应用多元统计ch3.23.3.ppt

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1、1,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验,2.当未知时均值向量的检验 当p=1时(一元统计)，取检验统计量为,或等价地取检验统计量,2,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验,推广到多元,考虑统计量,因,离差阵,3,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验,由定义3.1.5可知,利用T 2与F分布的关系，检验统计量取为,4,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1,例3.2.1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了20名健康成年女性的出汗量(X1)、钠的含量(X2)和钾的

2、含量(X3)(数据见表3.1).试检验 H0:=0=(4,50,10)，H1:0.,5,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1,解 记随机向量X=(X1,X2,X3),假定XN3(,).检验 H0:0，H1：0.取检验统计量为,由样本值计算得:,6,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1,7,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验例3.2.1,对给定=0.05,按传统的检验方法,可查F分布临界值表得=F3,17(0.05)=3.2,比较由样本值计算得到的F值及临界值,因F值=2.90453.2,故H

3、0相容.利用统计软件进行检验时,首先计算p值(此时检验统计量FF(3,17)：p=PF2.9045=0.06493.因p值=0.064930.05=,故H0相容.在这种情况下，可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为=P F3.2|=X=0.3616(假定总体均值=10,取1=X).,8,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,在数理统计中关于总体参数的假设检验,通常是利用最大似然原理导出似然比统计量进行检验.在多元统计分析中几乎所有重要的检验都是利用最大似然原理给出的.下面我们回顾下最大似然比原理.,作出判断,这就是假设检验问题.称H 0 为原假设(或零假

4、设)，H 1为对立假设(或备择假设).,设p维总体的密度函数为f(x,),其中是未知参数，且(参数空间)，又设0是的子集,我们希望对下列假设：,9,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,从总体X抽取容量为n的样本X(t)(t=1,n).把样本的联合密度函数,记为L(X;),并称它为样本的似然函数.引入统计量,10,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,是样本X(t)(t=1,n)的函数,常称为似然比统计量.由于0是的子集,即分子分母,从而01.直观考虑,若H0成立时,值应近似为1.如果取值太小(即分子分母),由最大

5、似然原理,说明H0为真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率比H0为不真时观测到此样本X(t)(t=1,n)的概率要小得多.故有理由认为假设H0不成立,所以从似然比统计量出发,以上检验问题的否定域为(X(1),X(n),11,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,按传统计的检验方法,是由显著性性水平确定的临界值,它满足在H0成立时有：P(X(1),X(n)=.,为了得到,必须研究似然比统计量的抽样分布.在一些特殊的情况下,的精确分布可以得到;但很多情况得不到的精确分布.,12,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计

6、量,当样本量很大且满足一定条件时,-2ln的抽样分布与2分布十分接近.下面不加证明地给出一条很有用的结论.,近似服从自由度为f 的2分布,其中 f=的维数-0的维数.,定理3.2.1 当样本容量n很大时，,13,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,我们来导出当未知时检验均值向量=0 的似然比统计量，并讨论它的分布.,在第二章2.5中已经导出：以上比式的分母当=X,=A/n时达最大值，且最大值为,设样本的似然函数为L(,).检验均值向量=0 的似然比统计量为,14,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,比式的分子当

7、,A0,时达最大值，且最大值为,故,以下来推导似然比统计量与T2的关系：,15,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,利用分块矩阵行列式的性质(见附录4推论4.1)有:,16,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,所以,即,17,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2 单总体均值向量的检验-似然比统计量,其中,否定域:,其中,注意以上“”仅代表拒绝域相同,18,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2-置信域与联立置信区间,在一元统计中,讨论均值的假设检验问题与求均值的置信区间,虽提法上不同,实质上是等价的.下面

8、介绍单个多元正态总体均值向量置信域的有关概念,它可以作为一元统计中置信区间的推广.,19,1.置信域 假设X(t)(t=1,2,n)来自p元正态总体Np(,)(未知)，由前面的讨论可知,或者,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2-置信域与联立置信区间,20,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2-置信域与联立置信区间,任给置信度1-,查F分布临界值表得F满足PFF=1-,(3.2.1),则均值向量的置信度为1-的置信域为,该置信域是一个中心在X上的椭球.,21,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2-置信域与联立置信区间,当检验假设H0:=0时，若0落入该置信域内，即,则在显著性水平下

9、，H0相容；若0没有落入该置信域内，则否定H0.可见在多元统计中，讨论均值向量的假设检验问题实质上也等价于求均值向量的置信域.,22,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2-置信域与联立置信区间,2.联立置信区间(不要求)以上介绍如何构造均值向量的置信域:,在实际应用中,我们往往更需要考察的线性组合的联立置信区间.,对任意的p维常向量a,考虑a的置信区间,便能够得到所要的联立置信区间.比如取a=ei=(0,1,0),i=ei(i=1,p),23,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.2-置信域与联立置信区间,考察i(i=1,p)的的联立置信区间.下面的定理给出有用的结论.,定理3.2.2 假

