工程力学教学课件第6章弯曲应力.ppt
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1、1,第六章 弯曲应力,目录,2,回顾与比较,内力,应力,目录,3,第六章 弯曲应力,61 概述,62平面图形的几何性质,64 弯曲切应力,65 梁的强度计算,66 提高梁强度的主要措施,67 弯曲中心,68 组合梁,63 弯曲正应力,4,61 概述,一、平面弯曲,纵向对称面,P1,P2,5,P,P,a,a,A,B,Fs,M,x,x,二、纯弯曲,C,D,图示梁 AB 段横截面上只有弯矩,而无剪力,该段梁的弯曲称为纯弯曲。,C A与BD 段横截面上即有弯矩,又有剪力,该两段梁的弯曲称为横力弯曲。,6,6.2 平面图形的几何性质,截面的几何性质:与构件的截面的形状和尺寸有关的几何量。如拉伸时遇到的截
2、面面积、扭转时遇到的极惯性矩。,7,形心和静矩,形心:几何形状的中心。,等厚、均质薄板的重心与平面图形的形心相重合。,形心坐标公式,8,形心和静矩,静矩:,静矩的量纲单位为m3或cm3。,由形心坐标公式得:,9,惯性矩、惯性积,惯性矩:,惯性矩和惯性积的单位 m4或cm4。,惯性积:,10,63 弯曲正应力,一、纯弯曲时梁的正应力,实验观察,11,纵向直线代表一层纤维,变形后为平行曲线。每层变成曲面,同层纤维变形相同。,下层纤维受拉伸长,上层纤维受压缩短;层间变形连续,中间必有一层即不伸长也不缩短,,称为中性层。,横线代表一横截面,变形后仍为直线,但转过一个角度,且仍与纵线正交。横截面与中性层
3、的交线称为中性轴。,12,基本假设,平面假设:梁的横截面变形后仍为平面,且与梁变形后的轴线正交;,层间纤维无挤压。,13,变形几何关系,取一微段dx,dx,a,b,c,d,o1,k1,k2,o2,o,y,变形前,变形后,14,变形物理关系,y,y,x,z,dA,z,其中y 为横截面上求应力那点相对中性轴的坐标,为中性层变形后的曲率半径。欲求横截面上一点应力必须知道中性轴的位置和中性层的曲率半径。,静力关系,横截面正应力满足如下关系:,15,y,y,x,z,dA,z,由:,必有横截面静矩Sz=0,z 轴过截面形心。,由:,C,必有横截面惯性积 Syz=0,z 轴为形心主轴。,16,y,y,x,z
4、,dA,z,C,由:,其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力,称为抗弯刚度。,于是得:,17,y,y,x,z,dA,z,C,由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比,中性轴上各点正应力为零,离中性轴最远点正应力最大。,z,z,C,C,18,令,上式可改写为,Wz 称为抗弯截面模量,单位:m3。,上述分析是在平面假设下建立的,对于横力弯曲,由于横截面上还有剪力,变形后截面会发生翘曲,平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时,翘曲很小,可按平面假设分析吗?,19,横力弯曲,6-2,20,横力弯曲正应力公式,弯曲正应力,弹性力学精确分析表明,当跨度 l 与横截面高度 h 之
5、比 l/h 5(细长梁)时,纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲最大正应力,21,弯曲正应力公式适用范围,纯弯曲或细长梁的横力弯曲,弹性变形阶段,22,常见截面的 IZ 和 WZ,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,23,例1 求图示矩形截面梁D 截面上a、b、c 三点的正应力。,A,B,C,D,2m,2m,2m,F=12kN,FA,FB,z,c,a,b,5,6,2,3,(cm),解:,取AD,,A,FA,D,Fs,MD,(上面受拉),(拉),(拉),24,例2求图示T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50
