1.(3)xG，xnxm=x

11、n+m，n,mZ.(4)xG，(xn)m=xnm，n,mZ.注：(xy)n=(xy)(xy)(xy),是 n 个xy 运算，G为 交换群，才有(xy)n=xnyn.,32,三、群的性质-群方程存在唯一解,定理2 G为群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且仅有惟一解.a1b 是 ax=b的解.ba1 是 ya=b 的唯一解.,33,三、群的性质-消去律,定理3 G 为群，则G适合消去律，即a,b,cG 有(1)若 ab=ac，则 b=c.(2)若 ba=ca，则 b=c.,34,三、群的性质-运算表排列规则,定理4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列都是 G 中元素的

12、一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同.注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.,35,5.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群,第5章 群,36,子群,定义子群的判定定理重要的几类子群,37,子群的定义,定义 设 G 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 关于 G 中的运算构成群，则称 H 是 G 的子群,记作 HG.若 H 是 G 的子群，且 HG，则称 H 是 G 的真子群，记作 HG.,实例 nZ（n是自然数）是整数加群 的子群.当 n1 时,nZ 是 Z 的真子群.对任何群 G 都存在子群.G 和 e 都是 G 的子群，称为 G 的平凡子群.,38,子群

13、判定定理,判定定理 1 设 G 为群，H 是 G 的非空子集.H 是 G 的子群当且仅当 x,yH 有 xy1H.判定定理 2设 G 为群，H 是 G 的非空子集.H 是 G 的子群当且仅当 x,yH 有 xyH且x1 H.,39,重要子群,生成子群定义 设 G 为群，aG，令 H=ak|kZ，则 H 是 G 的子群，称为由 a 生成的子群，记作.证 首先由 a 知道.任取 am,al，则am(al)1=am al=aml 根据判定定理可知G.,40,实例,整数加群，由 2 生成的子群是=2k|kZ=2Z 模 6 加群 中 由 2 生成的子群=0,2,4 Klein四元群 G=e,a,b,c

14、的所有生成子群是：=e,=e,a,=e,b,=e,c.,41,群G的中心C 设 G 为群,令 C=a|aG且xG有ax=xa，则 C 是 G 的子群，称为 G 的中心.证 eC.C是 G 的非空子集.任取 a,bC，证明 ab1与 G 中所有的元素都可交换.xG，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理可知 CG.,重要子群（续）,42,5.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群,第5章 群,43,循环群,定义循环群的分类生成元循环群的子群,44,循环群的定义,定义 设 G

15、是群，若存在 aG 使得 G=ak|kZ 则称 G 是循环群，记作 G=，称 a 为 G 的生成元.实例 整数加群 G=模 6 加群 G=,45,循环群的分类,设 循环群 G=，根据生成元 a 的阶可以分成两类：n 阶循环群和无限循环群.设 G=是循环群，若a 是 n 阶元，则 G=a0=e,a1,a2,an1 那么|G|=n，称 G 为 n 阶循环群.若 a 是无限阶元，则 G=a0=e,a1,a2,这时称 G 为无限循环群.,46,循环群的生成元,定理设 G=是循环群.(1)若G是无限循环群，则 G 只有 a 和 a1 两个生成元.(2)若 G 是 n 阶循环群，则 ar 是 G 的生成元

16、当且仅当 r 是小于等于 n 且与 n 互质的正整数.,47,设G=e,a,a11是12阶循环群，则小于或等于12且与12互素的数是 1,5,7,11,由定理可知 a，a5，a7和 a11 是 G 的生成元.(2)设G=是模9的整数加群，则小于或等于 9且与 9 互素的数是 1,2,4,5,7,8.根据定理，G的生成元是 1,2,4,5,7 和 8.(3)设 G=3Z=3z|zZ,G上的运算是普通加法.那么G只有两个生成元：3 和 3.,生成元的实例,48,循环群的子群,定理设G=是循环群.设G=是循环群，则 G 的子群仍是循环群.若G=是无限循环群，则 G 的子群除e以外都是无限 循环群.(

17、3)若G=是 n 阶循环群，则对 n 的每个正因子d，G 恰好含有一个d 阶子群.,49,（1）G=是无限循环群，对于自然数mN，1 的 m 次幂 是 m，m 生成的子群是 mZ，mN.即=0=0Z=mz|zZ=mZ，m0(2)G=Z12是12阶循环群.12的正因子是1,2,3,4,6 和12，因此G 的子群是：1 阶子群=0，2 阶子群=0,6 3 阶子群=0,4,8，4 阶子群=0,3,6,9 6 阶子群=0,2,4,6,8,10，12 阶子群=Z12,子群的实例,50,5.1 群的定义与性质5.2 子群5.3 循环群5.4 置换群,第5章 群,51,置换群,置换及置换的表示N次对称群,5