10、设X(t)(t=1,2,n)为来自 p元正态总体Np(,)(0未知)的随机样 本，则对所有的向量a,区间,包含a的概率为1-(其中F满足(3.2.1)式).,24,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,当p1时，因,且相互独立，故有,1.两总体协差阵相等(但未知)时均值向量的检验 设X()(1,n)为来自总体XNp(1),)的随机样本；Y()(1,m)为来自总体Y Np(2),)的随机样本,且相互独立,未知.检验,25,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,取检验统计量为,t(n+m-2)(在H0成立时),

11、即,26,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,推广到p元总体,检验统计量的形式类似,可考虑以下检验统计量T2：,其中A1和A2是两总体的样本离差阵.它们是一元统计中的偏差平方和(X(i)-X)2在p元情况下的推广.以下来证明统计量T 2 T 2(p,n+m-2).,因,27,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,由Wishart分布的可加性知 A1+A2Wp(n+m-2,)，由T2统计量的定义3.1.5可知,28,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,利用T2与

12、F的关系，检验统计量取为,可以证明T2(或F)统计量是检验以上假设H0的似然比统计量.(见习题3-10),29,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,利用T2与F的关系，检验统计量取为,可以证明T2(或F)统计量是检验以上假设H0的似然比统计量.(见习题3-10),30,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,2.两总体协差阵不等时均值向量的检验 在一元统计中(p=1时)，当12 22时,检验H0：(1)(2)也没有很好的方法，以下介绍实用中的几种方法.当n=m时,作为成对数据进行处理.令Z(i)=X(i)-

13、Y(i)(i=1,n)，化为单个p元总体Z的均值检验问题 H0：(1)(2)H0：Z0 利用前面介绍的方法进行检验.注意：在这里两组样本相互独立的信息没有利用.,31,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,当nm时(不妨设nm)：想法也是化为单个p元新总体的均值检验问题.若只取n对数据按方法处理,又将损失一些信息.改进的办法是利用X(i)(i=1,n)和Y(j)(j=1,m)，构造新总体Z的样本Z(i)，令,可以证明：,32,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验-两个p元正态总体,所以Z(i)N p(1)-(2),Z)(i1

14、,n)，且相互独立.利用前面介绍的单个正态总体均值向量的检验方法进行检验.当1,2相差甚大时,可构造近似检验统计量进行检验(见参考文献1).,其中,33,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,多个正态总体均值向量的检验问题也称为多元方差分析.设有k个p元正态总体Np(t),)(t1,k)，样品(t1,k,1,nt)是来自Np(t),)的随机样本，检验 H0:(1)(k)，H1:至少存在ij使得(i)(j)(即(1),(k)中至少有一对不等).,当p=1时,此检验问题就是一元方差分析问题,比如比较k个不同品牌的同类产品中一个质量指标X(如耐磨度)有无显著差异

15、的问题,我们把不同品牌对应不同总体(假定为正态总体),这种多组比较问题就是检验问题.,34,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下(i=1,k;记n=n1+n2+nk)：,35,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,从第i个总体抽取容量为ni的随机样本如下(i=1,k;记n=n1+n2+nk)：,36,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析(p=1),直观考察,若H0成立(即k个总体均值无显著差异),当总偏差平方和SST固定不变时,应有组间偏差

16、平方和 SSA小,而组内偏差平方和 SSE大,因而比值SSA/SSE应很小.检验统计量取为,给定显著性水平,按传统检验方法,查F分布临界值表得F满足：PFF,否定域WFF.,37,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,推广到k个p元总体Np(t,)(假定k个总体的协差阵相等，且记为)，记第i个p元总体的数据阵为,对总离差阵进行分解：,38,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,其中,称为组间离差阵.,故交叉项=O,称为组内离差阵.,39,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,根据直观想法及用似然比原理得到检验H0的统计量为,由Wishart分布的定义容易得出:因 Ai Wp(ni-1,)且相互独立(i1,k),由可加性可得AA1+AkWp(n-k,)(n=n1+nk).在H0下，TWp(n-1,).还可以证明在H0下,BWp(k-1,),且B与A相互独立.,40,第三章 多元正态总体参数的假设检验3.3 多总体均值向量的检验多元方差分析,根据分布的定义，可知,给定显著性水平,查Wilks分布临界值表,可得,使 P，故否定域W.当手头没有Wilks临界值表时,可用2分布或F分布来近似,即由的函数的近似分布进行检验(见参考文献1或2).,