导数的基本公式与运算法则.ppt

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1、9/9/2023,微积分讲义,设计制作,王新心,9/9/2023,3.3 导数的基本公式和运算法则,（七）导数公式,（一）函数的和、差、积、商的求导法则,（二）复合函数的求导法则,（三）反函数的求导法则,（四）隐函数的求导法则,（五）对数求导法则,（六）由参数方程确定的函数的求导法则,（八）综合杂例,9/9/2023,第三章 导数与微分,（一）函数的和、差、积、商的求导法则,1、常数的导数,9/9/2023,第三章 导数与微分,2、幂函数的导数,由二项式定理知,以后可以证明，,为任何实数公式也成立。,9/9/2023,3、代数和的导数,第三章 导数与微分,设可导，,则,也可导，,且,证明,证毕

2、.,9/9/2023,此公式可以推广到有限个函数的情形,第三章 导数与微分,例1求函数的导数,解,9/9/2023,4、乘积的导数,第三章 导数与微分,设可导，,则,也可导，,且,证明,9/9/2023,第三章 导数与微分,证毕.,可导一定连续,9/9/2023,第三章 导数与微分,乘积公式可以推广到有限个函数的情形,特别地,（为常数）,例2求的导数,解,9/9/2023,5、商的导数,第三章 导数与微分,设可导，,且,证明,且,9/9/2023,第三章 导数与微分,证毕.,9/9/2023,第三章 导数与微分,特别地,（为常数）,例3求的导数,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,例4求

3、的导数,解,9/9/2023,6、对数函数的导数,第三章 导数与微分,设,9/9/2023,7、三角函数的导数,第三章 导数与微分,（1）设,连续,同理可得,（2）设,9/9/2023,第三章 导数与微分,（3）设,同理可得,（4）设,9/9/2023,第三章 导数与微分,（5）设,（6）设,9/9/2023,第三章 导数与微分,例5求的导数,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,设,是的一个复合函数,若在处有导数,则,在对应点处有导数,复合函数在点处的导数也存在，,且,或写成,（二）复合函数的求导法则,9/9/2023,第三章 导数与微分,则,所以,故,证明因为在点处可导，,（当时，）,

4、所以,证毕.,可导一定连续,9/9/2023,第三章 导数与微分,此法则可推广到多个中间变量的情形,若,链式法则,关键弄清复合函数结构，,由外向内逐层求导,9/9/2023,第三章 导数与微分,例6求的导数,解设,例7求的导数,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,例8求的导数,解,例9求的导数,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,例10求的导数,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,例11求的导数,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,解,例12设存在，,导数,求的,9/9/2023,第三章 导数与微分,证,证毕.,9/9/2023,第三章 导数与微分,设在点处可导，,且,

5、则,又设反函数在相应点处连续，,存在，,且,或,（三）反函数的求导法则,9/9/2023,第三章 导数与微分,证设反函数的自变量取得改,变量时，,因变量取得相应的改变量，,当,时，,必有，,否则由,得,因为函数的变量,是一一对应的，,所以,这与,的假设相矛盾。,9/9/2023,第三章 导数与微分,因此，,有,当时，,再由假设得,当时，,又由的连续性知，,证毕.,9/9/2023,第三章 导数与微分,反三角函数的导数,（1）,由于的反函数是,9/9/2023,第三章 导数与微分,（2）,同理可得,（3）,（4）,9/9/2023,第三章 导数与微分,解,例14求的导数,例15求的导数,解,9/

6、9/2023,第三章 导数与微分,（四）隐函数的求导法则,且可导，,设方程 确定了是的函数，,并,再利用复合函数的,两边同时对求导，,求导公式可求隐函数对的导数。,9/9/2023,第三章 导数与微分,例16方程确定是的函数，,求,解方程两边同时对求导,解得,是的函数,9/9/2023,第三章 导数与微分,例17方程确定是的函数，,求,解方程两边同时对求导,解得,9/9/2023,第三章 导数与微分,求其曲线上点处的切线和法线方程,例18方程确定是的函,数，,解方程两边对求导,得,切线方程,法线方程,9/9/2023,第三章 导数与微分,指数函数的导数,设,两边取对数，,写成隐函数的形式,两边

7、对求导,解得,9/9/2023,第三章 导数与微分,例19求函数的导数,解,例20求函数的导数,解,例21方程确定是的函数，,求,解方程两边对求导,解得,9/9/2023,第三章 导数与微分,（五）对数求导法则,例22求函数的导数,两边取对数，,写成隐函数的形式,两边对求导,解得,解此函数既不是幂函数也不是指数函数,称其为幂指函数。,不能用幂函数或指数函数的,求导公式，,9/9/2023,第三章 导数与微分,例23求函数的导数,两边对求导,解此函数若直接求导会很复杂。,两边取对数（设）,9/9/2023,第三章 导数与微分,解得,当时，,当时，,用同样的方法求导可得与上面相同的结果。,9/9/

8、2023,第三章 导数与微分,（六）由参数方程所确定的函数的求导法则,若参数方程确定是的函数，,则称此函数关系为由参数方程所确定的函数。,设有连续反函数,又,存在，,且,则有,9/9/2023,第三章 导数与微分,例24已知,求,解,例25已知,求,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,（七）导数公式,基本初等函数的导数公式,9/9/2023,第三章 导数与微分,说明在公式中,均为常实数。,9/9/2023,第三章 导数与微分,说明在公式中,为常实数，,运算法则,均为函数。,9/9/2023,第三章 导数与微分,（八）综合杂例,例26设,求,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,例27

9、设,求,解,函数，,求,解,整理得,9/9/2023,第三章 导数与微分,例29设,求,解,当时，,当时，,当时，,当时，,9/9/2023,第三章 导数与微分,由上节例10知,不存在，,不存在，,故有,9/9/2023,第三章 导数与微分,例30已知可导，,求,解,其中为常数,9/9/2023,第三章 导数与微分,例31已知,若,求证,证,证毕.,9/9/2023,第三章 导数与微分,求当球半径时，,例32设球半径以的速度等速,增加，,其体积增加,的速度。,解,两边对时间求导,当时,（此题为相关变化率问题）,9/9/2023,内容小结,1.导数公式,2.函数的求导法则,3.隐函数求导法则,4.对数求导法则,作业P138 15-45,第三章 导数与微分,和、差、积、商,反函数、复合函数,由参数方程确定的函数,9/9/2023,备用题,第三章 导数与微分,1.已知,则,（2004）,解,9/9/2023,第三章 导数与微分,2.已知可导，,解（1）,（1）,求下列函数的导数,（2）,（2）,9/9/2023,第三章 导数与微分,3.设,解两边取对数,求,9/9/2023,第三章 导数与微分,解方程两边取对数,求,4.设由方程所确定，,再对求导,9/9/2023,第三章 导数与微分,5.设,求,解方程组两边同时对求导，得,