导数在经济上的应用.ppt

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1、一、边际分析,第六节,导数在经济上的应用,第三章,二、弹性分析,3.6.1 常用的经济函数,3.6.1 常用的经济函数,需求函数:就是商品需求量与价格之间的函数关系。,1.需求函数,常见的需求函数有以下几种类型,(1)线性需求函数,(2)二次需求函数,(3)指数需求函数,一般来说，需求函数是价格的单调减少函数.,供给函数:就是商品供给量与价格之间的函数关系。,需求函数的反函数 称为价格函数。,2.供给函数,常见的供给函数有以下几种类型,(1)线性供给函数,(2)二次供给函数（略）,(3)幂供给函数,(4)指数供给函数,一般来说，供给函数是,价格的单调增加函数.,需求函数,供给函数,均衡价格,均

2、衡量,供过于求,供不于求,3.均衡点,例3.6.1.某商品的,需求函数,供给函数,求均衡点。,解：由均衡条件,得：,4.成本函数,FC(q)和变动成本(variable cost,VC(q).固定成本包括设备,的固定费用和其他管理费用；变动成本是随销售量或有形,成本函数：一个企业的成本包括固定成本(fixed cost,产量的变化而变化。,总成本=固定成本+可变成本，即,平均成本函数,例 如果已知某产品的成本C是产量q的线性函数，而,时，,；当,时，,，,解：设,则,解之得：,所以,（元）,5.收益函数与利润函数,收益函数：生产者出售一定数量产品所得的全部收入，,即收益=价格售出量，即,利润函

3、数：利润是一个企业所追求的主要目标之一。,利润L(q)是产量（或销售量）的函数，利润=收益-成本，,生产者盈利；,生产者亏损；,生产者盈亏平衡；,称为盈亏平衡点（又称保本点）,例 某工厂生产的某产品，年产量为q台，每台售价,为100元，当年产量超过800台，超过的部分只能以9折的价,格出售，这样可以多出售200台。再多生产，将无法出售。,试写出本年的收益函数。,解：,例3.6.5 设某产品的价格函数是,其中p为价格（元），q为产品销售量。又设产品的固定,成本为6000元，变动成本为20元/件。求成本函数、收益,解：,成本函数为,收益函数,利润函数,函数和利润函数。,1.最大利润问题：,3.6.

4、2.最大值与最小值在经济问题中的应用举例,例3.6.6.已知某产品的总收益函数为,总成本函数为,解：利润函数为,求产量为多少时总利润最大.,这是L(q)唯一的驻点,所以当 q=20 时总利润最大.,最大利润：,小结：一般地，当,时，,总利润最大。,例.某商店以每台350元的价格每周可能售出CD唱机,200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量,可增加20台。求出价格函数和销售额函数,商店要达到最大,销售额，应该把价格降低多少元,例.某商店以每台350元的价格每周可能售出CD唱机,200台，市场调查指出，当价格降低10元时，一周的销售量,解：设调价后每周能售出x台，,可增加20台。求

5、出价格函数和销售额函数,商店要达到最大,而每多销售一台，则价格降低,说明若价格降低,所以,销售额，应该把价格降低多少元,则每周增加的销售量为,故价格函数为：,有唯一的极大值，即为最大值。,销售额函数为：,求其最大值：,销售额可达到最大。,2.最小成本问题：,例3.6.8.某产品的成本函数为：,求 当产量为多少时，平均成本最小。,解:,平均成本：,（只取正值）,1.边际函数：,设函数,称为f(x)在 x 处的变化率。,称为f(x)在 平均变化率。,所以，边际函数近似等于,当 自变量 从 x 处改变一个单位时，y 相应的改变量称,为边际函数。此时，,实际上，经常省略“近似”。,3.6.3 导数在经

6、济分析中的应用,一.边际分析,计划生产 q 件产品后再多生产 1 件产品,成本的实际改变是:,即:产品数量为 q 时，边际成本 增减一件产品时成本的实际改变,边际成本:,(或少),2 边际成本函数,例3.6.9.某产品的总成本 C(单位:元)和产量 q 的关系式为,求生产100件和225件产品时的边际成本.,解:,经济含义:当产量为 225 件时,再增加 1 件产品,总成本将增加 6 元左右。,经济含义:当产量为100件时,再增加1件产品,总成本将增加 6.5元左右。,3.边际收益函数,总收益：,边际收益函数：,在销售了 q 件产品后再多（或少）销售 1 件产品,收益的实际改变是:,边际收益:

7、,含义:产品数量为 q 时，边际收益 多(或少)售一件产品时收益的增加(或减少)量,其中 p 为单价,例.设产品的需求量为：,求边际收益函数及 q=20,50,70 时的边际收益，并解释所得结果的经济意义。,解：产品单价为,总收益函数为,边际收益函数：,q=20时,再多售一件产品总收益将增加12个单位,q=50时,再多售一件产品总收益不会增加,q=70时,再多售一件产品总收益反而减少7个单位,设 q 为商品售出量,4.边际利润函数,总成本函数：,利润函数：,总收益函数：,L=总收益 总成本,边际利润：,边际利润的含义:销售量为 q 时，边际利润 再多售一件产品时利润的增加量,(少售),(减少量

8、),二.弹性分析,定义3.6.1 设函数,称为f(x)在 x 处的弹性（相对变化率）。,1.函数弹性的概念,边际函数是指函数的绝对改变量与绝对变化率，而函数,的弹性是指相对改变量与相对变化率。,可导，,称为f(x)在 和 之间的弹性(平均相对变化率)。,记为,2.需求弹性,设需求函数为,P为产品的价格,当 很小时，有,故需求弹性 近似地表示当价格为P时，价格变动1%，,需求量将近似地变动%。,所以需求弹性反映了需求量对价格变动反映的灵敏度。,一般地，因为需求函数为单减函数，故需求弹性为负值。,该函数在P点可,导，则该产品在价格,为P时的需求弹性：,例3.6.11 设某种商品的需求量Q与价格P的

9、关系为,(1)求需求弹性；,(2)当商品的价格为,10元时，再提高1%，求商品需求量的变化情况。,解(1)需求弹性为,需求弹性为负，说明价格P提高1%时，需求量减少%。,(2)当价格为10元时，,说明当价格为10元时，价格提高1%时，需求量减少13.9%.,价格降低1%时，需求量增加13.9%.,3.供给弹性：与需求弹性的定义类似。,设供给函数为,P为产品的价格,该函数在P点可,为P时的供给弹性：,所以供给弹性反映了供给量对价格变动反映的灵敏度。,一般地，因为供给函数为单增函数，故供给弹性为正值。,导，则该产品在价格,当 很小时，有,故供给弹性 近似地表示当价格为P时，价格变动1%，,供给量将

10、近似地变动%。,4.总收益弹性,因为,该函数对P求导，得,总收益弹性,例3.6.12 设某种商品的需求函数为,(1)求当P=4时的边际需求，并说明其经济意义。,解(1)当P=4时的边际需求为,说明当P=4时，价格提高1%时，需求量减少0.54%.,说明当价格P=4时，价格提高1个单位，需求量减少8个,(2)求当P=4时的需求弹性，并说明其经济意义。,单位。,(3)求当P=4时，若价格上涨1%，总收益将变化百分之几。,是增加还是减少？（需求函数为,当P=4时，若价格上涨1%，总收益将增加0.46%。,(4)求当P=6时，若价格上涨1%，总收益将变化百分之几。,是增加还是减少？（需求函数为,由(3)的分析,当P=6时，若价格上涨1%，总收益将减少0.85%。,作 业P160 3，4，6，7,