18、2,n元置换的定义,定义 设 S=1,2,n,S上的双射函数:SS 称为 S上的 n元置换.一般将 n 元置换记为 例如 S=1,2,3,4,5,则 都是 5元置换.,53,n元置换的表示,置换符号表示 轮换表示对换表示,54,k 阶轮换与对换,定义 设是 S=1,2,n上的 n 元置换.若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik1)=ik,(ik)=i1且保持 S 中的其他元素不变，则称为 S上的 k 次轮换，记作(i1i2ik).若 k=2，称为S上的对换.例如 5元置换 分别是 5阶和 2 阶轮换=(1 2 3 45),=(1 3),其中 也叫做对换,55,n元置换分解为轮换,设 S=1,

19、2,n，对于任何 S 上的 n 元置换，一定可以写成若干个轮换的乘积=1 2 t,56,分解实例,例 设 S=1,2,8,=(1 5 2 3 6)(4)(7 8)=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 8 3 4 2)(5 6 7)注意：在轮换分解式中，1 阶轮换可以省略.,57,n元置换的乘法与求逆,两个 n 元置换的乘法就是函数的复合运算n 元置换的求逆就是求反函数.例 设 使用轮换表示是：=(1 5 4)(2 3)(1 4 2 3)=(1 5 2)=(1 4 2 3)(1 5 4)(2 3)=(3 5 4)-1=(1 5 4)-1(2 3)-1=(4 5 1)(2 3)=(1 4 5)

20、(2 3),58,n元置换群及其实例,考虑所有的 n 元置换构成的集合 Sn（1）Sn关于置换的乘法是封闭的.（2）置换的乘法满足结合律.（3）恒等置换(1)是 Sn 中的单位元.（4）对于任何 n元置换Sn，逆置换1是 的逆元.这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n次对称群.n元对称群的子群称为 n次置换群.例 设 S=1,2,3，3次对称群 S3=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2),59,S3 的运算表,60,S3的子群,S3=(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)，A3=(1),(1 2 3),(1 3

21、 2)，=(1)=(1),(1 2),=(1),(1 3),=(1),(2 3),61,第6章 环与域,环的定义与实例特殊的环 交换环 含幺环 无零因子环 整环 域,62,环的定义,定义 设是代数系统，+和是二元运算.如果满足以下条件:（1）构成交换群（2）构成半群（封闭，结合律）（3）运算关于+运算适合分配律则称是一个环.,63,环的实例,(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环，分别称为整数环Z，有理数环Q，实数环R 和 复数环C.(2)n(n2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环，称为n阶实矩阵环.(3)设Zn0,1,.,n1，和分别表示模n的加法

22、和乘法，则构成环，称为模n的整数环.,64,环中的相关概念,通常称+运算为环中的加法，运算为环中的乘法.环中加法单位元记作 0乘法单位元（如果存在）记作 1.对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x.若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 x1.,65,特殊的环,定义 设是环，(1)若环中乘法适合交换律，则称 R是交换环.(2)若环中乘法存在单位元，则称 R是含幺环.(3)若a,bR，a b=0 a=0或b=0，则称R是无零因子环.(4)若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称 R 是整环.(5)若 R为整环，|R|1,且aR*=R0，a1R,则称 R 为域.,66,零因

23、子的定义与存在条件,设是环，若存在 ab=0,且 a0,b0,称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子环.实例，其中 23=0，2 和 3 都是零因子.无零因子环的条件：可以证明：ab=0 a=0或 b=0 消去律,67,特殊环的实例,(1)整数环Z、有理数环Q、实数环R、复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环.其中除Z之外都是域(2)令2Z=2z|zZ，则构成交换环和无零因子环.但不是含幺环和整环.(3)设nZ,n2,则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和 乘法构成环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.(4)构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子 环和整环.注意：对于一般的 n,Zn是整环且是域 n是素数.,68,例题,判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域.(1)A=a+bi|a,bQ,i2=1,运算为复数加法和乘法.(2)A=2z+1|zZ,运算为普通加法和乘法(3)A=2z|zZ,运算为普通加法和乘法(4)A=x|x0 xZ,运算为普通加法和乘法.(5)，运算为普通加法和乘法,解(2),(4),(5)不是环.为什么？(1)是环,是整环,也是域.(3)是环,不是整环和域.,