6、kN,C,30,110,30,80,解:画梁的弯矩图;,4kN.m,z,y2,y1,确定中性轴的位置。,25,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,C,30,110,30,80,4kN.m,z,y2,y1,截面形心主惯性矩:,26,C,C,30,110,30,80,z,y2,y1,D 截面下边受拉,上边受压;B 截面上边受拉,下边受压。比较可知最大压应力在D 截面的上边缘,而最大拉应力可能发生在D 截面的下边缘,也可能发生在B 截面的上边缘。,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,4kN.m,27,C,30,110,30,
7、80,z,y2,y1,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,4kN.m,D截面:,B截面:,28,C,30,110,30,80,z,y2,y1,最大拉应力发生在B 截面的上边缘,最大压应力发生在D 截面的上边缘。分别为,A,B,C,D,0.3m,0.3m,0.2m,P=20kN,P=50kN,4kN.m,29,例3 图示矩 形截面梁,C 截面处有一直径d=40mm的圆孔,试求该截面的最大正应力。,A,B,C,2m,2m,80,40,40,40,解:,30,64 弯曲切应力,横力弯曲时,梁横截面即有弯矩,也有剪力,相应也必有切应力。,一、矩形截面切应力,基本假
8、设:,截面上各点切应力与剪力同向;,距中性轴等距离各点的切应力相等。,在梁上截一微段dx,再在微段上用水平截面mn 截一微元。,Fs,Fs,M,M+dM,1,1,2,2,dx,m,n,31,1,dx,2,m,n,x,y,h/2,1,2,y,y1,b,dA,FN1,FN2,1,2,dx,m,n,y,x,z,平衡条件:,32,y,y1,b,dA,N1,N2,1,2,dx,m,n,y,x,z,同理得,因,于是得,33,式中 为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。,C*,b,y,y*,h/2,h/2,z,max,由此式可知,横截面各点切应力是各点坐标y 的2次函数,切应力的大小沿截面高度呈
9、抛物线分布。中性轴上切应力最大,上下边缘切应力为零。,34,二、其它截面切应力,工字型截面腹板的切应力,翼板,腹板,b,z,b1,max,式中b1为工字型腹板的厚度。,35,b,b1,z,max,为中性轴一側截面对中性轴的静矩。,T型截面,max,z,max,圆形截面,环形截面,max,z,z,36,例4 图示梁由三块板胶合而成,横截面尺寸如图所示,求截面的最大切应力和胶缝的切应力。,A,B,2m,2m,60,40,40,40,解:,FA=6kN,FB=6kN,37,65 梁的强度计算,切应力强度条件:,正应力强度条件:,对于等截面梁,梁要安全工作,必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。
10、,38,简单截面的最大切应力可用简化公式计算,即,矩形截面,圆形截面,环形截面,根据强度条件可进行下述工程计算:,强度校核;,设计截面尺寸;,确定容许荷载。,39,利用强度条件进行工程计算时,需首先确定梁的危险截面。,梁的最大正应力发生在弯矩最大、截面离中性轴最远点处;变截面梁要综合考虑 M与IZ;脆性材料抗拉和抗压性能不同,二方面都要考虑,梁的最大切应力发生在剪力最大截面的中性轴上。,一般来说,梁的最大正应力与最大切应力并不在同一截面上,弯矩图上最大弯矩对应于梁的最大正应力所在截面,剪力图上最大剪力对应于梁的最大切应力所在截面。,40,例5 图示梁的的荷载及截面尺寸如图所示,材料的容许拉应力
11、t=40MPa、容许压应力c=100MPa,容许切应力=20MPa。试校核该梁的强度。,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,C,z,200,200,30,30,解:求支座反力;,画内力图;,FD=10kN,M图,20kN.m,10kN.m,157.5,计算截面惯性矩;,10kN,10kN,20kN,Fs图,41,C,z,200,200,30,30,157.5,A,B,3m,1m,2m,C,D,FB=30kN,FD=10kN,B 截面最大拉应力:,B 截面最大压应力:,C 截面最大拉应力:,C 截面最大压应力:,42,C,z,200,200,30,30,157.5,A,B,3m,1
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