尺规作图不能问题略谈.ppt

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1、尺规作图,一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧由此可知，尺规图与般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.,二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 用直尺作图的几何语言：过点、点作直线；或作直线；或作射线；连结两点；或连结；延长到点；或延长（反向延长）到点，使；或延长交于点；用圆规作图的几何语言：在上截取；以点为圆心，的长为半径作圆（或弧）；以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；分别以点

2、、点为圆心，以、的长为半径作弧，两弧相交 于点、,三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程。当不要求写作法时，一般要保留作图 痕迹 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找 作法。在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图时，保留作图痕迹很重要。.,五种基本作

3、图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；,思考1：已知三边作三角形。已知：线段a，b，c.求作：ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.思考2：已知两角及夹边作三角形。思考3：已知两边及夹角作三角形。,正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做;正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的尺规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些.人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案一直悬而未

4、决两千余年.,只使用直尺和圆规，作正七边形这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形已被证明是不能由尺规作出的。只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的。问题的解决:高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方乘以不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。1832年，Richelot与Schwendewein给出正257边形的尺规作法。1900年左右，Hermes花费十年的功夫用尺规作图作出正65537边形，他的手稿装

5、满一大皮箱，可以说是最复杂的尺规作图。,约翰卡尔弗里德里希高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日1855年2月23日），男，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。高斯在历史上影响

6、巨大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。,你认为如何用尺规作正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形呢？,1、等分弧2、利用垂线或角平分线,正五边形的画法圆内接正五边形的画法如下:1、任作一圆O2、任作圆O中互相垂直的两直径AB、CD3、作OD的垂直平分线交OD于E4、以E为圆心，EA长为半径作弧，交CD于F5、在圆O上顺序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF则得正五边形AGHMN,正五边形作法：1）作OA的中点M。2）以M点为圆心，M1为半径作弧，交水平直径于K点。3）以1K为边长，将圆周五等分，即可作出圆内接正五边形,为什么没有正七边形的尺规作图呢？,尺规作图不能问题 尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：三等分角问题：三等分一个任意角；倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。,几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.尺规作图还可以做出很多漂亮的图案。,